matanaliz

71

Зауважимо, що таким способом можна задати i точку, i коло, i навiть цiлий квадрат (кривi Пеано). Але для наших потреб такого означення криво¨ досить.

Означення 8.8. Множина A назива¹ться лiнiйно зв'язною, якщо довiльнi двi ¨¨ точки можна з'¹днати неперервною кривою.

Означення 8.9. Множина A назива¹ться обмеженою, якщо вона мiститься в деякiй кулi.

8.3. Функцi¨ вiд m çìiííèõ

Нехай A ½ Rm i ми ма¹мо закон, який кожнiй точцi M 2 A ставить у вiдповiд-

нiсть число f(M) 2 R. Òîäi

f : A ! R; A ½ Rm

назива¹ться (дiйсною) функцi¹ю m çìiííèõ: f(M) = f(x1; x2; : : : ; xm). Множина A назива¹ться областю визначення функцi¨ f.

Приклад 8.1.
1.	jx ¡ yj = dR(x; y) функцiя двох змiнних.
		паралелепiпеда								Q = a £ b £ c	функцiя трьох змiнних.
2.	Îá'¹ì2		+ y		2	+ z		2
3.		x
	u =		p						функцiя чотирьох змiнних, задана формулою.
				x2 + t

8.4. Послiдовностi точок простору Rm

Означення 8.10. Довiльне вiдображення ': N ! Rm назива¹ться ïîñëiäîâ- íiñòþ; приймаючи '(n) = Mn отрима¹мо позначення для послiдовностi fMng, ÷è

fMng1n=1.

Означення 8.11. Послiдовнiсть fMng, Mn 2 Rm, назива¹ться çáiæíîþ, ÿêùî iñíó¹ òàêå M 2 Rm, що викону¹ться

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N): fd(Mn; M) < "g:

Познача¹ться це так:

M = lim Mn; àáî Mn ! M ïðè n ! 1:

n!1

Це означення на мовi

72

Теорема 8.1. Нехай fMng, Mn = Mn(xn1 ; xn2 ; : : : ; xnm) деяка послiдовнiсть. Послiдовнiсть fMng çáiãà¹òüñÿ äî M = M(x1; x2; : : : ; xm) тодi i тiльки тодi, коли послiдовностi fxn1 g1n=1, fxn2 g1n=1, : : : , fxnmg1n=1 збiгаються до координат точки M.

Означення 8.12. Нехай A ½ Rm деяка множина. Точка M 2 A назива¹ться граничною точкою множини A, ÿêùî iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü fMng, Mn 2 A n fMg, ÿêà

збiга¹ться до цi¹¨ точки: M = lim Mn.

n!1

Нехай тепер A 2 Rm необмежена множина, i fMng послiдовнiсть точок цi¹¨ множини. Введемо таке поняття:

lim Mn = 1 def= lim d(Mn; 0) = +1

n!1 n!1

У випадку простору багатьох змiнних ми не будемо розрiзняти випадки +1 òà

¡1 тому що, образно кажучи, ¹ дуже багато шляхiв у безмежнiсть.

8.5. Границя та неперервнiсть функцiй m çìiííèõ

Означення 8.13. Нехай A ½ Rm, P 2 A гранична точка i

f : A ! R функцiя.

Число b ¹ границею функцi¨ f â òî÷öi P , ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8M 2 A): f0 < d(M; P ) < ± ) jf(M) ¡ bj < "g :

Познача¹ться це так:	lim	f(x; y) =	lim f(x; y) = b:
	(x;y)!(x0;y0)		x ! x0
			y ! y0

"¡± , можна також дати означення на мовi послiдовностей.

Також зберiгаються всi властивостi границi функцiй, розглянутi для однi¹¨ змiнно¨. Аналогiчно да¹ться означення нескiнченно мало¨ та класифiкацiя нескiнченно малих. Далi розгляда¹мо те, чого нема у функцiй однi¹¨ змiнно¨.

Для простоти розглянемо випадок m = 2. Нехай f : A ! R, A ½ R2, P (x0; y0) 2 Aвнутрiшня точка, тобто iсну¹ таке ±1 > 0, ùî B(P; ±1) ½ A. Це означа¹, що iсну¹

òàêå ± > 0, ùî f(x; y) 2 R2 j (jx ¡ x0j < ±) ^ (jy ¡ y0j < ±)g ½ A.

Çàôiêñó¹ìî ye: jye ¡ y0j < ±. Òîäi f(x; ye) функцiя однi¹¨ змiнно¨. Позначимо:

lim f(x; ye) = '(ye), або, вiдкинувши хвильку,

x!x0

lim f(x; y) = '(y):

x!x0

73

Таку границю називають частинною. Òîäi

lim '(y) = lim lim f(x; y)

y!y0

y!y0 x!x0

назива¹ться повторною границею â òî÷öi P . Аналогiчно можна розглянути

lim lim

f(x; y):

x!x0 y!y0

Взагалi кажучи, повторнi границi не збiгаються. Наприклад,

lim lim

x ¡ y

= lim(

¡

1) =

¡

1

y 0 x 0 x + y

y 0

!

!

x ¡ y

!

x ¡ y

lim lim

= lim 1 = 1

i

¡

1 = 1. Очевидно, що

lim

x

!

0 y

!

0

x + y

0

6

(x;y) (0;0)

x + y íå iñíó¹.

!

!

Границя функцi¨ в точцi може не iснувати навiть тодi, коли повторнi границi

iсну¹ть i рiвнi мiж собою. Розглянемо функцiю

<

0;

ïðè

x = y = 0:

8

xy

;

ïðè

x2 + y2 6= 0;

f(x; y) =

x2+y2

lim lim

xy

= 0 = lim lim

xy

, проте якщо M(x; y)

!

(0; 0) ïî ïðÿìié y = kx,

x

2

+ y

2

x + y

2

! !

! !

y 0 x 0

:

x 0 y 0

2

òî

xy

kx2

k

lim

= lim

=

:

2

+ y

2

x

2

2

x

2

1 + k

2

(x;y)!(0;0) x

x!0

+ k

Теорема 8.2. Нехай f : A ! R, A ½ Rm, P (x0; y0) 2 A внутрiшня точка. Не-

õàé â òî÷öi P iсну¹ границя нашо¨ функцi¨

lim

f(x; y) = b i частиннi границi

(x;y)!(x0;y0)

'(y) =

lim f(x; y) òà Ã(x) =

lim f(x; y)

x!x0

y!y0

iснують в деякому околi точки P . Тодi повторнi границi iснують i рiвнi мiж собою:

lim lim f(x; y) =	lim lim f(x; y) = b:
y!y0 x!x0	x!x0 y!y0

Означення 8.14. Нехай f : A ! R, A ½ Rm, P 2 A гранична точка. Функ-

öiÿ f назива¹ться неперервною â òî÷öi P , ÿêùî lim f(M) =f(P ). Iнакше можна

M!P

записати:

lim f(M) = f( lim M):

M!P M!P

Точки, в яких умова неперервностi не викону¹ться, називаються точками розриву. Якщо зафiксувати всi змiннi, крiм однi¹¨, можна говорити про неперервнiсть по однiй змiннiй.

На випадок функцiй багатьох змiнних переносяться теореми про неперервнiсть складно¨ функцi¨, перша i друга теореми Вей¹рштрасса, теорема про промiжне значе- ння, поняття рiвномiрно¨ неперервностi, теорема Кантора.

74

Теорема 8.3 (Про неперервнiсть складно¨ функцi¨).

Нехай ма¹мо функцiю f : A ! R, A ½ Rm, та функцi¨ 'i : B ! R, B ½ Rk, i = 1; 2; : : : ; m, причому A ½ 'i(B) äëÿ âñiõ i = 1; 2; : : : ; m. Означимо складну функцiю F : B ! R, B ½ Rk, за допомогою формули

F (t1; t2; : : : ; tk) = f('1(t1; t2; : : : ; tk); '2(t1; t2; : : : ; tk); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tk)):

Нехай функцi¨ '1; '2; : : : ; 'm неперервнi в точцi Q(b1; b2; : : : ; bk) 2 B,

a1 = '1(b1; b2; : : : ; bk); a2 = '2(b1; b2; : : : ; bk); : : : ; am = 'm(b1; b2; : : : ; bk);

i функцiя f неперервна в точцi P (a1; a2; : : : ; am) 2 A. Тодi складна функцiя F неперервна в точцi Q.

Теорема 8.4 (Перша теорема Вей¹рштрасса). Якщо функцiя f неперервна на замкненiй обмеженiй множинi, то вона обмежена на цiй множинi.

Теорема 8.5 (Друга теорема Вей¹рштрасса). Неперервна на замкненiй обмеженiй множинi функцiя f прийма¹ на цiй множинi найбiльше i найменше значення.

Теорема 8.6 (Теорема про промiжне значення). Нехай функцiя f неперервна на деякiй лiнiйно зв'язнiй множинi. Тодi для довiльних точок M1 òà M2 i для довiльно¨ криво¨ L, яка з'¹дну¹ цi точки, функцiя набува¹ на цiй кривiй довiльне значення з

ïðîìiæêó [f(M1); f(M2)].

Означення 8.15. Функцiя f : A ! R, A ½ Rm назива¹ться ðiâíîìiðíî íåïå-

рервною íà A, ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8P 2 A)(8M 2 A): fd(P; M) < ± ) jf(P ) ¡ f(M)j < "g:

Теорема 8.7 (Теорема Кантора). Всяка неперервна на замкненiй i обмеженiй множинi функцiя ¹ рiвномiрно неперервна.

Приклад 8.2. Згада¹мо один з виглядiв друго¨ важливо¨ границi 4.4.5:

1

lim (1 + x) x = e

x!0

1

А зараз обчислимо границю функцi¨ дво¨ змiнних lim (1 + xy) xy . Ми бачимо,

x ! 0 y ! 0

ùî çìiííi x òà y входять у функцiю тiльки у виглядi добутку xy. Тому цей добуток можна вважати новою змiнною:

1			1
lim (1 + xy)	xy	=	lim (1 + xy)	xy	= e:

x ! 0	xy!0
y ! 0

1 ´2

(1 + 2y) 2y

³

75

1

Змiнимо трохи умову. Нехай потрiбно знайти границю lim (x + y) y . На перший

x ! 1 y ! 0

погляд може здатися, що результатом теж буде число Справдi, якщо покласти x = 1 + y, òî

1	= lim	³
lim(1 + 2y) y
y!0	y!0

e. Але ця границя не iсну¹.

= e2:

1+3	1		´	3
Якщо ж взяти x = 1 + 2y, òî lim(1 + 3y) y	= lim (1 + 3y)			= e3	:
		3y
y!0	y!0

76

ÐÎÇÄIË 9

ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ФУНКЦIЙ ДЕКIЛЬКОХ ЗМIННИХ

1.Повний та частинний прирости функцi¨

2.Частиннi похiднi

3.Диференцiйовнiсть та диференцiал

4.Застосування повного диференцiалу до наближених обчислень

5.Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiнних

6.Частиннi похiднi складно¨ функцi¨

7.Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiала

9.1. Повний та частинний прирости функцi¨

Нехай функцiя f : A ! R задана на множинi A ½ Rm i P = P (a1; a2; : : : ; am) внутрiшня точка множини A. Це означа¹, що iсну¹ таке число ± > 0, ùî B(P; ±) ½ A. Нехай M(x1; x2; : : : ; xm) 2 B(P; ±) довiльна iнша точка. Позначимо через

¢x1 = x1 ¡ a1; ¢x2 = x2 ¡ a2; : : : ; ¢xm = xm ¡ am

прирости аргументiв. Тодi

¢f = ¢f(P; ¢x1; ¢x2; : : : ; ¢xm) = f(M) ¡ f(P )

познача¹ повний прирiст функцi¨ f â òî÷öi P , який вiдповiда¹ приростам аргументiв

¢x1; ¢x2; : : : ; ¢xm.

Очевидно, що функцiя f неперервна в точцi P òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

lim ¢f(P ) = 0.

M!P

Вирази вигляду

f(a1 + ¢x1; a2; : : : ; am) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢x1 f(P ); f(a1; a2 + ¢x2; : : : ; am) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢x2 f(P );

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

f(a1; a2; : : : ; am + ¢xm) ¡ f(a1; a2; : : : ; am) def= ¢xm f(P );

називаються частинними приростами функцi¨ f ïî çìiííèõ x1; x2; : : : ; xm

вiдповiдно. Легко бачити, що функцiя f неперервна в точцi P ïî çìiííié xi, 1 · i · m,

òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè lim ¢xi f(P ).

¢xi!0

77

9.2. Частиннi похiднi

Означення 9.1. Якщо iсну¹ границя вiдношення ¢xi f(P ) ïðè óìîâi, ùî

¢xi

¢xi ! 0, то вона назива¹ться частинною похiдною функцi¨ f ïî çìiííié xi â òî÷öi P :

	¢xi f(P )		def @f(P )			@f	0
lim	¢xi		=	@xi	=	@xi	(P ) = fx	(P ):
¢xi !0							i

Частинна похiдна по змiннiй xi вiд функцi¨ f обчислю¹ться за звичайними пра-

вилами обчислення похiдних, при цьому iншi змiннi прийма¹мо за константи.

Приклади.

@x@ (x sin(x2 + y2)) = sin(x2 + y2) + x cos(x2 + y2)2x = sin(x2 + y2) + 2x2 cos(x2 + y2); @y@ (x sin(x2 + y2)) = x cos(x2 + y2)2y = 2xy cos(x2 + y2):

Зауваження 9.1. З iснування частинних похiдних в точцi не слiду¹ навiть неперервнiсть функцi¨ i цiй точцi. Справдi, розглянемо приклад з попередньо¨ теми:

<

xy

2

2

f(x; y) =

0

ïðè

x

+ y

= 0:

8

x2 + y2

ïðè

x2

+ y2

6= 0;

¢x¢0

:

Òîäi f0

(0; 0) def= lim

(¢x)2+02

¡

= lim

0

=

lim

0 = 0, i, аналогiчно, f0

(0; 0) = 0.

x

¢x!0

¢x

¢x!0

¢x

¢x!0

y

Але ми встановили, що ця функцiя не ¹ неперервна в початку координат.

9.3. Диференцiйовнiсть функцiй m çìiííèõ

Означення 9.2. Функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) назива¹ться диференцiйовною в точцi P (a1; a2; : : : ; am), якщо ¨¨ повний прирiст в цiй точцi можна зобразити у виглядi:

¢u = A1¢x1 + A2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + Am¢xm + o(¢½);

p

äå A1; A2; : : : ; Am ñòàëi i ¢½ = (¢x1)2 + (¢x2)2 + ¢ ¢ ¢ + (¢xm)2.

Вираз A1¢x1 +A2¢x2 +¢ ¢ ¢+Am¢xm, який ¹ головною частиною приросту функцi¨, назива¹ться диференцiалом функцi¨ f â òî÷öi P , що вiдповiда¹ приростам аргументiв ¢x1; ¢x2; ¢ ¢ ¢ ; ¢xm.

Прирости аргументiв називаються диференцiалами незалежних змiнних i позна-

чаються dx1 = ¢x1; dx2 = ¢x2; : : : ; dxm = ¢xm.

Òîäi

df = du = A1dx1 + A2dx2 + ¢ ¢ ¢ + Amdxm:

78

Теорема 9.1. Якщо функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) диференцiйовна в точцi P (a1; a2; : : : ; am), то в цiй точцi iснують частиннi похiднi по всiх аргументах, при-

÷îìó

@f

(P ) = A1,

@f

(P ) = A2, : : : ,

@f

(P ) = Am.

@x

@x

@x

1

2

m

Доведення. Нехай функцiя f диференцiйовна в точцi P (a1; a2; : : : ; am):

¢f = A1¢x1 + A2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + Am¢xm + o(¢½):

Çàôiêñó¹ìî äîâiëüíå i = 1; 2; : : : ; m. Надамо приросту ¢xi òiëüêè çìiííié xi:

¢x1 = 0; ¢x2 = 0; ¢ ¢ ¢ ; ¢xi¡1 = 0; ¢xi+1 = 0; : : : ; ¢xm = 0:

Òîäi ¢½ = ¢xi i ¢xi f = Ai¢xi + o(¢xi). Значить,

lim

¢xi f

= Ai +

lim

o(¢xi)

= Ai =

@f

= Ai:

¤

¢xi!0

¢xi

¢xi!0

¢xi

@xi

Тому умову диференцiйовностi запишемо так:

@f

@f

¢x2 + ¢ ¢ ¢ +

@f

¢f =

¢x1 +

¢xm + o(¢½);

@x1

@x2

@xm

а диференцiал будемо обчислювати за формулою:

@f

@f

@f

(9.3.1)

df =

dx1 +

dx2 + ¢ ¢ ¢ +

dxm:

@x1

@x2

@xm

Приклад.

Нехай u = x + xy + xyz. Знайти повний прирiст та диференцiал цi¹¨ функцi¨.

¢u = u(x + ¢x; y + ¢y; z + ¢z) ¡ u(x; y; z) =

(x + ¢x) + (x + ¢x)(y + ¢y) + (x + ¢x)(y + ¢y)(z + ¢z) ¡ x ¡ xy ¡ xyz =

(1 + y + yz)¢x + (x + xz)¢y + xy¢z + (1 + z)¢x¢y + y¢x¢z + x¢y¢z + ¢x¢y¢z.

Обчислимо частиннi похiднi:
	@u	= 1 + y + yz,	@u		= x + xz	@u	= xy.
			@y
	@x					@z
Òîäi du = (1 + y + yz)dx + (x + xz)dy + xydz.
		Теорема 9.2. Якщо функцiя f диференцiйовна в точцi P , то вона неперервна
â öié òî÷öi.
		Доведення. Доведення помiща¹ться в один рядочок:
		lim ¢f(P )	=		lim	A1¢x1 + A2¢x2 + ¢ ¢ ¢ + Am¢xm + o(¢½) = 0		¤
	¢x1 ! 0				¢x1 ! 0
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢					¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
	¢xm ! 0				¢xm ! 0

Теорема 9.3 (Достатня умова диференцiйовностi). Якщо функцiя f : A ! R,

A ½ Rm, ма¹ частиннi похiднi в деякому околi точки P , i всi вони неперервнi в точцi P , то функцiя f ¹ диференцiйовною в цiй точцi.

79

9.4. Застосування повного диференцiала до наближених обчислень

При малих приростах аргументiв повний прирiст функцi¨ ми наближено замiня-

¹мо диференцiалом, покладаючи dx1 = ¢x1; dx2 = ¢x2; ¢ ¢ ¢ ; dxm = ¢xm.

Приклад. Приблизно обчислити

(1; 05)2 + (1; 95)2 + (2; 05)2.

Розглянемо функцiю

f(x; y; z) =

x

2

+ y2

+ z2. Легко порахувати, що f(1; 2; 2) = 3.

p

òî÷öi

, який вiдповiда¹ приростам аргу-

Знайдемо прирiст цi¹¨ функцi¨ в

p

P = P (1; 2; 2)

ìåíòiâ ¢x = 0; 05, ¢y = ¡0; 05, ¢z = 0; 05:

¢f ¼ df =

@f

(P )¢x +

@f

(P )¢y +

@f

(P )¢z;

@x

@y

@z

@f

=

x

@f

=

y

@f

=

z

@x

x2 + y2 + z2 , @y

x2 + y2 + z2 , @z

x2 + y2 + z2 ;

@f

1

@f

2 @f

2

=

1

0; 05

2 0; 05 + 2 0; 05

0; 017.

p(P ) =

(P ) =

p

=

df(P ) p

¡ 3

¼

3 ,

@y

3 , @z

3 , òîìó

òîäi @x

3

3

Значить, p

¼ f(P ) + df(P ) ¼ 3; 017.

(1; 05)2 + (1; 95)2 + (2; 05)2

9.5. Геометричний змiст умови диференцiйовностi функцiй двох змiн-

íèõ

Нехай S ½ R3 поверхня, яка ¹ графiком функцi¨ двох змiнних f : A ! R, A ½ R2, ( àáî z = f(x; y)) i Q 2 S деяка точка цi¹¨ поверхнi, Q = Q(x0; y0; f(x0; y0)),

P = (x0; y0) 2 A.

Означення 9.3. Площина ¦ назива¹ться дотичною площиною до поверхнi S â

òî÷öi Q, якщо для довiльно¨ точки M 2 S, кут мiж площиною ¦ òà âiäðiçêîì QM

пряму¹ до нуля при умовi, що точка M пряму¹ до точки Q.

z	6
	-			-
	-	Qp		-
¦----				-S---
¡			¡	-
				y
¡			¡
			¡
¡		P ¡
¡		p
¡ªx

80

Очевидно, що дотична площина мiстить всi дотичнi прямi до кривих, якi проходять по поверхнi S через точку Q. Виявля¹ться, що умова диференцiйовностi функцi¨

f â òî÷öi P еквiвалентна умовi iснування дотично¨ площини до графiка функцi¨ f â

òî÷öi Q. Справдi,

f(x; y) ¡ f(x0; y0) = z ¡ z0 =	@f(P )		(x ¡ x0) +	@f(P )		(y ¡ y0) + o(¢½):
	@x			@y

Вiдкинувши останнiй доданок, який ¹ нескiнченно малим при умовi, що x ! x0 i

y ! y0, отрима¹мо рiвняння дотично¨ площини:

z ¡ z0 =

@f(P )

(x ¡ x0) +

@f(P )

(y ¡ y0):

(9.5.1)

@x

@y

Нормальний вектор до цi¹¨ площини матиме координати:

@f(P) ; @f(P) ;

¡

1

легко отриму¹мо рiвняння нормалi до поверхнi

â òî÷öi

³:

@x

@y

´, ç ÷îãî

S

Q

x ¡ x0

=

y ¡ y0

=

z ¡ z0

:

(9.5.2)

@f(P)

@f(P)

¡1

@x

@y

9.6. Диференцiювання складно¨ функцi¨

Нехай ми ма¹мо функцiю вiд m çìiííèõ u = f(x1; x2; : : : ; xm), äå âñi çìiííi xi в свою чергу ¹ функцiями вiд k çìiííèõ:

x1 = '1(t1; t2; : : : ; tk) x2 = '2(t1; t2; : : : ; tk)

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

xk = 'k(t1; t2; : : : ; tk):

Тодi функцiя u може також розглядатись як функцiя вiд k çìiííèõ:

u = f('1(t1; t2; : : : ; tk); '2(t1; t2; : : : ; tk); : : : ; 'k(t1; t2; : : : ; tk)) = F (t1; t2; : : : ; tk)

Ì๠ìiñöå òàêà

Теорема 9.4. Нехай всi функцi¨ 'i, i = 1; 2; : : : ; n, диференцiйовнi в точцi

Q(b1; b2; : : : ; bk), а функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) диференцiйовна в точцi P (a1; a2; : : : ; am),

äå

a1 = '1(b1; b2; : : : ; bk) a2 = '2(b1; b2; : : : ; bk)

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

am = 'm(b1; b2; : : : ; bk):