matanaliz

51

dy = (f('(t)))0 dt = fx0 ¢ '0t dt = fx0 dx. Тобто dy = fx0 dx незалежно вiд того, чи ¹ x незалежною змiнною, чи нi.

6.8. Похiднi i диференцiали вищих порядкiв

Нехай функцiя f : (a; b) ! R ма¹ похiдну в кожнiй точцi iнтервала (a; b).

Ми можемо розглянути функцiю f0 : (a; b)

! R

.

Означення 6.6. Функцiя f ì๠ïîõiäíó другого порядку â òî÷öi x0,

якщо iсну¹ похiдна вiд першо¨ похiдно¨ в цiй точцi:

def

(x0))

0. Позна-

f00(x0) = (f0

чають f00(x0),

d2f(x0) d2f

(x0).

dx2

, dx2

Нехай iсну¹ похiдна (n¡1)-го порядку в точцi x0. Ïîõiäíîþ n-ãî порядку

функцi¨ f назива¹ться ¡f(n¡1)(x0)¢0

. Позначають

f(n)(x0),

dnf(x )

dnf

(x0).

dxn0

, dxn

Властивостi похiдних n-го порядку

1.

³

f(k)

(n¡k)

= (f)(n) для всякого 1

·

k

·

n;

2.

(n´)

(n),

const;

(cf)

= c (f)

c

3. (f § g)(n) = (f)(n) § (g)(n);

4. (f(ax + b))(n) = an ¢ f(n)(ax + b).

Теорема 6.11. [Лейбнiца] Нехай функцi¨ f òà g мають в точцi x ïîõiäíi

äî n-го порядку включно. Тодi

n

(f

¢

g)(n) =

Ckf(k)g(n¡k):

n

k=0

X

(f

Òóò ìà¹òüñÿ íà óâàçi, ùî f(0) := f i g(0) := g. Òîäi

¢

g)0

= f0g + fg0;

(f

g)00

= f00g + 2f0g0 + fg00;

¢

(f

g)000

= f000g + 3f00g0 + 3fg00 + fg000

i òàê äàëi.

¢

Нехай функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна всюди на (a; b). Запишемо ¨¨ перший диференцiал df(x; dx) = f0(x) dx i будемо розглядати його як функцiю вiд x, à dx вважатимемо сталим.

52

Означення 6.7. Другим диференцiалом функцi¨ f â òî÷öi x назива¹ться диференцiал вiд першого диференцiала df(x; dx):

d (df(x; dx)) = d (f0(x) dx) = f00(x) dx ±x;

взятий при умовi, що dx = ±x. Познача¹мо dx2 def= dx ¢ dx.

Ма¹ мiсце формула

d2f = f00dx2:

Аналогiчно визначаються вищi диференцiали. Ма¹мо

dnf = f(n)dxn:

Зауважимо, що данi формули правильнi тiльки тодi, коли x незалежна змiнна.

Справдi, нехай y = f(x) два рази диференцiйовна функцiя i x = '(t) теж два рази диференцiйовна. Тодi

d2(y) = ±(dy)±x=dx = ±(yx0 dx)±x=dx = ¡±(yx0 ) dx + yx0 ¢ ±(dx))¢±x=dx = = ¡yxx00 ±x dx + yx0 ¢ ±(dx))¢±x=dx = f00(x) dx2 + f0(x) d2x):

(використову¹мо символ ± çàìiñòü d при другому диференцiюваннi).

6.9. Теореми про диференцiйовнi функцi¨

Означення 6.8. Функцiя f : (a; b) ! R ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний максимум (локальний мiнiмум), якщо iсну¹ такий ±-окiл точки x0,

(x0 ¡±; x0 + ±) ½ (a; b), ùî äëÿ âñiõ x0 2 (x0 ¡±; x0 + ±) викону¹ться f(x) · f(x0) (÷è f(x) ¸ f(x0)).

Функцiя f : (a; b) ! R ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний екстремум, якщо вона ма¹ в цiй точцi локальний максимум чи локальний мiнiмум.

Теорема 6.12 (Теорема Ферма (P.Fermat)). Нехай функцiя f : (a; b) ! R

ì๠â òî÷öi x0 2 (a; b) локальний екстремум. Тодi якщо iсну¹ похiдна в точцi x0, òî f0(x0) = 0.

Теорема 6.13 (Теорема Ролля (M.Rolle)). Нехай функцiя f : [a; b] ! R

неперервна всюди i ма¹ похiдну всюди на (a; b). Нехай f(a) = f(b). Òîäi iñíó¹ òàêå c 2 (a; b), ùî f0(c) = 0.

53

Теорема 6.14 (Теорема Лагранжа про середн¹ значення (J.L.Lagrange)).

Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна всюди i ма¹ похiдну всюди на (a; b). Òîäi iñíó¹ òàêå c 2 (a; b), ùî

		f0(c) =	f(b) ¡ f(a)			àáî	f(b)	¡	f(a) = f0(c)(b	¡	a):
			b	¡	a
Наслiдок 6.1. Якщо функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна на (a; b) i äëÿ
âñiõ x	2	(a; b) f0(x) = 0, òî f(x) = c, тобто ця функцiя константа.

Наслiдок 6.2. Якщо функцi¨ f; g : (a; b) ! R диференцiйовнi на (a; b) i äëÿ âñiõ x 2 (a; b) f0(x) = g0(x), òî f(x) ¡ g(x) = c, тобто функцi¨ вiдрiзняються на константу.

Теорема 6.15 (Теорема Кошi (A.L.Cauchy)). Нехай неперервнi функцi¨

f; g : [a; b]	! R	диференцiйовнi на (a; b) i äëÿ âñiõ x					2	(a; b) g0(x) = 0. Òîäi iñíó¹
								6
òàêå c 2 (a; b), ùî
			f(b) ¡ f(a)	=	f0(c)	:
			g(b) ¡ g(a)		g0(c)

Теорема 6.16. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b). Тодi функцiя f монотонно неспада¹ (монотонно незроста¹) тодi i тiльки тодi, коли всюди на (a; b) f0(x) ¸ 0 (f0(x) · 0).

Теорема 6.17. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b) i äëÿ âñiõ x 2 (a; b) викону¹ться f0(x) > 0 (f0(x) < 0). Тодi функцiя f строго монотонно зроста¹ (строго монотонно спада¹).

Зауваження 6.1. Навпаки неправильно. Функцiя y = x3 строго монотон- но зроста¹, проте ¨¨ похiдна y0 = 3x2 в нулi перетворю¹ться в нуль.

Теорема 6.18. Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1, диференцiйовна на (a; b). Òîäi f строго монотонно зроста¹ (строго монотонно спада¹)

òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè:

1. (8x 2 (a; b)): ff0(x) ¸ 0g (ff0(x) · 0g)

2. Не iсну¹ такого iнтервала (®; ¯) 2 (a; b), äå f0(x) ´ 0.

54

6.10.Формула Тейлора

6.10.1.Формула Тейлора для многочлена. Покажемо, що довiльний

многочлен

P (x) = a0 + a1x + ¢ ¢ ¢ + an¡1xn¡1 + anxn; x 2 R;

для довiльного x0 2 R можна записати у виглядi

P (x) = b0 + b1(x ¡x0) + b2(x ¡x0)2 + ¢ ¢ ¢+ bn¡1(x ¡x0)n¡1 + bn(x ¡x0)n: (6.10.1)

Пiдставляючи x = x0, отриму¹мо P (x0) = b0. Продиференцiю¹мо рiвняння (6.10.1):

P 0(x) = b1 + 2b2(x ¡ x0) + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)bn¡1(x ¡ x0)n¡2 + nbn(x ¡ x0)n¡1

i покладемо x = x0. Отриму¹мо P 0(x0) = b1. Ще раз продиференцiю¹мо:

P 00(x) = 2b2 + ¢ ¢ ¢ + (n ¡ 1)(n ¡ 2)bn¡1(x ¡ x0)n¡3 + n(n ¡ 1)bn(x ¡ x0)n¡2

i ïðè x = x0 отриму¹мо P 00(x0) = 2b2. Аналогiчно отриму¹мо P 000(x0) = 3 ¢ 2b3,

: : : , P (n) = n!bn. Отриму¹мо формулу

P (x) = P (x0) +		P 0(x		)	(x ¡ x0) +		P 00(x	)	(x ¡ x0)2 + ¢ ¢ ¢ +
			1! 0				2! 0			(6.10.2)
+	P (n¡1)(x0)		(x ¡ x0)n¡1 +			P (n)(x0)			(x ¡ x0)n:
	(n¡1)!						n!

6.10.2. Формула Тейлора, випадок довiльно¨ функцi¨.

Означення 6.9. Нехай f довiльна функцiя, достатню кiлькiсть раз диференцiйовна. Вираз

Pn(x) = f(x0) + f0(x0) (x ¡ x0) + f00(x0) (x ¡ x0)2 + ¢ ¢ ¢ +

1! 2!

+	f(n¡1)(x0)	(x ¡ x0)n¡1 +	f(n)(x0)	(x ¡ x0)n	(6.10.3)
	(n¡1)!		n!
назива¹ться многочленом Тейлора для функцi¨ f â òî÷öi x0.
f(x) ¡ Pn(x) := Rn(x) залишок формули Тейлора.
Теорема 6.19 (Формула Тейлора з залишком у формi Пеано). Нехай
функцiя f : (a; b)	! R всюди (n ¡ 1) раз диференцiйовна i iсну¹ f(n)(x0), äå

x0 2 (a; b) деяка точка. Тодi ма¹ мiсце формула Тейлора

	f(x) = f(x0) +		f0(x		)	(x ¡ x0) +		f00(x	)	(x ¡ x0)2 + ¢ ¢ ¢ +
				1!0				2! 0
+	f(n¡1)(x0)	(x ¡ x0)n¡1 +		f(n)(x0)			(x ¡ x0)n + o((x ¡ x0)n) ïðè x ! x0:
	(n¡1)!			n!

(6.10.4)

6.11.1. Невизначенiсть ©0 ª.

0

55

Зауважимо, що при x = 0 формулу Тейлора називають формулою Маклорена:

f(x) = f(0) + f0(0) x + f00(0) x2				+	¢ ¢ ¢	+ f(n¡1)(0) xn¡1	+	(6.10.5)
	f	(n)1!	2!			(n¡1)!
+		(0)	xn + o(xn)	ïðè		x ! 0:
		n!

Теорема 6.20 (Формула Тейлора з залишком у формi Лагранжа). Нехай функцiя f : (a; b) ! R всюди (n + 1) раз диференцiйовна. Тодi для всякого

x 2 (a; b) iñíó¹ òàêå » 2 (x; x0), ùî

f(x) = f(x0) +

f0

(x

)

(x ¡ x0) +

f00(x

)

(x ¡ x0)2 + ¢ ¢ ¢ +

1!0

2! 0

+

f(n¡1)(x0)

(x ¡ x0)n¡1 +

f(n)(x0)

(x ¡ x0)n

+

f(n+1)(»)

(x ¡ x0)n+1:

(n¡1)!

n!

(n+1)!

Корисно пам'ятати такi формули:

1: ex = 1 + x + x2!2 + x3!3 + ¢ ¢ ¢ + xnn! + o(xn);

x3

x5

x7

n+1 x2n¡1

2n

2:

sin x = x ¡ 3!

+

¡

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)

+ o(x

);

5!

7!

(2n¡1)!

2

4

6

2n

3:

cos x = 1 ¡ x2!

+ x4!

¡ x6!

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

x

+ o(x2n+1);

(2n)!

4:

ln(1 + x) = x ¡

x2

+

x3

¡

x4

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n+1

xn

+ o(xn);

2

3

4

n

5:

arctg x = x ¡

x3

+

x5

¡

x7

n+1 x2n¡1

2n

);

3

5

7 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)

2n¡1 + o(x

(6.10.6)

(6.10.7)

6.11. Розкриття невизначеностей

™такi типи невизначеностей:

½00¾; n11o; f1 ¡ 1g; f0 ¢ 1g; ©00ª; f11g ; ©10ª:

Перше правило Лопiталя1.

Нехай U деякий окiл точки a (a 2 R, àáî a = 1). Нехай двi функцi¨ f òà g визначенi i диференцiйовнi на U n fag, причому g0(x) íiäå íå ðiâíà íóëþ i

lim f(x) = lim g(x) = 0:

(6.11.1)

x!a x!a

1Маркiз Гiйом Франсуа де Лопiталь (l'Hospital) (1661-1704) автор першого пiдручника з диференцiального числення Аналiз нескiнченно малих (1696).

56

Тодi якщо iсну¹ границя lim

f0(x)

f(x)

x!a g0(x) (скiнченна чи нескiнченна), то iсну¹ i границя

lim

x!a g(x)

i âîíè ðiâíi

f(x)

f0(x)

lim

= lim

:

(6.11.2)

x a g(x)

x

!

a g0(x)

!

Приклад 6.7.

0¾

= x!0

2x

=

2.

x!0

1

¡x2

=

½

1. lim

½

¾

lim

x ¡ sin x

0

1 ¡ cos x

1

2. lim

=

= lim

=

0

6.

x!0

x3

x

1

x!0

3x2

3. 0 = lim

= lim

= 1. Де помилка?

1

x!0 x + 1

x!0

6.11.2. Невизначенiсть

1 .

Друге правило Лопiталя. Нехай U

1

). Нехай двi функцi¨ f òà

визначенi i

деякий окiл точки

a

(

a 2 R

, àáî

=

1

g

©a ª

диференцiйовнi на U

n f

a

g

, причому g0(x) íiäå íå ðiâíà íóëþ i

lim f(x) = lim g(x) =

1

:

(6.11.3)

x

!

a

x

!

a

Тодi якщо iсну¹ границя lim

f0(x)

f(x)

x!a g0(x) (скiнченна чи нескiнченна), то iсну¹ i границя

lim

x!a g(x)

i âîíè ðiâíi

f(x)

f0(x)

lim

= lim

:

(6.11.4)

x a g(x)

x

!

a g0(x)

!

Приклад 6.8.

2x

2

1. lim

x2

=

1

= lim

=

1

= lim

= 0.

ex

ex

x

ex

n

1o

x

n

1o

x

!1 ln x

!1

1

!1

2. lim

=

1

= lim

= 0.

1o

2x2

x!1 x2

n

x!1

Зауваження 6.2. Протилежне твердження неправильне: якщо iсну¹ гра-

ниця вiдношення двох функцiй lim

f(x)

x!a g(x) , то це ще не значить, що iсну¹ границя

вiдношеннÿ похiдних (навiть якщо цi похiднi iснують):

lim

x2 cos x1

= lim

x

¢

lim x cos

1

= 0.

x!0

sin x

x!0 sin x

x!0

x

lim

2x cos x1 + x2 sin x1

¢

1

= lim 2x

cos x1

+ lim

sin x1

x2

cos x

x!0

cos x

x!0

x!0 cos x.

Неважко побачити, що друга границя не iсну¹.

g(x)

57

6.11.3. Невизначенiсть f0 ¢ 1g.

lim

x!+0

äi

Ïðиклад 6.9.

ln x

1

px ln x =

0

= lim

=

1

= lim

=

2 lim p

= 0.

x

x

f

¢ 1g

n

1o

¡

x!+0 p1

x!+0

¡

2p1

x!+0

x

x3

6.11.4. Невизначенiсть		. Нехай lim f(x) = lim g(x) =								§1	. Òî-
		f1¡1g	x	!	a		x	!	a
x!a	¡	x!a	µ1 ¡ f(x)¶				:
lim (f(x)	g(x)) = lim f(x)					g(x)

Знаходимо lim

. ßêùî

x!a f(x). Якщо ця границя не рiвна одиницi, отриму¹мо 1

це одиниця, то отриму¹мо f0 ¢ 1g.

Приклад 6.10.

µ

ln x

ln x

1

lim (x

¡

ln x) =

f1 ¡ 1g

=

lim x

1

¡

. Îñêiëüêè

lim

lim

= 0,

x

x!1

x!1

x ¶

x!1

= x!1 x

òî xlim (x ¡ ln x) = 1.

!1

lim f(x)

= e !

©

ª

©

ª

lim g(x) ln f(x) =

0

. Ó âñiõ

6.11.5. Невизначеностi

00

;

f11g ;

10

.

Ìà¹ìî

g(x)

lim g(x) ln f(x)

випадках

f

¢ 1g

.

x

a

x

a

x

a

!

!

Приклад 6.11.

lim

(sin x ln x)

lim xsin x =

00

.

1.

f

g

= ex!+0

x

!

+0

ln x

1

sin x

lim (sin x ln x) =

lim

= lim

=

lim

tg x = 0, òî

Îñêiëüêè

x

¢

1

cos x

x

x

!

+0

x +0

x

+0

2

x

+0

sin x

x

!

!

¡sin

!

lim xsin x = e0 = 1.

x!+0

=

lim

= e ! 1

µx

¶

= e0 = 1. Òîìó

lim pn = 1.

2.

lim px =

0

xx

lim

1

ln x

1

f1 g

x

+

x

+

x

x

+

n

n

!

1

!1

! 1

Зауважимо, що у випадку f11g ми можемо скористатися також форму-

лою 5.4.1, але якщо зробимо це в iншому випадку, то отрима¹мо, наприклад,

òàêå :-)

1

e =

lim

e =

lim

x1

x lim

(ex ¡ 1)

= e

= 1

x

x

0

.

(e )

= e !¡1

x!¡1 x!¡1

58

ÐÎÇÄIË 7

ДОСЛIДЖЕННЯ ФУНКЦIЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАНИЦЬ I ПОХIДНИХ

1.Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨.

2.Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨.

3.Знаходження асимптот.

4.Схема дослiдження графiкiв функцiй.

5.Гiперболiчнi функцi¨.

6.Функцiя Гауса.

7.1. Дослiдження за допомогою першо¨ похiдно¨

Нехай ма¹мо функцiю f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · 1.

Означення 7.1. Точки x0 2 (a; b), â ÿêèõ ïîõiäíà àáî íå iñíó¹, àáî ðiâíà

нулю називаються критичними, ÷è стацiонарними, ÷è точками, пiдозрiлими на екстремум.

Теорема 7.1. Нехай функцiя f : (a; b) ! R диференцiйовна всюди i x0 критична точка. Тодi якщо

1. f0(x) > 0 лiворуч вiд x0, а праворуч f0(x) < 0, òî x0 точка локаль-

ного максимуму;

2. f0(x) < 0 лiворуч вiд x0, а праворуч f0(x) > 0, òî x0 точка локаль- íîãî ìiíiìóìó;

3. однаковий знак похiдно¨ з обох бокiв x0 в цiй точцi екстремуму

íåìà.

f : (a; b) ! R

59

x < x0	x0	x0 < x	f
f0(x) > 0	f0(x) = 0	f0(x) < 0	локальний максимум
f0(x) < 0	àáî	f0(x) > 0	локальний мiнiмум
f0(x) < 0	íå	f0(x) > 0	екстремуму нема
f0(x) > 0	iñíó¹	f0(x) < 0	екстремуму нема

Про iнтервали зростання i спадання функцi¨ говорилося ранiше в теоремах 6.16-6.18.

7.2. Дослiдження за допомогою друго¨ похiдно¨

Означення 7.2. Функцiя f : (a; b) ! R строго опукла вниз, якщо для всяких x1; x2 2 (a; b), x1 < x2, частина графiка мiж точками

M1(x1; f(x1)) i M2(x2; f(x2)) лежить пiд вiдрiзком M1M2.

Вiдрiзки задаються таким чином:

[x1; x2] = f(1 ¡ ®)x1 + ®x2 j ® 2 [0; 1]g,

[f(x1); f(x2)] = f(1 ¡ ®)f(x1) + ®f(x2) j ® 2 [0; 1]g. Тому ми можемо дати також таке означення:

Функцiя f : (a; b) ! R строго опукла вниз, ÿêùî

(8x1; x2 2 (a; b))(8® 2 [0; 1]): ff((1 ¡ ®)x1 + ®x2) < (1 ¡ ®)f(x1) + ®f(x2)g:

ßêùî çíàê < çàìiíèòè íà ·, то отрима¹мо означення опуклостi вниз, ÿêùî íà > строго¨ опуклостi вверх, ÿêùî íà ¸ опуклостi вверх.

Теорема 7.2. Всюди диференцiйовна функцiя опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f0 монотонно не спада¹ на (a; b).

Всюди диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f0 монотонно не зроста¹ на (a; b).

Враховуючи теореми з попередньо¨ лекцi¨, ми можемо цю теорему переформулювати так:

Теорема 7.3. Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) ¸ 0 всюди на (a; b).

60

Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) · 0 всюди на (a; b).

Теорема 7.4. Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R cтрого опукла вниз на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) ¸ 0 всюди на (a; b) i íå iсну¹ iнтервала (®; ¯) 2 (a; b) äå f00 перетворю¹ться в тотожнiй нуль.

Всюди два рази диференцiйовна функцiя f : (a; b) ! R cтрого опукла вверх на (a; b) òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè f00(x) · 0 всюди на (a; b) i не iсну¹ iнтервала (®; ¯) 2 (a; b) äå f00 перетворю¹ться в тотожнiй нуль.

Означення 7.3. Точка x0 2 (a; b) назива¹ться точкою перегину функцi¨ f : (a; b) ! R, ÿêùî iñíó¹ òàêå ± > 0, ùî íà (x0 ¡ ±; x0) i (x0; x0 + ±) функцiя опукла в рiзнi боки.

Теорема 7.5. Якщо точка x0 2 (a; b) ¹ точкою перегину функцi¨ f : (a; b) ! R, то друга похiдна в цiй точцi або рiвна нулю, або не iсну¹.

Теорема 7.6. Нехай функцiя f : (a; b) ! R два рази диференцiйовна на (a; b) n fx0g. Òîäi:

1. якщо при переходi через точку x0 друга похiдна мiня¹ знак x0 ¹

точкою перегину;

2. якщо похiдна не мiня¹ знаку перегину нема.

Теорема 7.7. Нехай функцiя f : (a; b) ! R два рази диференцiйовна i x0 2 (a; b) критична точка: f0(x0) = 0. Òîäi ÿêùî

1. f00(x0) > 0, òî â òî÷öi x0 ма¹мо локальний мiнiмум; 2. f00(x0) < 0, òî â òî÷öi x0 ма¹мо локальний максимум.

7.3. Знаходження асимптот

Означення 7.4. Нехай f : A ! R i a гранична точка множини A. Пряма x = a назива¹ться вертикальною асимптотою графiка функцi¨ f, якщо викону¹ться принаймнi одне з спiввiдношень:

lim f(x) = §1 ÷è lim f(x) = §1:

x!a¡0

x!a+0