matanaliz

11

ÐÎÇÄIË 2

КОМПЛЕКСНI ЧИСЛА

1.Алгебра¨чнi операцi¨ над комплексними числами.

2.Комплексна площина.

3.Теорема про модуль i аргумент.

4.Корiнь з комплексного числа.

5.Коренi многочленiв.

2.1. Алгебра¨чнi операцi¨ над комплексними числами

Означення 2.1. Комплåêñним числом назива¹ться вираз вигляду z = x + iy, äå x; y 2 R, à i def= p¡1 уявна одиниця.

Числа z = x + i ¢ 0 = x (ïðè y = 0) ототожнюються з дiйсними числами, а числа z = 0 + i ¢ y = iy називаються чисто уявними. Складовi комплексного числа z вирази x òà iy називаються вiдповiдно дiйсною òà уявною частинами цього числа; позначають x = Re z; y = Im z:

Модулем комплексного числа z назива¹ться число

jzj = p(Re z)2 + (Im z)2 = px2 + y2:

Спряженим числом z¹ до числа z = x + iy назива¹ться число z¹ = x ¡ iy.

Òîìó Re z = Re z¹, Im z = ¡ Im z¹, jzj = jz¹j.

Означення 2.2. Комплекснi числа z1 òà z2 ðiâíi, òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

Re z1 = Re z2 i Im z1 = Im z2.

Множину всiх комплексних чисел позначають через C.

Задамо алгебра¨чнi операцi¨ на множинi комплексних чисел. Нехай z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2 2 C. Тодi поклада¹мо:

z1 + z2 def= (x1 + x2) + i(y1 + y2); z1 ¡ z2 def= (x1 ¡ x2) + i(y1 ¡ y2);

z1 ¢ z2 def= (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

12

Правило множення виводиться формальним перемноженням комплексних чисел як многочленiв, з врахуванням того, що i2 = ¡1.

z1 ¢ z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + x2y1). Знайдемо z ¢ z¹ = (x + iy)(x ¡ iy) = x2 + y2 = jzj2.

Тепер означимо дiлення:

z1	=	z1 ¢ z¹2	=	(x1x2 + y1y2) + i(x1y2 ¡ x2y1)	:
				x22 + y22
z2	z2 ¢ z¹2

2.2. Комплексна площина

	6
y					Z(x; y)
			©©©	©	©©©*
		½
	©©©	©©©
						-
	© '
						x

Нехай у площинi зафiксована прямокутна система координат xOy. Всякому комплексному числу z = x + iy ставимо у вiдповiднiсть точку Z(x; y) i

навпаки. Ма¹мо вза¹мнооднозначну вiдповiднiсть мiж точками комплексно¨ площини i комплексними числами. Вiсь Ox назива¹ться дiйсною вiссю, âiñü

Oy уявною вiссю.

Вектор OZ назива¹ться радiус-вектором точки z, його довжина ½ ¹ модулем числа z, êóò ', утворений радiус-вектором OZ i додатним напрямком дiйсно¨ осi, назива¹ться аргументом числа z: ' = Arg z, ¡1 < Arg z < 1. Äëÿ z = 0 аргумент довiльний. Найменше за модулем значення аргумента arg z назива¹ться головним значенням аргумента: ¡¼ < arg z · ¼.

Формули переходу:

x = ½ cos ';		½ =	x2 + y2		;
y = ½ sin '	;	= x ;		sin ' = y		tg ' = y
		cos 'p	½	½		x .

z = ½(cos ' + i sin ') тригонометрична форма комплексного числа; z = ½ei' експоненцiйна форма,

ei' def= cos ' + i sin ' формальне позначення.

13

Теорема 2.1. При додаваннi комплексних чисел ¨х радiус-вектори додаються, а при вiднiманнi вiднiмаються.

2.3. Теорема про модуль i аргумент

Теорема 2.2. Модуль добутку комплексних чисел дорiвню¹ добутку ¨х модулiв, а аргумент добутку дорiвню¹ сумi аргументiв множникiв.

Нехай z1 = ½1(cos '1 + i sin '1); z2 = ½2(cos '2 + i sin '2) 2 C, òîäi z1 ¢ z2 = ½1½2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)).

Доведення. z1 ¢ z2 = ½1 ¢ ½2(cos '1 + i sin '1)(cos '2 + i sin '2) =

= ½1 ¢ ½2((cos '1 ¢ cos '2 ¡ sin '1 ¢ sin '2) + i(sin '1 ¢ cos '2 + sin '2 ¢ cos '1)) =

½1 ¢ ½2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)).	¤
Приклад 2.1. Нехай ма¹мо два комплекснi числа z1	= 1 + i òà z2 = i.

Перемножимо ¨х: z1 ¢ z2 = (1 + i)i = i + i2 = ¡1 + i: Можна i iнакше. Спочатку

запишемо ¨х в тригонометричнiй формi:

= ³cos 2

+ i sin

2

´

:

z1 = p2 ³cos 4

+ i sin

4

´;

z2

¼

¼

¼

¼

Тепер скориста¹мося теоремою 2.3:

á 2

!

z1 ¢ z2

= p2 µcos 34

+ i sin

4

¶

= p2

= ¡1 + i:

+ i 2

¼

3¼

p2

p2

Простим наслiдком цi¹¨ теореми ¹

Теорема 2.3 (Теорема Муавра). Щоб пiднести комплексне число до натурального степеня n, потрiбно пiднести до цього степеня модуль числа, а

аргумент помножити на n:

zn = ½n(cos(n') + i sin(n')):

Теорема 2.4. Модуль частки двох комплексних чисел рiвний частцi ¨х модулiв, а аргумент ¨х рiзницi.

		Доведення. z1	=	½1	¢	cos '1	+i sin '1	¢	cos(¡'2)+i sin(¡'2)	=
		z2		½2		cos '2	+i sin '2		cos '2¡i sin '2
=	½1	((cos('1 ¡ cos '2) + i(sin('1 ¡ sin '2)):								¤
	½2

14

В експоненцiальнiй формi теореми запишуться так:

z1 ¢ z2 = ½1½2 ¢ ei('1+'2);

z1 = ½1 ei('1¡'2): z2 ½2

2.4. Корiнь з комплексного числа

Нехай

n

pz = r(cos à + i sin Ã), äå z = ½(cos ' + i sin '). Òîäi

n

z = ( pz)n = rn(cos(nÃ) + i sin(nÃ)) = ½(cos ' + i sin '):

З останньо¨ рiвностi отриму¹мо: rn = ½, nà = ' + 2¼k, k 2 Z. Òîìó

n

' + 2¼k

r = p½; Ã =

n

;

k = 0; 1; : : : ; n

¡

1:

Àáî

' + 2¼k

' + 2¼k

n

n

p½(cos ' + i sin ') = p½ µcos

n

+ i sin

n

¶;

k = 0; 1; : : : ; n ¡ 1:

™ ðiâíî n коренiв n-го степеня з комплексного числа.

Приклад 2.2. Знайти коренi 4-го степеня з -1.

p4

Зобразимо число 16 в тригонометричнiй формi: ¡1 = cos ¼ + i sin ¼).

¡1 =

cos

¼+2¼k

+ i sin

¼+2¼k

,

k = 0; 1; 2; 3

. Пiдставляючи рiзнi значення

k

4

4

отрима¹мо:

¼

¼

1

1

3¼

3¼

1

1

z1 =

cos 4 + i sin 4

¢= p2 +ip2 ; z2

=

cos 4

+ i sin 4

= ¡p2 +ip2 ;

¡

z3

= cos

5¼

+ i

sin 5¼

=

1

¢

i

1

z

4

=

cos

7¼

+ i sin

7¼

=

1

¢

i 1

;

.

4

¡

p2

¡

4 ¢

p2

p2

¡

4 ¢ ¡p2 ¡

¡

4

¡

Приклад 2.3. Знайти коренi 4-го степеня з 16.

Зобразимо число -1 в тригонометричнiй формi: 16 = 16(cos 0 + i sin 0).

p4

= p4

cos

0+2¼k + i sin 0+2¼k

= 2

cos ¼k

+ i sin ¼k

, k = 0; 1; 2; 3.

16

16

Запишемо¡

4

4

¢

¡

2

2

¢

явно цi коренi:

z1 = 2 (cos 0 + i sin 0) = 2;

z2 = 2

cos

¼

+ i sin

¼

= 2i;

2

2

z3 = 2

(cos ¼ + i sin ¼) =

2;

¡

¢

¡

¡ ¢

z4 = 2 cos 32¼ + i sin 32¼ = ¡2i.

êîðiíü

15

2.5. Коренi многочленiв

Означення 2.3. Многочленом над полем комплексних чисел C назива¹ться функцiя

Pn(z) = anzn + an¡1zn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1z + a0;

(2.5.1)

äå ai 2 C, i = 0; 1; 2; : : : ; n, an 6= 0 коефiцi¹нти рiвняння, à z 2 C змiнна. Число n назива¹ться степенем многочлена.

Рiвняння

anzn + an¡1zn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1z + a0 = 0

(2.5.2)

назива¹ться алгебра¨чним рiвнянням n-го степеня.

Число z0 назива¹ться коренем рiвняння 2.5.4, якщо Pn(z0) = 0.

Ëåìà 2.1 (Áåçó). ßêùî z0 корiнь многочлена Pn(z), то многочлен Pn(z) дiлиться на (z ¡ z0).

Це означа¹, що

Pn(z) = (z ¡ z0)Qn¡1(z);

(2.5.3)

äå Qn¡1(z) деякий многочлен (n ¡ 1)-го степеня. Якщо многочлен Pn(z) дiлиться на (z ¡ z0)k, але не дiлиться на (z ¡ z0)k+1, то кажемо, що z0 кратностi k.

Велика теорема алгебри вигляда¹ так.

Теорема 2.5 (Гаус). Всяке рiвняння Pn(z) = 0 над полем комплексних чисел ма¹ принаймнi один комплексний корiнь.

Враховуючи вищесказане, ¨¨ можна переформулювати i так:

Теорема. Всяке рiвняння Pn(z) = 0 над полем комплексних чисел ма¹ рiвно n комплексних коренiв (враховуючи кратнiсть).

А тепер припустимо, що всi коефiцi¹нти многочлена Pn(z) äiéñíi.

Ëåìà 2.2. ßêùî z0 корiнь многочлена P (z) з дiйсними коефiцi¹нтами, то число z¹0 теж ¹ коренем цього многочлена.

Доведення виплива¹ з того, що для всякого дiйсного числа ®

			16
z¹1 + z¹2 =		, ® ¢ z¹ = ® ¢ z, z¹1 ¢ z¹2 = z1 ¢ z2.
	z1 + z2
Наслiдок 2.1. Довiльний многочлен Pn(x) над полем дiйсних чисел R
можна зобразити таким чином:
Pn(x) = an(x ¡ ®1) : : : (x ¡ ®k)(x2 + ¯1x + °1) : : : (x2 + ¯sx + °s);			(2.5.4)

äå ®i; ¯j; °j 2 R, i = 1; 2; : : : ; k, j = 1; 2; : : : ; s, k + 2s = n, i x2 + ¯jx + °j

нерозкладний тричлен (без дiйсних коренiв).

Приклад 2.4. Розкласти на множники за наслiдком 2.1 многочлен x4 + 1.

Розглянемо рiвняння x4 + 1 = 0. Воно ма¹ чотири комплекснi коренi (див. приклад 2.2):

	1					1					1					1						1				1					1					1
	z1 = p		+ ip					; z2			= ¡p		+ ip					; z3				= ¡p			¡ ip			; z4			= p		¡ ip					:
		2					2					2					2						2				2					2					2
Тому наш многочлен можна подати у виглядi:																										¡ ip2¶µx + p2										+ ip2¶					=
x4+1 = µx ¡ p2						¡ ip2					¶µx ¡ p2 + ip2¶µx + p2
				1					1		1								1			1				1					1					1
	õx ¡ p2
=				¶		+			2!õx + p2¶							+			2!			= ³x2 ¡ p2x + 1´³x2 + p2x + 1´:
	1					2			1		1					2			1

Цього результату можна досягнути i шкiльними методами:

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 ¡ 2x2 = ¡x2 + 1¢2 ¡ 2x2 = ³x2 ¡ p2x + 1´³x2 + p2x + 1´:

Частина 2

Границi та похiднi

18

ÐÎÇÄIË 3

ЗБIЖНIСТЬ ЧИСЛОВИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ

1.Основнi означення.

2.Властивостi збiжних послiдовностей.

3.Монотоннi послiдовностi.

4.Поняття про пiдпослiдовнiсть.

5.Важливi приклади.

6.Число e. Натуральнi логарифми.

3.1. Основнi означення

Ïiä функцi¹ю f : A ! B з множини A в множину B ми розумi¹мо закон, який всякому елементу x 2 A ставить у вiдповiднiсть ¹диний елемент f(a) 2 B. При цьому множина A назива¹ться областю визначення функцi¨ f, а множина ff(x) j x 2 Ag = f(A) ½ B областю значень функцi¨ f. ßêùî ff(x) j x 2 Ag = B то кажуть, що функцiя дi¹ з множини A íà множину B.

Це не до кiнця строге означення, оскiльки слово функцiя замiню¹ться словом закон . Строге означення поняття функцi¨ да¹ться в курсi дискретно¨ математики.

Означення 3.1. Ïîñëiäîâíiñòþ назива¹мо функцiю f : N ! R з множини натуральних чисел в множину дiйсних чисел. Прийнято позначати f(n) = xn.

Числа xn називаються елементами послiдовностi. Використовуються такi позначення для послiдовностей:

fxng1n=1; fxng; fx1; x2; x3; : : : g:

Приклад 3.1.

1. f1; 2; 3; : : : g послiдовнiсть натуральних чисел;

2. fn1 g = f1; 12 ; 13 ; 14 ; : : : g;

3. f1 + (¡1)ng = f0; 2; 0; 2; 0; 2; : : : g.

19

Означення 3.2. Послiдовнiсть fxng назива¹ться обмеженою зверху, якщо iсну¹ число C 2 R, таке що для всякого n 2 N викону¹ться нерiвнiсть:

xn · C.

Ïîñëiäîâíiñòü fxng назива¹ться обмеженою знизу, якщо iсну¹ число c 2 R, таке що для всякого n 2 N викону¹ться нерiвнiсть: c · xn.

Ïîñëiäîâíiñòü fxng обмежена, якщо вона обмежена зверху i обмежена знизу.

Означення 3.3. Нехай fxng òà fyng двi послiдовностi i c 2 R довiльне число. Тодi послiдовнiсть

fcxng = fcx1; cx2; cx3; : : : g

назива¹ться добутком послiдовностi fxng на число c 2 R,

fxn + yng = fx1 + y1; x2 + y2; x3 + y3; : : : g

назива¹ться сумою послiдовностей fxng òà fyng,

fxn ¡ yng = fx1 ¡ y1; x2 ¡ y2; x3 ¡ y3; : : : g

назива¹ться рiзницею послiдовностей fxng òà fyng ,

fxn ¢ yng = fx1 ¢ y1; x2 ¢ y2; x3 ¢ y3; : : : g

назива¹ться добутком послiдовностей fxng òà fyng ,

½yn ¾		=	½y1 ;		y2 ;	y3 ; : : : ¾
	xn			x1	x2	x3

ïðè óìîâi, ùî âñi yn =6 0, назива¹ться часткою послiдовностей fxng òà fyng.

Означення 3.4. Число a 2 R назива¹ться границею числово¨ послiдовностi fxng, ÿêùî

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N): fjxn ¡ aj < "g:

Познача¹ться це так:

a = lim xn; àáî xn ! a ïðè n ! 1:

n!1

Якщо послiдовнiсть ма¹ границю, то вона назива¹ться çáiæíîþ, в протилежному випадку вона назива¹ться ðîçáiæíîþ.

Доведемо це.

©n

ª

n!1 n

Приклад 3.2. Послiдовнiсть

1

çáiãà¹òüñÿ äî 0:

lim

1

= 0.

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N):

½¯n

¯

=

n < "¾:

¯

1

¯

1

¯

¯

Остання нерiвнiсть викону¹ться, якщо n > 1

¯

¯

£

¤

ÿêùî " =

101 , òî N(") = 11;

" . Тому достатньо взяти

1

+ 1. Наприклад,

"

ÿêùî " =

N(") = 101;

1

100 , òî

ÿêùî " =

1

N(") = 1001 i òàê äàëi.

1000 , òî

20

N(") =

Дамо iнше, еквiвалентне означенню 3.4, означення границi числово¨ послiдовностi.

Позначимо через

B(a; ") def= fx j jx ¡ aj < "g

"-окiл точки a.

Означення 3.5. Число a 2 R ¹ границею числово¨ послiдовностi fxng, якщо для всякого "-околу точки a всi елементи послiдовностi, починаючи з деякого, лежать в цьому околi.

Означення 3.6. Кажемо, що lim xn = +1, ÿêùî

n!1

(8C 2 R)(9N = N(C))(8n > N): fxn ¸ Cg:

Кажемо, що lim xn = ¡1, ÿêùî

n!1

(8c 2 R)(9N = N(c))(8n > N): fxn · cg:

Приклад 3.3.

1.

nlim n3 = +1, оскiльки для всякого C достатньо покласти N(C) =

!1

3

h

i2.

, îñêiëüêè äëÿ

³h

i ´достатньо покласти

p3 C + 1. Òîäi äëÿ 8n > N ìà¹ìî n3

>

p3 C + 1

¸ C.

nlim (¡n) = ¡1

всякого

c < 0

N(c) =

!1

¡c. Òîäi äëÿ 8n > N ìà¹ìî ¡n < c.