matanaliz

81

Тодi функцiя u = F (t1; t2; : : : ; tk) диференцiйовна в точцi Q(b1; b2; : : : ; bk), причому частиннi похiднi в цiй точцi обчислюються за формулами:

@F(Q)

=

@f(P) @'1(Q)

+

@f(P) @'2(Q)

+ ¢ ¢ ¢ +

@f(P) @'m(Q)

@t1

@x1

@t1

@x2

@t1

@xm

@t1

@F(Q)

=

@f(P) @'1(Q)

+

@f(P) @'2(Q)

+ ¢ ¢ ¢ +

@f(P) @'m(Q)

(9.6.1)

@t2

@x1

@t2

@x2

@t2

@xm

@t2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

@F(Q)

=

@f(P) @'1(Q)

+

@f(P) @'2(Q)

+ ¢ ¢ ¢ +

@f(P) @'m(Q)

;

@tk

@x1

@tk

@x2

@tk

@xm

@tk

або, запишемо це скорочено:

@u

=

@u @x1

+

@u @x2

+ ¢ ¢ ¢ +

@u

@xm

@t1

@x1 @t1

@x2 @t1

@xm @t1

@u

=

@u @x1

+

@u @x2

+ ¢ ¢ ¢ +

@u

@xm

(9.6.2)

@t2

@x1 @t2

@x2 @t2

@xm @t2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

@u

=

@u @x1

+

@u @x2

+ ¢ ¢ ¢ +

@u

@xm

@tk

@x1 @tk

@x2 @tk

@xm @tk

Приклад 1. Знайти частиннi похiднi вiд функцi¨ z = cos(x + 2y), äå x = u + v,

x = u ¡ v.

@z

@z @x

@z @y

=

+

= ¡ sin(x + 2y) ¢ 1 ¡ 2 sin(x + 2y) ¢ 1 =

@u

@x

@u

@y

@u

= ¡3 sin(u + v + 2u ¡ 2v) = ¡3 sin(3u ¡ v);

@z

@z @x

@z @y

=

+

= ¡ sin(x + 2y) ¢ 1 ¡ 2 sin(x + 2y) ¢ (¡1) =

@v

@x

@v

@y

@v

= sin(u + v + 2u ¡ 2v) = ¡3 sin(3u ¡ v):

Приклад 2. Знайти частиннi похiднi вiд функцi¨ u = ln x + ln xy + ln xyz, äå

x = t2, y = t2 + s2, z = t2 + s2.

@u

@u @x

@u @y

@u @z

1

y

yz

x

xz

xy

=

+

+

= µ

+

+

¶

2t +

µ

+

¶2t +

2t =

@t

@x

@t

@y

@t

@z

@t

x

xy

xyz

xy

xyz

xyz

µx + y + z ¶2t =

µt2 + t2 + s2 + t2

+ s2 ¶

2t;

3

2

1

3

2

1

@s = @x @s +

@y @s + @z @s = µx + xy + xyz ¶ ¢ 0 + µxy + xyz ¶

2s + xyz 4s3 =

@u

@u @x

@u @y

@u @z

1

y

yz

x

xz

xy

2

2s +

1

)4s3

=

2

2s +

1

)4s3:

2

+ s

2

t

2

+ s

2

y

z

t

Розглянемо деякi частковi випадки.

Нехай k = 1. Функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) = f('1(t); '2(t); : : : ; 'm(t)) = F (t)

може розглядатися як функцiя однi¹¨ змiнно¨. Тодi ¨¨ (повна) похiдна по t øóêà¹òüñÿ

за формулою:

du

@u dx1

@u dx2

@u

dxm

=

+

+ ¢ ¢ ¢ +

:

(9.6.3)

dt

@x1 dt

@x2 dt

@xm

dt

Приклад. Знайти похiдну по t вiд функцi¨ z = xy, äå x = a cos t i y = b cos t.

x1; : : : ; xm. Òîäi

82

dzdt = @x@z dxdt + @y@z dydt = y(¡a sin t) + x(¡b sin t) = ¡ab sin 2t:

Нехай тепер u = f(t; x1; x2; : : : ; xm) = f(t; x1(t); x2(t); : : : ; xm(t)), тобто змiнна t ¹

одночасно параметром для iнших змiнних. Функцiя u може розглядатися як функцiя

îäíi¹¨ çìiííî¨ t. Знайдемо ¨¨ похiдну по цiй змiннiй:

du

@u

@u dx1

+ ¢ ¢ ¢ +

@u

dxm

(9.6.4)

=

+

:

dt

@t

@x1 dt

@xm

dt

du

@u

В цьому випадку похiдну

називають повною, а похiдну

частинною.

dt

@t

9.7. Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiала

Нагада¹мо, що коли змiннi x1; x2; : : : ; xm ¹ незалежними змiнними, то диференцiал функцi¨ u = f(x1; x2; : : : ; xm) знаходимо за формулою:

	@u			@u		+ ¢ ¢ ¢ +	@u
du =		dx1	+		dx2			dxm:
	@x1			@x2			@xm

Виявля¹ться, що формула справджу¹ться i тодi, коли змiннi x1; x2; : : : ; xm ¹ залежними

змiнними: x1 = '1(t1; t2; : : : ; tk); x2 = '2(t1; t2; : : : ; tk); : : : ; xk = 'k(t1; t2; : : : ; tk):

З цього факту виводяться такi правила знаходження диференцiалу.

1: d(c ¢ u) = c ¢ du;
2:	d(u § v) = du § dv;			(9.7.1)
3: d(u ¢ v) = u dv + v du;
4:	d ¡v ¢ =	¢ v2	:
	u	du v¡u¢dv

9.8. Похiдна вiд функцi¨, задано¨ неявно

Теорема 9.5. Нехай рiвняння

F (u; x1; : : : ; xm) = 0;

äå F диференцiйовна функцiя змiнних u; x1; : : : ; xm визнача¹ u як функцiю незалежних змiнних

@u	F 0		(u	; a	; : : : ; a )
	(P ) = ¡	xi	0	1	m	;	(9.8.1)
@xi		Fu0 (u0; a1; : : : ; am)

äå P = P (a1; a2; : : : ; am), F (u0; a1; a2; : : : ; am) = 0.

83

Якщо ма¹мо неявно задану поверхню F (x; y; z) = 0 в просторi R3, òî ðiâíÿí- ня дотично¨ площини та нормалi в точцi Q(x0; y0; z0) (F (x0; y0; z0) = 0) задаються, вiдповiдно, рiвняннями:

Fx0 (Q)(x ¡ x0) + Fy0(Q)(y ¡ y0) + Fz0(Q)(z ¡ z0) = 0;

x ¡ x0 = y ¡ y0 = z ¡ z0 : Fx0 (Q) Fy0(Q) Fz0(Q)

(9.8.2)

(9.8.3)

84

ÐÎÇÄIË 10

ПОВЕРХНI РIВНЯ, ПОХIДНА ЗА НАПРЯМКОМ, ГРАДI™НТ

1.Поверхнi (лiнi¨) рiвня функцiй двох (трьох) змiнних

2.Похiдна за напрямком та градi¹нт

3.Властивостi градi¹нта

10.1. Поверхнi (лiнi¨) рiвня функцiй трьох (двох) змiнних

Для наглядностi будемо розглядати функцi¨ двох та трьох змiнних, хоча результати легко переносяться на загальний випадок. Нехай A ½ R3 (÷è A ½ R2) область

визначення функцi¨ f. Ще кажуть, що в областi A задане скалярне поле. Наприклад,

ÿêùî f(x; y; z) температура в точцi M = M(x; y; z), òî f скалярне поле температур; якщо f(x; y; z) означа¹ тиск в точцi M(x; y; z), òî f скалярне поле тиску.

Означення 10.1. Нехай c 2 R довiльне число. Множина

Fc = fM 2 A j f(M) = cg

назива¹ться поверхнею c-рiвня функцi¨ f.

ßêùî f функцiя двох змiнних, то така множина назива¹ться лiнi¹ю рiвня, якщо

f функцiя m змiнних гiперповерхнею рiвня.

Зауважимо, що так означенi об'¹кти у випадку довiльно¨ функцi¨ можуть не збiгатися зi звичайним уявленням про поверхню чи лiнiю. Наприклад, якщо f(x; y) =

sin2 xy + cos2 xy, òî Fc = ; для всякого c 6= 1 i F1 = R2.
Розглянемо бiльш звичнi приклади.					+ y22
Приклад 1. Нехай f(x; y; z) = x22						+ z22 , äå a; b; c константи. Тодi F1
åëiïñî¨ä x2	y2	z2		a	b	c		p
			= 1	, i для всякого	k > 0 Fk		теж елiпсо¨ди з пiвосями			,
a2	+ b2	+ c2						a k

p p

b k, c k. Очевидно, що F0 = f(0; 0; 0)g i Fk = ; äëÿ k < 0. Тому ввесь простiр R3 ¹ об'¹днанням елiпсо¨дiв та точки f(0; 0; 0)g початку координат.

Приклад 2. Нехай f(x; y) = x ¡ y. Òîäi Fc = f(x; y) 2 R2jy = x ¡ cg, тобто площина R2 зобража¹ться як об'¹днання прямих y = x ¡ c.

Очевидно, що вся область визначення функцi¨ f ¹ об'¹днанням ¨¨ c-ðiâíiâ:

[

A = Fc:

c2R

85

10.2. Похiдна за напрямком та градi¹нт

Нехай P (x0; y0; z0) 2 A внутрiшня точка. Розглянемо всеможливi променi l, що виходять з точки P : вони однозначно визначаються одиничним вектором ~e того ж напрямку. Нехай вектор заданий сво¨ми напрямними косинусами (~e ) = (cos ®; cos ¯; cos °): (нагада¹мо, що ®, ¯, ° кути мiж вектором та координатними осями)

Точка M, яка розташована на променi l íà âiääàëi t вiд точки P ма¹ координати

x = x0 + t cos ®; y = y0 + t cos ¯; z = z0 + t cos °:

Розглянемо складну функцiю

u = f (x0 + t cos ®; y0 + t cos ¯; z0 + t cos °) = u(t):

(10.2.1)

Означення 10.2. Похiдна функцi¨ f ïî t (взята як похiдна складно¨ функцi¨) при t = 0 назива¹ться похiдною функцi¨ f â òî÷öi P за напрямком l (чи за напрямком вектора ~e) i познача¹ться як @f@l (P ) = @f@e¹ (P ).

Îòæå,

	@f	(P ) def=	@f	(P ) cos ® +	@f	(P ) cos ¯ +	@f	(P ) cos °:	(10.2.2)
	@l		@x		@z		@z

Легко бачити, що

@f

(P ) =

@f

(P );

@f

(P ) =

@f

(P );

@f

(P ) =

@f

(P ):

~

@x

~

@y

~

@z

@i

@j

@k

градi¹нтом функцi¨ f â òî÷öi P :						³@x		@y	@z	´
Означення 10.3. Вектор з координатами						@f (P ); @f			(P ); @f (P )
def	@f		~	@f		~	@f		~
grad f(P ) =	@x		(P )i +	@y (P )j +			@z	(P )k:
Легко бачити, що
	@f		= (grad f;~e)
	@e¹

назива¹ться

(10.2.3)

(10.2.4)

Нехай функцiя f : A ! R; A ½ R3 диференцiйовна всюди. Оскiльки вектор grad f(P )

визначений для всяко¨ точки P 2 A, òî íà A, поряд зi скалярною функцi¹ю f (скалярним полем) визначено векторне поле градi¹нтiв grad f.

86

~ ~

Приклад 10.1. 1. z = x ¡ y, grad f = i ¡ j;

~~

2.z = xy, grad f = yi + xj.

3. Знайти похiдну за напрямком вектора ~a = (1; ¡2) â òî÷öi P (3; 4) вiд функцi¨

z = xy.

~

~

,

~ ~

. Пронорму¹мо вектор

:

grad z = yi + xj

grad z(3; 4) = 4i + 3j

~a

~a

= ~e =

³p1

; ¡p2

´. Òîäi @z@~e

= 1 ¢ p1

¡ 2 ¢ p2

= ¡p1

.

jaj

5

5

5

5

5

10.3. Властивостi градi¹нта

1.	@f@~e = (grad f;~e) = j grad fj ¢ cos ', äå ' кут мiж вектором ~e òà grad f. Àëå
òîäi		@f
			= ïð grad f;	(10.3.1)
		@~e	~e
тобто похiдна за напрямком вектора ~e рiвна проекцi¨ вектора grad f				на напрямок
вектора ~e.
2.	Похiдна за напрямком вектора ~e найбiльша, якщо напрямки векторiв ~e òà
grad f збiгаються.
3.	Похiдна за напрямком вектора ~e, який ортогональний до вектора grad f
ðiâíà íóëþ.
4.	Градi¹нт напрямлений по нормалi до поверхнi (лiнi¨) рiвня в точцi P â ñòî-

рону зростання функцi¨ f. Вiн вказу¹ напрям найбiльшого зростання функцi¨.

87

ÐÎÇÄIË 11

ПОХIДНI ТА ДИФЕРЕНЦIАЛИ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ

11.1. Похiднi вищих порядкiв

Нехай функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) задана на A ½ Rm i нехай частинна похiдна

@u

iсну¹ всюди в деякому околi точки P 2 A.

@xi

Означення 11.1. Частинна похiдна за змiнною xj

âiä

@u

(P ) назива¹ться ча-

@xi

стинною похiдною другого порядку по xi ïî xj вiд функцi¨ f i познача¹ться

@

@u

@2u

µ

¶ def=

= fx00jxi

= ux00jxi

= uxjxi :

@xj

@xi

@xj@xi

ßêùî i = j

, то записують @2u

2

2

@xi@xi def= @xi ). Припустимо, що ми

@x

(приймаючи

i

вже означили похiднi (n ¡ 1)-го порядку. Тодi

@n

Ã

@(n¡1)u

! def=

@nu

= f(n)xn:::x2x1 = uxn:::x2x1 :

@xin

@xi(n¡1) : : : @xi2 @xi1

@xin : : : @xi2 @xi1

Означення 11.2. Функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) назива¹ться n раз диференцiйовною в точцi P , якщо всi ¨¨ частиннi похiднi (n ¡ 1)-го порядку ¹ в цiй точцi диференцiйовнi.

Теорема 11.1 (Достатня умова n кратно¨ диференцiйовностi). Для n кратно¨ диференцiйовностi функцi¨ f â òî÷öi P достатньо, щоб всi ¨¨ частиннi похiднi n-го порядку в цiй точцi ¹ неперервними в цiй точцi.

Теорема 11.2. Нехай функцiя f n раз диференцiйовна в точцi P . Òîäi â öié òî÷öi âñi çìiøàíi ïîõiäíi n-го порядку не залежать вiд порядку диференцiювання.

Разом цi теореми дають такий результат.

Теорема 11.3. Нехай в точцi P iснують i неперервнi всi частиннi похiднi n-ãî

порядку. Тодi змiшанi похiднi не залежать вiд того, в якому порядку проводиться диференцiювання.

88

11.2. Диференцiали вищих порядкiв

Диференцiал n-го порядку обчислю¹ться за символiчною формулою:

dnu = µ@x1 dx1 + @x2 dx2 + ¢ ¢ ¢ + @xm dxm¶

u:

(11.2.1)

@

@

@

n

Зокрема, якщо ма¹мо функцiю двох змiнних z = f(x; y), òî

@

@

2

@2z

@2z

@2z

d2z = µ

dy¶

dx +

=

dx2

+ 2

dx dy +

dy2:

@x

@y

@x2

@x

@y2

@

@

3

@3z

@3z

@3z

@3z

d3z = µ

dy¶ =

dx +

dx3

+ 3

dx2 dy + 3

dx dy2 +

dy3:

@x

@y

@x3

@x2@y

@x@y2

@y3

Зауваження 11.1. Зауважимо, що другий диференцiал не ма¹ iнварiантно¨ форми запису. Якщо, наприклад, z = f(x; y), x = '(u; v), y = Ã(u; v) òî

2

@2z

2

@2z

@2z

2

@z

2

@z 2

d z =

dx

+ 2

dx dy +

dy

+

d

x +

d y:

@x2

@x

@y2

@x

@y

11.3. Формула Тейлора для функцiй багатьох змiнних

Нехай функцiя u = f(x1; x2; : : : ; xm) ¹ (n + 1) раз диференцiйовна в деякому околi U точки P (a1; a2; : : : ; am) i M(x1; x2; : : : ; xm) 2 U довiльна iнша точка з цього околу. Позначимо dx1 = x1 ¡a1, dx2 = x2 ¡a2; : : : , dxm = xm ¡am. Тодi повний прирiст 4u = f(P ) ¡ f(M) функцi¨ f зада¹ться формулою

4u = du(P ) +

d2u(P )

+ ¢ ¢ ¢ +

dnu(P )

+

dn+1u(Q)

;

(11.3.1)

2!

n!

(n + 1)!

äå Q 2 U деяка точка. Це формула Тейлора з залишком у формi Лагранжа.

Нехай функцiя f (n ¡ 1) раз диференцiйовна в деякому околi U точки P i n ðàç

ó ñàìié òî÷öi P . Òîäi

4u = du(P ) +

d2u(P )

+ ¢ ¢ ¢ +

dnu(P )

+ o(½

n

);

(11.3.2)

2!

n!

äå ½ = d(M; P ). Це формула Тейлора з залишком у формi Пеано.

Наприклад, нехай z = f(x; y) функцiя двох змiнних. Тодi

	4z = dz(P ) +	d2z(P)		2		) =
		2!		+ z + o(½
³	@x@z dx + @y@z dy´ + ³@x@2z2 dx2 + 2		@2z		dx dy + @y@2z2 dy2		´ + o(½2)	(11.3.3)
			@x

89

ÐÎÇÄIË 12

ЛОКАЛЬНI ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦIЙ

Нехай f : A ! R; A ½ Rm деяка функцiя, P = P (a1; a2; : : : ; am) внутрiшня точка множини A.

Означення 12.1. Кажемо, що функцiя f ì๠â òî÷öi P локальний максимум, якщо iсну¹ такий окiл U ½ A точки P , що для всiх точок M 2 U викону¹ться:

f(P ) > F (M); àáî ¢f(P ) = f(M) ¡ f(P ) < 0:

Кажемо, що F ì๠â òî÷öi P локальний мiнiмум, якщо в деякому околi U ½ A цi¹¨ точки викону¹ться:

f(P ) < F (M); àáî ¢f(P ) = f(M) ¡ f(P ) > 0:

Точка P назива¹ться точкою локального екстремуму, якщо в цiй точцi функцiя f ма¹ або локальний максимум, або локальний мiнiмум.

Теорема 12.1 (Необхiдна умова локального екстремуму). Нехай функцiя f ма¹ всi частиннi похiднi першого порядку в точцi P . Òîäi ÿêùî P точка локального екстремуму, то всi вони рiвнi нулю:

@f	(P ) = 0;	@f	(P ) = 0; : : : ;	@f	(P ) = 0:
@x1		@x2		@xm

Це еквiвалентно тому, що df(P ) = 0 (при умовi, що перший диференцiал iсну¹).

Доведення. Припустимо, для визначенностi, що P точка локального макси-

@f

муму. Доведемо, наприклад, що @x1 (P ) = 0. Зафiксу¹мо всi змiннi функцi¨ f, крiм першо¨. Тодi функцiя g(x1) = f(x1; a2; : : : ; am) ¹ функцi¹ю однi¹¨ змiнно¨. Точка a1

¹ точкою локального максимуму для функцi¨ g. Справдi, якщо f(a1; a2; : : : ; am) > f(x1; x2; : : : ; xm) для всiх точок M = M(x1; x2; : : : ; xm) 2 U, зокрема для точок M = M(x1; a2; : : : ; am), òî g(a1) > g(x1). Але необхiдна умова локального екстремуму фун-

êöi¨ îäíi¹¨ çìiííî¨	dg	(a1) = 0. Îñêiëüêè	@f	(P ) =	dg	(a1) = 0, то ми отримали те,
	dx		@x		dx
	1		1		1
що й треба було довести.						¤

Означення 12.2. Внутрiшнi точки P областi A визначення функцi¨ f, â ÿêèõ âñi

частиннi похiднi рiвнi нулю, називаються критичними (стацiонарними чи точками, пiдозрiлими на екстремум)

90

Теорема 12.2. Нехай функцiя f один раз диференцiйовна в околi критично¨ точки P i äâà ðàçè â ñàìié öié òî÷öi. Òîäi:

1. ßêùî d2f(P ) > 0 для всiх значень dx1; dx2; : : : ; dxm, не рiвних одночасно нулю ((dx1)2 + (dx2)2 + ¢ ¢ ¢ + (dxm)2 > 0), òî â òî÷öi P функцiя f ма¹ локальний мiнiмум.

2.ßêùî d2f(P ) < 0 для всiх значень dx1; dx2; : : : ; dxm, не рiвних одночасно нулю, то в точцi P функцiя f ма¹ локальний максимум.

3.ßêùî d2f(P ) набува¹ i додатних i вiд'¹мних значень, то екстремуму нема¹.

4.Якщо виконуються нестрогi нерiвностi d2f(P ) · 0 ÷è d2f(P ) ¸ 0, то потрiбно проводити додатковi дослiдження.

Теорема 12.3. Нехай функцiя z = f(x; y) задана на множинi A ½ R2 i P 2 A

внутрiшня точка. Нехай f один раз диференцiйовна в околi точки P i äâà ðàçè

â òî÷öi P

. Нехай @z

(P ) = 0 i @z

(P ) = 0, тобто P критична точка. Позначимо

@x

@y

@2z2 (P ) = a22; ¢ =

¯

¯

@2z2 (P ) = a11;

@2z (P ) = a12 = a21;

a11

a12

:

¯

¯

¯

¯

@x

@x@y

@y

¯

a21

a22

¯

¯

¯

¯

¯

Òîäi â òî÷öi P ìà¹ìî

1.локальний максимум, якщо 4 > 0 i a11 < 0;

2.локальний мiнiмум, якщо 4 > 0 i a11 > 0;

3.локального екстремуму нема, якщо 4 < 0;

4.потрiбно провести додаткове дослiдження, якщо 4 = 0.