matanaliz

121

¡(1) = 1, ¡(2) = 1, ¡(3) = 2, ¡(4) = 3 ¢ 2, : : : , ¡(n) = (n ¡ 1)!.

122

Таблиця iнтегралiв

1.

R

xa dx =

xa+1

+ C;

a 6= ¡1;

a+1

2.

dxx = ln x + C;

3.

R

sin x dx j=j¡ cos x + C;

4.

R

cos x dx = sin x + C;

5.

R

dx

= tg x + C;

cos2 x

6.

R

dx

= ¡ ctg x + C;

sin2 x

7.

R

tg x dx =

ln

cos x + C;

8.

R

ctg x dx =¡ln sinj x +j C;

9.

R

ex dx = ex + jC;

j

10.

R

ax dx =

ax

+ C;

a > 0;

a = 1;

11.

R

ln a

6

dx

= arctg x + C;

1+x2

12.

R

dx

1

x

= a arctg a

+ C;

a = 0;

2

+x2

13.

R

a

dx

= arcsin x + C;

6

p1¡x

2

14.

R

dx

x

p

= arcsin a

+ C;

jaj > jxj;

a2¡x2

R

dx

15.

p

= ln(x + px2 + a2) + C;

a 6= 1

x2+a2

R

dx

16.

p

= ln x + px2

¡ a2j + C;

jxj > jaj > 0;

x2

a2

17.

R

a ¡x

2a

lnj

¯a¡x

¯

6

dx¡

=

1

¯

a+x

¯

+ C; a = 0;

2 2

18.

R

¯

¯

sh x dx = ch x + C;

19.

R

ch x dx = sh x + C;

20.

R

dx

= th x + C;

ch2 x

21.

R

dx

= ¡ cth x + C;

sh2 x

¡ a2

a2

ln x + px2

a2 + C.

23.

R

px2

¡ a2 dx = x px2

R

x

a2

x

22.

pa2

x2 dx =

2 pa2

x2

+ 2

arcsin a + C;

R

§

2

§

§

j

§

j

2

y = y(t); t 2 [®; ¯]

123

Формули для застосування iнтегралiв

1. Нехай область G обмежена графiком функцi¨ y = f(x), x 2 [a; b], причому f(x) ¸ 0, та прямими y = 0, x = a, x = b. Тодi площа цi¹¨ областi

обчислю¹ться за формулою:
	SG = Zab f(x) dx:	(18.4.6)
	2. якщо крива, що обмежу¹ область G, задана параметрично
	x = x(t); y = y(t); t 2 [®; ¯]; x(®) = a; x(¯) = b;
òî	SG = Z®¯ y(t)x0(t) dt:	(18.4.7)
	3. Нехай область G обмежена графiками двох функцiй y = f(x) òà

y = g(x), x 2 [a; b], причому f(x) ¸ g(x), та прямими x = a i x = b. Тодi площа цi¹¨ областi обчислю¹ться за формулою:

SG = Zab (f(x) ¡ g(x)) dx:	(18.4.8)
4. Нехай крива r = f('), ® · ' · ¯, задана у полярнiй системi

координат. Площа сектора D, обмеженого променями ' = ® òà ' = ¯ i кривою r = f(') обчислю¹ться за формулою

		1	¯
	SD =		Z®	(f('))2 d':	(18.4.9)
		2

Обчислення довжини дуги криво¨

1. Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна разом зi сво¹ю першою

похiдною. Тодi крива l = f(x; y) j y = f(x); x			2 [a; b]g ма¹ скiнченну
довжину, яка обчислю¹ться за формулою
s = Z b q		dx:
	1 + (f0(x))2		(18.4.10)
a
2. Нехай

x = x(t);

124

параметрично задана крива. Припустимо, що x(t), y(t) неперервнi функцi¨, якi мають неперервнi першi похiднi. Тодi довжина криво¨ обчи-

слю¹ться за формулою	Z®¯ q(x0(t))2 + (y0(t))2dt:
s =		(18.4.11)

3. Нехай в полярнiй системi координат крива задана рiвнянням r = r('), ' 2 ['1; '2]. Тодi довжина дуги криво¨ обчислю¹ться за формулою:

'		p
s = Z'1	2	r2(') + (r0('))2d':	(18.4.12)

Обчислення об'¹мiв тiл за площами поперечних перерiзiв

Нехай ма¹мо тiло Позначимо через Q(x0) [a; b]. Òîäi

T , проекцi¹ю якого на вiсь Ox ¹ âiäðiçîê [a; b]. площу перерiзу тiла T площиною x = x0, x0 2

Z b

V = Q(x) dx:	(18.4.13)
a

Об'¹м тiла обертання

Нехай тiло T утворене обертанням графiка неперервно¨ невiд'¹мно¨ функцi¨ f : [a; b] ! R навколо осi Ox. Об'¹м тiла обчислю¹ться за форму-

ëîþ:					V = ¼ Zab f2(x)dx:					(18.4.14)
	Площа боково¨ поверхнi обчислю¹ться за формулою:
				P = 2¼ Zab f(x)q				dx:
							1 + (f0(x))2			(18.4.15)
	При обчисленнi довжин кривих часто використовуються такi iнте-
грали:
	R	p		dx = 21 (xp		+ a2 arcsin xa ) + C;
			a2 ¡ x2		a2 ¡ x2

R p p p

x2 § a2dx = 12 (x x2 § a2 § a2 ln jx + x2 § a2j) + C;