matanaliz

41

Теорема 5.8. Нехай f неперервна на [a; b] функцiя, яка прийма¹ на кiнцях вiдрiзка значення рiзних знакiв: f(a) ¢ f(b) < 0. Тодi iсну¹ така точка

x0 2 [a; b], ùî f(x0) = 0.

Теорема 5.9 (Теорема Кошi про промiжне значення). Нехай функцiя f : [a; b] ! R неперервна i, для визначеностi, нехай f(a) < f(b). Тодi для всякого

числа d 2 (f(a); f(b)) iсну¹ така точка c 2 (a; b), ùî f(c) = d.

5.8. Рiвномiрна неперервнiсть

Нагада¹мо означення звичайно¨ неперервностi. Функцiя f : A ! R неперервна на A, ÿêùî

(8x0 2 A)(8" > 0)(9± > 0)(8x 2 A): fjx ¡ x0j < ± ) jf(x) ¡ f(x0)j < "g:

Означення 5.8. Функцiя f назива¹ться рiвномiрно неперервною íà A, ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8x0 2 A)(8x 2 A): fjx ¡ x0j < ± ) jf(x) ¡ f(x0)j < "g:

Очевидно, що з рiвномiрно¨ неперервностi слiду¹ звичайна, але не навпаки.

Теорема 5.10 (Теорема Кантора). Якщо f : [a; b] ! R неперервна на [a; b], то вона рiвномiрно неперервна на [a; b].

42

ГРАНИЦI, ЯКI ПОТРIБНО ПАМ'ЯТАТИ

1.

lim nk =

8

0;

ïðè

k < 0;

Зокрема,

n

>

1;

ïðè

k = 0;

>

!1

<

+1

ïðè

k > 0:

ÿêùî

>

:

lim aknk + ¢ ¢ ¢ + a1n + a0 = 8 ak

ÿêùî

k < s;

>

>

0;

!1

¢ ¢ ¢

<

;

ÿêùî

k = s;

n

збiга¹ться зi знаком дробу> ak

bsns + + b1n + b0

>

bs

>

:

§

:

§1;

k > s;

8

0;

bs

jqj < 1;

ÿêùî

>

ÿêùî

n

>

íå iñíó¹;

ÿêùî

q

1;

!1

>

>

· ¡

2.

lim qn =

<

1;

>

ÿêùî

q = 1;

>

+1;

q > 1:

>

>

>

3.

lim

>

n

pa =:1 ïðè a > 0.

n!1

4.

lim

pn = 1.

n!1

n

nk

5.

lim

= 0 ïðè a > 1.

n

n!1 a

6.

lim

an

= 0 ïðè a > 0.

n!1 n!

1

n

7. (Друга важлива границя). lim

1 +

= e.

n¶

1

x

n!1

µ

1

7a.

lim

= e; àáî

lim (1 + x)x

= e.

x!1 µ1 + x¶

x!0

8. (Перша важлива границя). lim

sin x

= 1:

x

x!0

9. lim

ax ¡ 1

= ln a (a > 0), зокрема lim

ex ¡ 1

= 1.

x!0

x

x!0

x

10. lim

ax ¡ 1

= ln a (a > 0), зокрема lim

ex ¡ 1

= 1.

x!0

x

x!0

x

11. lim

(1 + x)a ¡ 1

= a.

x!0

x

43

ÐÎÇÄIË 6

ÏÎÕIÄÍÀ

1.Означення i приклади.

2.Правила обчислення похiдних.

3.Диференцiювання функцi¨, задано¨ параметрично.

4.Похiдна неявно задано¨ функцi¨. Степенево-показникова функцiя.

5.Однобiчнi похiднi.

6.Фiзична та геометрична iнтерпретацiя похiдно¨.

7.Диференцiйовнiсть та диференцiал.

8.Похiднi i диференцiали вищих порядкiв.

9.Теореми про диференцiйовнi функцi¨.

10.Формула Тейлора.

11.Розкриття невизначеностей.

6.1.Означення i приклади

Нехай f : A ! R функцiя, a; x 2 A. Позначимо:

¢x := x ¡ a прирiст аргумента;

¢f(a; ¢x) := f(a + ¢x) ¡ f(a) = f(x) ¡ f(a) прирiст функцi¨ f â òî÷öi a, який вiдповiда¹ приросту аргумента ¢x.

Означення 6.1. Кажемо, що функцiя f â òî÷öi a ì๠ïîõiäíó, якщо iсну¹ скiнченна границя

	lim	¢f(a; ¢x)	= lim	f(x) ¡ f(a)	def= f0(a) =	df		(a) =	df(a)	:
		¢x		x ¡ a		dx			dx
	¢x!0		x!a

Приклад 6.1.

1. Знайдемо похiдну вiд функцi¨-константи f(x) = c, c 2 R. Для всякого a 2 R

lim

c ¡ c

= 0. Òîìó c0

= 0.

x!a x ¡ a

x

n

¡ a

n

2. Нехай f(x) = xn, n

2 N

. Для всякого a

lim

=

x

lim ¡x ¡

+ x ¡

a + x

+ : : : a ¡

¢

2 R x!a

a

= n ¢ x ¡

¡

a

= n ¢ a ¡

. Òîìó (x )0

n

1

n 2

n

3

2

n

1

n 1

¡

n

n 1.

x!a

¢x!0

¢x ¡

=

¢x!0

¢x¡

¢

3. (sin x)0 =

lim

sin(x + ¢x)

sin x

lim

2 sin ¢x cos x +

¢x

=

2

2

sin ¢2x

¢x

. Òîìó

0

.

lim

lim

cos x +

= cos x

(sin x) = cos x

¢x

¢x!0

¢x!0

µ

2

¶

¡

¢

2

cos x

= ¢x!0

¢x

¢2x

¢x!0

¢x

¡

4. (cos x)0 = lim

cos(x + ¢x)

lim

¡2 sin ¢2x sin

x +

=

µ¡

µ

2

¶¶

¢x!0

2

¢x!0

¡

¡

lim

sin ¢x

lim

sin

x +

¢x

= sin x. Òîìó (cos x)0 =

sin x.

2

¢x

5. (ax)0

=

lim

ax+¢x ¡ ax

= ax

lim

a¢x ¡ 1

= ax ln a. Òîìó

(ax)0

= ax

¢x!0

¢x

¢x!0

¢x

зокрема (ex)0 = ex.

44

ln a,

6.2. Правила обчислення похiдних

Теорема 6.1. Постiйний множник можна виносити за знак похiдно¨:

(c ¢ f(x))0 = c ¢ f0(x):

Доведення. Позначимо g(x) = c ¢ f(x). Òîäi

g0(x) = lim	c ¢ f(x + ¢x) ¡ cf(x)	=c	¢	lim		0	f(x + ¢x) ¡ f(x)	= c	¢	f0	(x):
¢x 0	¢x			¢x	!		¢x
!

¤

Теорема 6.2. Похiдна вiд суми двох функцiй дорiвню¹ сумi похiдних до-

äàíêiâ:

(f(x) + g(x))0 = f0(x) + g0(x):

	Доведення. (f(x) + g(x))0 =				lim	f(x + ¢x) + g(x + ¢x) ¡ (f(x) + g(x))		=
					¢x!0		¢x
lim	f(x + ¢x) ¡ f(x)	+	lim	g(x + ¢x) ¡ g(x)			= f0(x) + g0(x).	¤
¢x!0	¢x		¢x!0		¢x

Теорема 6.3. Похiдна вiд добутку двох функцiй обчислю¹ться за форму-

ëîþ:

(f(x)

¢

g(x))0 = f0(x)g(x) + f(x)g0(x):

Доведення. (f(x)

¢

g(x))0 = lim

0

f(x + ¢x) ¢ g(x + ¢x) ¡ f(x) ¢ g(x)

=

¢x

¢x

!

= lim

f(x + ¢x) ¢ g(x + ¢x) ¡ f(x) ¢ g(x + ¢x) + f(x) ¢ g(x + ¢x) ¡ f(x) ¢ g(x)

=

¢x!0

¢x

lim

f(x + ¢x) ¡ f(x)

lim

g(x + ¢x) + lim

f(x + ¢x) ¡ f(x)

¢

lim g(x) =

¢x 0

¢x

¢ ¢x 0

¢x 0

¢x

¢x 0

!

!

!

!

f0(x)g(x) + f(x)g0(x).

¤

45

Теорема 6.4. Похiдна вiд частки двох функцiй обчислю¹ться за форму-

ëîþ:

f(x)

0

f0(x)g(x) ¡ f(x)g0(x)

=

:

µg(x)

¶

g2(x)

0

f(x+¢x) f(x)

f(x)

lim

g(x+¢x) ¡ g(x)

Доведення. µg(x)

¶

=

=

¢x!0

¢x

=

lim

f(x + ¢x)g(x) ¡ f(x)g(x + ¢x)

=

¢x!0

¢x ¢ g(x) ¢ g(x + ¢x)

=

lim

f(x + ¢x)g(x) ¡ f(x)g(x) ¡ (f(x)g(x + ¢x) ¡ f(x)g(x))

=

¢x!0

¢x ¢ g(x) ¢ g(x + ¢x)

lim

f(x + ¢x)

f(x)

g(x)

g(x + ¢x)

g(x)

1

=

·

¢x

¡

¢

¡

¢x ¡

¢ f(x)¸ g(x) ¢ g(x + ¢x)

=

¢x!0

=

f0(x)g(x) ¡ f(x)g0(x)

¤

g2(x)

.

Приклад 6.2.

6. (tg x)0 =

sin x

¶

0

=

cos x

¢

cos x ¡ sin x ¢ (¡ sin x)

=

1

(tg x)0

=

1

cos2 x, тобто

cos2 x.

µcos x

cos2 x

7. (ctg x)0 =

cos x

0

=

sin x

sin x cos x

cos x

=

¡1

(ctg x)0

=

¡1

³ sin x ´

¡

¢

sin¡2 x

¢

sin2 x, тобто

sin2 x.

Теорема 6.5 (Похiдна складно¨ функцi¨). Нехай функцiя f : A ! R ì๠ïîõiäíó â òî÷öi x, функцiя g : B ! R, äå f(A) ½ B, ì๠ïîõiäíó â òî÷öi y = f(x). Тодi функцiя g(f): A ! R ì๠ïîõiäíó â òî÷öi x, причому

(g(f(x)))0 = dgdy(y) ¢ dfdx(x) = g0(y) ¢ f0(x):

lim

¢x!0

Доведення. (g(f(x)))0		= lim		g(f(x + ¢x)) ¡ g(f(x))					=
·	f(x + ¢x) ¡ f(x)	¢	¢x!0	¢x		dy	¢ dx.			¤
				¢x	¸
	g(f(x + ¢x)) ¡ d(f(x))		f(x + ¢x) ¡ f(x)		=	dg(y)		df

Теорема 6.6 (Правило диференцiювання обернено¨ функцi¨). Нехай функцiя f : (a; b) ! R, ¡1 · a < b · +1 неперервна на (a; b) i строго монотонно

зроста¹. Позначимо c = lim f(x), d = lim f(x), ¡1 · c < d · +1. Нехай

x!a+0 x!b¡0

g : (c; d) ! (a; b) обернена до f функцiя. Тодi якщо iсну¹ похiдна f0(x) â òî÷öi

x	2	(a; b), òî â òî÷öi y = f(x) iñíó¹ ïîõiäíà g0(y), причому
		g0(y) =	1	=	1	:
			f0(x)		f0(g(y))

	Доведення. g0(y) = lim				g(y + ¢y) ¡ g(y) =		2
							6
	1		1	¢y!0			4
					¢y		6
lim		=
	f(x+¢x)¡f(x)		f0(x) .
¢x 0
!	¢x

			46
	g(y + ¢y) g(y) =		3
	¢y = f(x + ¢x) ¡ f(x);		7
	g(f(x + ¢x)) g(f(x)) = ¢x
	¡		7
		¡	5

¤

Приклад 6.3.

8. Функцiя y = arcsin x ¹ оберненою до функцi¨ x = sin y. Òîìó

dy

1

1

1

1

1

=

=

=

=

p

(arcsin x)0 =

p

dx

dx

cos y

. Ìà¹ìî

.

1 ¡ sin

2

y

2

2

dy

1 ¡ x

1 ¡ x

9. Функцiя

y =

arccos x ¹ оберненою до функцi¨ x = cos y. Òîìó

p

dy

=

1

=

1

=

¡1

=

¡1

(arccos x)0 =

1

sin y

p

¡p

dx

dx

¡

1 ¡ cos

2

y

1 ¡ x

2 . Ìà¹ìî

1 ¡ x

2 .

dy

10. Функцiя y = arctg x ¹ оберненою до функцi¨ x = tg y. Òîìó

dy

1

1

p

cos2 y

1

1

=

=

=

=

=

dx

dx

1= cos2 y

cos2 y + sin2 y

1 + tg2 y

1 + x2 . Ìà¹ìî

dy

1

(arctg x)0

=

.

1 + x2

11. Функцiя y = arcctg x ¹ оберненою до функцi¨ x = ctg y. Òîìó

dy

=

1

=

1

=

¡ sin2 y

=

¡1

=

¡1

dx

dx

¡1= sin

2

y

cos2 y + sin

2

y

1 + ctg

2

y

1 + x2

. Ìà¹ìî

dy

(arcctg x)0 = ¡

1

1 + x2

.

12. Функцiя y = loga x ¹ оберненою до функцi¨ x = ay. Òîìó

dy

=

1

=

1

=

1

=

log a

(loga x)0

=

1

(ln x)0

=

1

dx

dx

ay ln a

x ln a

x

. Ìà¹ìî

x ln a, зокрема

x.

dy

13. y = xa, äå a 2 R. Прологарифму¹мо: ln y = a ln x, (ln y)0 = (a ln x)0, yy0

= xa ,

çâiäêè y0 = ayx = a ¢ xa¡1.

6.3. Диференцiювання функцi¨, задано¨ параметрично

Нехай x = '(t), y = Ã(t) координати точки M(t) = (x(t); y(t)). Ïðè

змiнi параметра t 2 [t1; t2] точка опису¹ деяку криву на площинi. Кажемо, що

рiвняння

8

< x = '(t); : y = Ã(t);

47

t 2 [t1; t2], задають цю криву параметрично. Наприклад, рiвняння

8

< x = cos t; : y = sin t;

t 2 [0; 2¼], задають одиничне коло x2 + y2 = 1.

Теорема 6.7. Нехай 8

x = '(t);

t 2 [t1; t2], параметрично задана:функцiя. Нехай в точцi t iснують похiднi
	< y = Ã(t);
'0(t), Ã0(t) i функцiя x = '(t) в околi точки t ма¹ обернену. Тодi
		yx0 =	y0
			t	:
	¡'¡		xt0		= Ãt0 ¢ ¡'¡ (x)¢x0	= 't0		= xt0 .		¤
Доведення. y = Ã(t) = Ã		(x)¢. Òîìó yx0
	1				1		Ãt0		yt0

6.4. Похiдна неявно задано¨ функцi¨. Степенево-показникова функ-

öiÿ.

Означення 6.2. Кажуть, що рiвняння

F (x; y) = 0

неявно зада¹ функцiю y = f(x), x 2 (a; b), ÿêùî äëÿ âñiõ x 2 (a; b)

F (x; f(x)) = 0:

Ïîõiäíó yx0 вiд неявно задано¨ функцi¨ шукають так: диференцiюють рiвняння F (x; y) = 0, враховуючи, що y = y(x) i з отриманого рiвняння знаходять

yx0 .

Приклад 6.4. Знайти похiдну y0

â òî÷öi (p

1 + e; e) вiд неявно задано¨

x

функцi¨

ln y + y = x2.

Диференцiю¹мо: y0

+ y0 = 2x, звiдки визнача¹мо y0 =

2xy

y

2ep

1+y .

y0

(e) =

1+e

=

2e

1+e

p

:

1+e

v(t) = s0(t).

¢t!0

lim

										48
Розглянемо степенево-показникову функцiю y = u(x)v(x). Диференцi-
³		v(	´	0	0 ³			´	0	= ev(x) ln u(x) (v(x) ln u(x))0 =
þ¹ìî ¨¨ òàê: y0 =	u(x)v(x)				=	ev(x) ln u(x)
u(x)v(x) µv0(x) ln u(x) +		x)u (x)						¶ = u(x)v(x) ln u(x)v0(x) + v(x)u(x)v(x)¡1u0(x).
			u(x)

Можна також використовувати так звану логарифмiчну похiдну (похiдну вiд логарифма дано¨ функцi¨). Покажемо це на прикладi. Нехай потрiбно

знайти похiдну функцi¨ y = xx. Спочатку прологарифму¹мо цю рiвнiсть, а потiм

	продиференцiю¹мо:	y0
	ln y = x ln x;		= ln x + 1:
		y
	Отрима¹мо y0 = y(ln x + 1) = xx(ln x + 1).

6.5. Однобiчнi похiднi

Означення 6.3. Нехай f : A ! R, a гранична точка множини A. ßêùî

	iсну¹ однобiчна границя lim	f(x) ¡ f(a)	def= f+0 (a), то вона назива¹ться ïîõiä-
		x ¡ a
	x!a+0

ною справа функцi¨ f â òî÷öi a. Аналогiчно, якщо iсну¹ однобiчна границя

	lim	f(x) ¡ f(a)	def= f0	(a), то вона назива¹ться похiдною злiва функцi¨ f â
x	a 0	x ¡ a	¡
	! ¡

òî÷öi a.

Очевидно, що функцiя ма¹ похiдну в точцi a тодi i тiльки тодi, коли iснують похiднi справа i злiва в цiй точцi.

Приклад 6.5. Розглянемо функцiю f(x) = jxj. Â òî÷öi x = 0 вона ма¹ рiзнi однобiчнi похiднi f+0 (0) = 1, f¡0 (0) = 1.

6.6. Фiзична та геометрична iнтерпретацiя похiдно¨

Or

s(rt)

-

Нехай матерiальна точка руха¹ться вздовж прямо¨. Позначимо через s(t)

координату точки в час t. Òîäi s = s(t) закон руху матерiально¨ точки.

s(t + ¢t) ¡ s(t)

¢t середня швидкiсть на промiжку;

s(t + ¢t) ¡ s(t)

¢t митт¹ва швидкiсть в час t. Тобто швидкiсть ¹ похiдна вiд координати точки:

49

Розглянемо графiк функцi¨ f : (a; b) ! R.

6
				P©
		©©	©©©©q
				(((
	P	©©((((
		((
((©(0				x-
((	©©qx0

Нехай P0(x0; f(x0)) i P (x; f(x)) двi точки на графiку. Пряма P0P назива¹ться ñi÷íîþ.

Означення 6.4. Дотичною до графiка функцi¨ f : (a; b) ! R â òî÷öi P0 назива¹ться граничне положення сiчно¨ P0P ïðè P ! P0 (ÿêùî òàêå iñíó¹).

Теорема 6.8. Графiк функцi¨ f : (a; b) ! R ì๠â òî÷öi P0 дотичну тодi i òiëüêè òîäi, êîëè iñíó¹ f0(x0). Ïîõiäíà f0(x0) рiвна тангенсу кута дотично¨

з додатним напрямком осi Ox.
Рiвняння дотично¨ зада¹ться формулою:
y ¡ y0 = f0(x0) (x ¡ x0)	(6.6.1)

Рiвняння нормалi до графiка функцi¨ y = f(x) â P0 = (x0; f(x0)) точцi зада¹ться формулою:

(x ¡ x0) + f0(x0) (y ¡ y0) = 0

(6.6.2)

6.7. Диференцiйовнiсть та диференцiал

Означення 6.5. Функцiя f : (a; b) ! R назива¹ться диференцiйовною â òî÷öi x0 2 (a; b), якщо iсну¹ таке число L 2 R, ùî

¢f(x0; ¢x) = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = L ¢ ¢x + o(¢x) ïðè ¢x ! 0: (6.7.1)

Òîäi головна частина приросту функцi¨ L ¢ ¢x назива¹ться диференцiалом функцi¨ f â òî÷öi x0, який вiдповiда¹ приросту аргумента ¢x. Позначають

¢x = x ¡ x0 = dx, df = df(x0; dx) = L ¢ dx.

50

Теорема 6.9. Функцiя f : (a; b)

! R диференцiйовна в точцi x0

2 (a; b)

òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè iñíó¹ f0(x0). Òîäi

f0(x0) =

df(x0; dx)

;

àáî

df = f0 dx:

dx

Доведення. Необхiднiсть.

Îñêiëüêè

¢f(x0; ¢x)

=

L ¢ ¢x + o(¢x)

= L +

o(¢x)

!

L ïðè ¢x

!

0, òî L = f0(x0).

¢x

¢x

¢x

Достатнiсть.

¢f(x0

; ¢x)

¢f(x0; ¢x)

Нехай iсну¹ похiдна

0

lim

0

(x0) = ®(¢x)

, äå

. Òîäi

¢x

f

(x0) = ¢x 0

¢x

¡ f

!

¤

®(¢x) нескiнченно мала, або ¢f(x0; ¢x) = f0(x0)¢x + o(¢x).

Операцiю вiдшукання похiдно¨ називають диференцiюванням. Ìà¹ìî

df = f0 dx;

֏

f0(x) =

df(x; dx)

:

dx

Теорема 6.10. Якщо функцiя

f : (a; b)

! R диференцiйовна в

òî÷öi

x0 2 (a; b), то вона в цiй точцi неперервна.

Доведення. Оскiльки f(x) ¡ f(x0) = f0(x0)(x ¡ x0) + o(x ¡ x0), òî

¤

lim (f(x)

¡

f(x )) = 0, тобто функцiя

f

неперервна в точцi

x0

.

x!x0

0

Обернене твердження неправильне: неперервна в точцi x = 0 функцiя f(x) = jxj íå ì๠ïîõiäíî¨ â öié òî÷öi.

При наближених обчисленнях вважають, що ¢f ¼ df.

Приклад 6.6. Îбчислити наближено p

.

4; 02

Нехай f(x) = px, x = 4, ¢x = 0; 02. Îñêiëüêè f0

(x) =

1

¢f(2; 0; 02) =

p

p

0

2px , òî

1

0; 02 = 0; 005

. Калькулятор показу¹

2; 0049937 : : :

.

4

4; 02

¡

¼ 2

p

4 ¢

Правила знаходження диференцiалiв.

1.

d(c) = 0, c const;

2.

d(c ¢ u) = c ¢ du;

3.

d(u + v) = du + dv;

4.

d(u ¢ v) = du ¢ v + u ¢ dv;

d(

u

) =

du v

dv

u

5.

¢

¡ ¢

v

v

2 .

Iнварiантнiсть форми запису першого диференцiалу.

Нехай ма¹мо функцiю y = f(x), òîäi dy = f0(x) dx. Нехай x в свою чергу ¹ функцi¹ю: x = '(t). Òîäi y = f('(t)) ¹ також функцiя вiд t. Ìà¹ìî dx = '0(t) dt.