matanaliz

-îêië точки

21

3.2. Властивостi збiжних послiдовностей

Теорема 3.1. Числова послiдовнiсть може мати тiльки одну границю.

Доведення. Припустимо, що деяка послiдовнiсть fxng ма¹ двi границi:

lim xn = a i lim xn = b

n!1 n!1

для визначеностi нехай a < b, тобто b ¡ a = c > 0. Запишемо означення границi:

(8" > 0)(9N1 = N1("))(8n > N): fjxn ¡ aj < "g:

(8" > 0)(9N2 = N2("))(8n > N): fjxn ¡ bj < "g:

Позначимо N(") = maxfN1("); N2(")g. Тодi для всякого " > 0 i äëÿ âñiõ n > N(") одночасно викону¹ться jxn ¡ aj < " i jxn ¡ bj < ". Покладемо " = c=4.

c = ja ¡ bj = j(a ¡ xn) + (xn ¡ b)j · ja ¡ xnj + jxn ¡ bj < c=2:

Отримали протирiччя. Тобто припущення, що ja ¡ bj = c > 0 було хибним i a = b. ¤

Теорема 3.2. Збiжна послiдовнiсть обмежена.

Доведення. Нехай lim xn = a. Тодi всi елементи послiдовностi, починаючи з

n!1

деякого числа xN , лежать у B(a; 1). Позначимо

M = maxfx1; x2; : : : ; xN¡1; a + 1g; m = minfx1; x2; : : : ; xN¡1; a ¡ 1g:

Легко бачити, що для всякого n 2 N ìà¹ìî m ¡ 1 · xn · M + 1, тобто послiдовнiсть обмежена. ¤

Зауваження 3.1. Обмежена½ ïîñëiäîâíiñòü¾ не обов'язково збiжна. Достатньо розглянути послiдовнiсть n1 + (¡1)n .

Теорема 3.3. Нехай lim xn = a i b > a довiльне число. Тодi всi еле-

n!1

менти послiдовностi fxng, починаючи з деякого, меншi b:

(9N 2 N)(8n ¸ N): fxn < bg:

Доведення. Як виплива¹ безпосередньо з означення, всi елементи послiдовно-

стi, починаючи з деякого, попадають в b¡a a, тобто меншi b. ¤

2

22

Теорема 3.4. Нехай lim xn = a i lim yn = b, причому

n!1 n!1

(9N 2 N)(8n ¸ N): fxn · yng:

Òîäi a · b.

Доведення. Припустимо, що це не так a > b, тобто a ¡ b > 0. Тодi, починаючи

з деякого n yn < b + a¡2 b . Àëå òîäi xn < yn < b + a¡2 b	i тобто jxn ¡ aj > a¡2 b . Значить,
nlim xn 6= a. Протирiччя.	¤
!1

Зауваження 3.2. В умовi нестрогi нерiвностi не можна замiнити на стро-

гi. Наприклад, якщо xn =		1		yn	=	1	n 2 N xn	< yn, àëå
		n+1	i			n , òî äëÿ âñiõ
lim xn =	lim yn = 0:
n!1	n!1

Теорема 3.5 (Про три послiдовностi). Нехай fxng, fyng i fzng три послiдовностi i, починаючи з деякого мiсця, xn · yn · zn, тобто

(9N 2 N)(8n > N) : fxn · yn · zng:

ßêùî lim xn =	lim zn = a, òî i	lim yn = a.
n!1	n!1	n!1
Доведення. За означенням, оскiльки lim xn =			lim zn = a, òî
		n!1	n!1

(8" > 0)(9N1 = N1("))(8n > N): fjxn ¡ aj < "g;

(8" > 0)(9N2 = N2("))(8n > N): fjzn ¡ aj < "g:

Вiзьмемо N = maxfN1; N2g. Òîäi äëÿ âñiõ n > N a ¡" < xn < a + " i a ¡" < zn < a + ":

Òîìó a ¡ " < xn · yn	i yn · zn < a + "; тобто jyn ¡ aj < ". Отже, за означенням,
lim yn = a.	¤
n!1

Теорема 3.6. Нехай lim xn = a, lim yn = b, c 2 R число. Тодi

n!1 n!1

1.

lim (xn + yn) =

lim xn

+ lim yn = a + b;

n!1

n!1

n!1

2.

nlim (xn ¡ yn) = nlim xn

¡ nlim yn = a ¡ b;

!1

!1

!1

3.

nlim (c ¢ xn) = c ¢

nlim xn = c ¢ a;

!1

!1

nlim yn = a ¢ b;

4.

nlim (xn ¢ yn) = nlim xn ¢

!1

!1

!1

xn

lim

xn

a

5.

ÿêùî

b 6= 0

, òî

n!1

y

b .

nlim

= lim y =

!1

n

n!1

n

Критерiй Кошi. Послiдовнiсть fxng çáiãà¹òüñÿ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N)(8m > N): fjxn ¡ xmj < "g:

23

3.3. Монотоннi послiдовностi

Означення 3.7. Послiдовнiсть fxng назива¹ться строго монотонно зростаючою, якщо всякий ¨¨ елемент менший за наступний.

Àáî

ÿêùî x1 < x2 < x3 < ¢ ¢ ¢ < xn < xn+1 < : : :

Àáî

ÿêùî (8n 2 N): fxn < xn+1g. Ïîñëiäîâíiñòü fxng назива¹ться:

монотонно неспадною, ÿêùî (8n 2 N): fxn · xn+1g; строго монотонно спадаючою, ÿêùî (8n 2 N): fxn > xn+1g; монотонно незростаючою, ÿêùî (8n 2 N): fxn ¸ xn+1g.

Всi такi послiдовностi називають монотонними.

Теорема 3.7. Всяка монотонна i обмежена послiдовнiсть збiжна.

3.4. Поняття про пiдпослiдовнiсть

Вибира¹мо строго монотонно зростаючу послiдовнiсть натуральних чисел n1 < n2 < ¢ ¢ ¢ < nk < : : : . Òîäi ïîñëiäîâíiñòü fxnk g назива¹ться пiдпослiдовнiстю послiдовностi fxng. Наприклад, послiдовнiть f21n g ¹ пiдпослiдовнiстю послiдовностi fn1 g.

Безпосередньо з означення виплива¹ справедливiсть таких властивостей пiдпослiдовностей:

1.якщо послiдовнiсть обмежена, то всяка ¨¨ пiдпослiдовнiсть теж обмежена;

2.ÿêùî ïîñëiäîâíiñòü çáiãà¹òüñÿ äî a (a 2 R, àáî a = §1), то всяка ¨¨ пiдпослi-

äîâíiñòü òåæ çáiãà¹òüñÿ äî a.

Означення 3.8. Число a назива¹ться частковою границею послiдовностi fxng, якщо iсну¹ пiдпослiдовнiсть цi¹¨ послiдовностi, яка збiга¹ться до a.

двi частковi границi	1.	1 i 1.	f(¡1)		¡1 + n ¢g = f¡2;	2	; ¡3	;	4	; : : : g
Приклад 3.4.		Ïîñëiäîâíiñòü		n	1	3	4		5		ìà¹

¡

24

2. Для послiдовностi f0; 1; 12 ; 13 ; 23 ; 14 ; 24 ; 34 ; 15 ; : : : g всi точки сегмента [0; 1] ¹ ¨¨ частковими границями.

Теорема 3.8 (Теорема Больцано-Вей¹рштрасса). З усяко¨ обмежено¨ послiдовностi можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть.

3.5. Важливi приклади

	8	0;	ïðè
	>
	>
1. lim nk =	<	1;	ïðè
n!1	>	+1	ïðè
	>
	:

k < 0; k = 0; k > 0:

Нехай k < 0. За означенням границi

(8" > 0)(9N = N("))(8n > N): fjnk ¡ 0j = nk =			1	< "g: Щоб виконувалась остання
			n¡k
Нехай k > 0. За означенням границi					h	1	i
1
íåðiâíiñòü, ïîòðiáíî, ùîá n >	1	= " k , тобто нам достатньо взяти N(") =				"k	+ 1.
	1
	"¡ k

(8M > 0)(9N = N(M))(8n > N): fnk > Mg: Щоб виконувалась остання нерiвнiсть,
ïîòðiáíî, ùîá n > M k , тобто нам достатньо взяти N(M) = hM k i		+ 1.
1	1

	Зокрема,		=	8 ak				ÿêùî
lim aknk + ¢ ¢ ¢ + a1n + a0
				>	0;			ÿêùî
!1
	¢ ¢ ¢
				<	bs ;			ÿêùî
		збiга¹ться зi знаком		>
n bsns + + b1n + b0				>
§				>			:
						bs
				:
					§1;
			дробу		ak

	2.	8	0;	ÿêùî	jqj < 1;
lim qn =				ÿêùî
		>	1;		q = 1;
		>
n		>	íå iñíó¹;	ÿêùî	q 1;
	!1	>
		>			· ¡
		<	+1;	ÿêùî
		>			q > 1:
		>
		>
		>

>

:

k < s; k = s; k > s;

Òîìój j

Доведемо, наприклад, що nlim qn = 0 ïðè jqj < 1. Зробимо перетворення:

¡

³n j j

jq´j

³

jqj

´

n!1

j j n

, îñêiëüêèj j

j j

j

j ¡

).

1

jqj+1¡jqj n

1¡jqj

1¡jqj

1¡jqj

1¡jqj

1

q n

=

q

=

1 +

> 1+n

q

> n

q

(îñêiëüêè

q

=

q

1 >

1

jqj

<

. Çâiäñè ìà¹ìî, ùî nlim!1 q

= 0

n(1¡jqj)

g

(8" > 0)

³9N

n

h"(1¡jqj) i

´ 8

fj j

= N(") =

jqj

+ 1 ( n > N):

q n

< "

:

3.

lim

p

= 1 ïðè a > 0.

a

n!1

Припустимо спочатку, що

a = ( pa)			n	= (1 + pa ¡ 1)			n	>
n				n

a > 1. Скориста¹мося нерiвнiстю Бернуллi:

1 + n ( pa ¡ 1) > n ( pa ¡ 1), звiдки отриму¹мо: 0 <
n	n

pa¡1 < n . Застосу¹мо теорему про три послiдовностi. Оскiльки nlim 0 =

n

a

!1

¡

¢

òî i nlim

pa ¡ 1

pa = 1.

.

= 0, тобто nlim

n

n

!1

0 < a < 1

!1

lim

pa =

lim n

=

= 1

> 1

ßêùî

, òî 1

. Òîìó

n

1

1

a

n!1

n!1 pa

1

4.

lim

pn = 1.

n!1

n

nk

5.

lim

= 0 ïðè a > 1.

n

n!1 an

6.

lim

a

= 0 ïðè a > 0.

n!1 n!

25

lim a = 0,

n!1 n

3.6. Число e. Натуральнi логарифми

Надзвичайно важливою в математицi ¹ така границя:

n!1	µ1 + n¶		= e
lim	1		n	(3.6.1)

Спочатку нагада¹мо

Нерiвнiсть Бернуллi. Якщо для всiх i = 1; 2; : : : ; n xi > ¡1 i всi вони одного знаку, то

(1 + x1)(1 + x2) ¢ ¢ ¢ (1 + xn) ¸ 1 + x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn:

Наслiдок 3.1. Нехай всi xi = x > ¡1. Òîäi (1 + x)n ¸ 1 + nx, причому рiвнiсть досяга¹ться тiльки при x = 0.

Розглянемо двi послiдовностi

¾

òà fbng =

(µ1 + n

¶

)

:

fang =

½µ1 + n ¶

1

n

1

n+1

1. Для всякого n ìà¹ìî an

< bn.

¢ ¡

¢

2.

¡

¢

an

¡

¢

¡

Справдi, bn = 1 + n1

n+1 = 1 + n1

n

¢

1 + n1

> 1 + n1

n = an:

Ïîñëiäîâíiñòü

f

g

строго монотонно зроста¹:

an 1

=

¡

¢n¡1

=

n2¢n¡1¡

=

¡

n2n

¢

n

n 1 =

1

an

1 + n1

n

(n + 1)n

(n

1)n¡1

n2 ¡ 1

n

¡

³

n

´

¡

1 +

n¡1

µ

¡

n2 ¶ n ¡ 1

n (n ¡ 1)

µ

¡ n2 ¶

n ¡ 1

= 1

1

n

> 1

n

1

n

=

(n ¡ 1)

n

= 1:

3. Ïîñëiäîâíiñòü fbng строго монотонно спада¹:

1 +

1

n

bn¡1

n2n+1¢

n2

n+1

n ¡ 1

=

=

n¡

1

=

=

¡

¡

¡

¢

+1

µn2

1 ¶

bn

³1 + n1 n

´

(n 1)n(n + 1)n+1

n

µ	n2 ¡ 1	¶	n+1	n
= 1 +	1			n ¡ 1

26

µ	n2 ¡ 1	¶ n ¡ 1			n (n ¡ 1)
> 1 +	n + 1		n	=	n ¡ 1	n	= 1:

Отже, ма¹мо нерiвностi:

a1 < a2 < a3 < ¢ ¢ ¢ < b3 < b2 < b1:

Послiдовностi fang òà fbng монотоннi та обмеженi, тому вони збiжнi. Поклада¹мо

lim a

=

lim

1

n def

µ1 + n

¶

n!1 n ¡ an) = n!1 õ

n!1

n

n!1

= e:

¶ µ

n ¡ ¶

n

¶

¡ µ

n

¶ !

n!1 µ

n

1

n+1

1

n

1

n

1

lim (b

µ

¶

n

lim

1 +

1 +

= lim

1 +

1 +

1 =

lim

1 +

1

¢

lim

1

= e

¢

0 = 0: Òîìó

n

= n!1

n!1 n

= n!1 µ

n¶

n!1 bn

n+1

1

lim

lim

1 +

= e:

Отже, для довiльного n 2 N ìà¹ìî íåðiâíiñòü						(3.6.2)
µ1 + n	¶		< e <	µ1 + n¶
1		n		1		n+1

Обчислення показують, що e = 2; 718281828459045 : : : . Для обчислень за-

стосовують степеневi ряди, якi будуть розглядатися в другому семестрi, оскiль-
ки послiдовностi									©¡1 + n1 ¢			ª		òà n¡1 + n1 ¢						o збiгаються дуже повiльно.
											n							n+1
		n					1		2	3				4				5		6		7				: : :	17
	¡			¢		n	2		2,25	2,37				2,44				2,488	2,5216			2,5465
	1 +		1																							: : :	2,642414375183110
			n
¡	n n		¢1
	1 +	1		n+1			4		3,38	3,16				3,05				2,986	2,9419			2,9103				: : :	2,797850514899770
	X																									: : :	2,718281828459050
	k=0		k!				2		2,50	2,67				2,71				2,717	2,7181			2,7183
	Логарифми при основi e називають натуральними, позначають loge := ln.
Прологарифму¹мо нерiвнiсть 3.6.2:																									:
									n ln µ1 + n¶ < 1 < (n + 1) ln µ1 + n¶
														1								1
Отже, для довiльного n 2 N ìà¹ìî íåðiâíiñòü
												n + 1					< ln µ1 + n¶ < n										(3.6.3)
														1					1			1

27

ÐÎÇÄIË 4

ГРАНИЦЯ ФУНКЦIˆ В ТОЧЦI

1.Означення границi функцi¨.

2.Властивостi границi функцi¨.

3.Однобiчнi границi.

4.Перша та друга важливi границi.

4.1. Означення границi функцi¨

Означення 4.1. Нехай A ½ R. Точка a 2 R (àáî a = +1 ÷è a = ¡1) назива¹ться граничною точкою множини A ½ R, ÿêùî iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü

fxng точок xn 2 A, xn 6= a , ÿêà çáiãà¹òüñÿ äî a: lim xn = a.

n!1

Приклад 4.1.

1.

Всяка точка множини A1 = [0; 1] ¹ ¨¨ граничною точкою. Справдi,

lim

1

= 0, lim

n ¡ 1

= 1,

lim

a +

1

= a для всякого a

2

(0; 1).

n!1 n

n!1

n

n!1

µ

n¶

2.

Аналогiчно, всяка точка сегмента [0; 1] ¹ граничною точкою множини

A2 = (0; 1).

©

ª

A4

=

1; 2; 3; 4

+

4.

Граничною

3.

Множина A3 =

1 ; 1

; 1 ; : : : ма¹ ¹дину граничну точку 0.

2

4

8

¹

.

точкою множини

f

g

1

Означення 4.2. Точка a 2 A, яка не граничною точкою цi¹¨ множини, назива¹ться iзольованою.

Приклад 4.2. У попередньому прикладi множини A1 íå A2 мають iзольо- ваних точок; всi точки множин A3 òà A4 ¹ iзольованi.

28

Нехай f : A ! R функцiя, a 2 R гранична точка множини A.

Означення 4.3 (на мовi послiдовностей; за Гейне).

Значення b (b 2 R, àáî b = +1 ÷è b = ¡1) назива¹ться границею функцi¨ f â òî÷öi a, якщо для всяко¨ послiдовностi fxng, xn 6= a, òàêî¨ ùî xn ! a, ìà¹ìî f(xn) ! b. Познача¹ться

lim f(x) = b:

x!a

Означення 4.4 (на мовi " ¡ ± ; çà Êîøi).

Число b 2 R назива¹ться границею функцi¨ f â òî÷öi a, ÿêùî

(8" > 0)(9± > 0)(8x 2 A n fag): f0 < jx ¡ aj < ± ) jf(x) ¡ bj < "g :

Означення на мовi " ¡ ± та на мовi послiдовностей еквiвалентнi.

Даються також означення границi функцi¨ в тому випадку, якщо принаймнi одне з чисел a ÷è b ¹ символом +1 ÷è ¡1.

lim f(x) = +1 означа¹, що

x!a

(8C > 0)(9± > 0)(8x 2 A): f0 < jx ¡ aj < ± ) f(x) > Cg :

lim f(x) = +1 означа¹, що

x!+1

(8C > 0)(9D > 0)(8x 2 A): fx > D ) f(x) > Dg :

lim f(x) = ¡1 означа¹, що

x!a

(8c < 0)(9± > 0)(8x 2 A n fag): f0 < jx ¡ aj < ± ) f(x) < cg :

Вправа 4.1. Дати означення на мовi " ¡ ± :

1. lim f(x) = b; 2. lim f(x) = b; 3. lim f(x) = ¡1; 4. lim f(x) = +1;

x!+1

x!¡1

x!¡1

x!¡1

5. lim f(x) = ¡1.

x!+1

Приклад 4.3.

1. Нехай f : R ! R, f(x) = c постiйна функцiя. Тодi

lim c =	lim c =	lim c = c
x!a	x!¡1	x!+1

для всякого a 2 R. Справдi,

(8" > 0)(9± = 1)(8x 2 R): f0 < jx ¡ aj < 1 ) jc ¡ cj < "g.

29

2. Нехай

f : R ! R

,

f(x) = x. Òîäi

lim x

= a

для всякого

a 2 R

,

x a

lim

x = ,

lim x = +

!

x

1

. Справдi, для першо¨ границi

!¡1

¡1 x

+

! 1

(8" > 0)(9± = ")(8x 2 R): f0 < jx ¡ aj < ± ) jx ¡ aj < "g :

3. Нехай

f(x) =

8 x;

ïðè

x 6= 1;

x!1

< 0;

ïðè

x = 1:

6:

Легко бачити, що lim f(x) = 1 = f(1).

4. Означимо функцiю Дiрака.

D(x) =

8

0;

ÿêùî

x iррацiональне;

<

1;

ÿêùî

x рацiональне:

a 2 R

Ця функцiя не ма¹

:

границi в жоднiй точцi, оскiльки для всяко¨ точки

iсну¹ послiдовнiсть рацiональних чисел fxng ! a i послiдовнiсть iррацiональних

чисел fyng ! a, àëå lim xn = 1 i lim yn = 0.

n!1 n!1

4.2. Властивостi границi функцi¨

Данi теореми ¹ наслiдками вiдповiдних теорем 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, для послiдовностей.

Теорема 4.1. Якщо lim f(x) = b1 i lim f(x) = b2, òî b1 = b2.
					x!a		x!a
Теорема 4.2. Нехай lim f(x) = b i c > b довiльне число. Тодi
					x!a
			(9± > 0)(8x 2 A n fag): f0 < jx ¡ aj < ± ) f(x) < cg :
Теорема 4.3. Нехай ма¹мо двi функцi¨ f : A ! R i g : A ! R, причому
					(8x 2 A): ff(x) · g(x)g:
Нехай lim f(x) = b i lim g(x) = c. Òîäi b							·	c.
x	!	a	x	!	a
Теорема 4.4. Нехай ма¹мо три функцi¨ f; g; h: A ! R i
					(8x 2 A): ff(x) · g(x) · h(x)g:
Нехай iснують границi					lim f(x) =	lim h(x) = b. Тодi iсну¹ також границя
					x!a	x!a

lim g(x) = b.

x!a

30

Теорема 4.5. Нехай f; g : A

! R

i

lim f(x) = b i lim g(x) = c, ®

2 R

x a

x

!

a

довiльне число. Тодi:

!

1.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = b + c;

x!a

x!a

x!a

2.

lim (f(x)

¡

g(x)) = lim f(x)

lim g(x) = b

¡

c;

x!a

x!a

¡ x!a

3.

lim (®

¢

f(x)) = ®

¢

lim f(x) = ®

¢

b;

x

!

a

x a

!

4.

lim (f(x)

¢

g(x)) = lim f(x)

¢

lim g(x) = b

¢

c;

x!a

x!a

x!a

f(x)

lim f(x)

b

5.

ÿêùî

c 6= 0

, òî lim

=

x!a

=

x

!

a g(x)

lim g(x)

c.

x!a

4.3. Однобiчнi границi

Нехай задана функцiя f : A ! R i a 2 R гранична точка множини A.

Означення 4.5. Число b 2 R назива¹ться границею злiва функцi¨ f

ó òî÷öi a, якщо для всяко¨ послiдовностi xn ! a ïðè n ! 1, xn < a, ìà¹ìî

f(xn) ! b ïðè n ! 1. Познача¹ться це так: lim f(x) = b.

x!a¡0

Число b 2 R назива¹ться границею справа функцi¨ f ó òî÷öi a, якщо для всяко¨ послiдовностi xn ! a ïðè n ! 1, xn > a, ìà¹ìî f(xn) ! b ïðè

n ! 1. Познача¹ться це так: lim f(x) = b.

x!a+0

Це означення на мовi послiдовностей. На мовi " ¡ ± цi означення виглядають так:

lim	f(x) = b	def=	(8" > 0)(9± > 0)(8x 2 A):							;
x!a¡0			f	a	¡	± < x < a	) j	f(x)	b < "
									¡ j g
lim	f(x) = b	def=	(8" > 0)(9± > 0)(8x 2 A):
x!a+0			fa < x < a + ± ) jf(x) ¡ bj < "g:

Аналогiчно даються означення	lim	f(x) =	+	1	,	x	lim f(x) =		+	1	,
x	a	0					!	a+0
	! ¡

lim f(x) = ¡1, lim f(x) = ¡1.

x!a¡0

x!a+0