Геометрические приложения смешанного произведения

1. Объём V параллелепипеда, построенного

на векторах a,b,c , как на сторонах (рис. 2.2.6).

G

C

V =

a b c

.

aG

× b

ϕ

сG

В

h

G

2. Объём

Vпир.

пирамиды с

вершинами

b

aG

D

A, B,C, D (рис. 2.2.6).

А

V

=

1

AB AC AD

.

РИС. 2.2.6

пир.

6

3. Ориентация тройки векторов a,b,c . Если тройка векторов a,b,c

правая, то abc > 0 . Если тройка векторов a,b,c – левая, то abc < 0 .

4. Условие компланарности векторов a,b,c . Если векторы компланар-

ны, то есть лежат в одной плоскости, то

abc = 0 .

Отсюда следует, что четыре точки A, B,C, D лежат в одной плоскости, ес-

ли компланарны векторы, AB, AC, AD то есть

AB AC AD = 0 .

2.2.2. Контрольные вопросы

1)Что называется скалярным произведением двух векторов?

2)Сформулируйте свойства скалярного произведения.

3)Запишите выражение скалярного произведения в координатах.

4)Как найти угол между векторами?

5)Запишите условие перпендикулярности двух векторов.

6)Какая тройка векторов называется правой?

7)Что называется векторным произведением двух векторов?

8)Перечислите свойства векторного произведения.

9)Запишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах.

10)Запишите формулы для вычисления площадей треугольника и параллелограмма по известным координатам их вершин;

11)Что называется смешанным произведением векторов?

12)Как записывается смешанное произведение в координатах?

24