1.3.Решение систем линейных алгебраических уравнений

1.3.1.Вопросы для самостоятельного изучения

1.3.1.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11 x + a12 y + a13 z = b1,a21x + a22 y + a23 z = b2 ,a31x + a32 y + a33 z = b3

находится по формулам:

x = x , y = y , z = z ,

где

a11 a12 a13

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

=

a21

a22

a23

x =

b2

a22

a23

,

y =

a21

b2

a23

,

z =

a21

a22

b2

.

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

Данные формулы для решения системы называются формулами Крамера (правилом Крамера). Оно (правило) распространяется на систему n линейных уравнений с n неизвестными.

1.3.1.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x + a12 y + a13 z = b1,a21 x + a22 y + a23 z = b 2 ,a31 x + a32 y + a33 z = b3.

Составим три матрицы:

a11	a12	a13
A = a	a	a		– матрица системы;
21	22	23
a	a	a
31	32	33

x

X= y – матрица-столбец решений,

z

10

b1

B = b2 – матрица-столбец свободных членов.

b3

Систему уравнений, используя введенные матрицы, можно записать в матричной форме

a11

a21a31

a12 a13			x		b1
a	a		y		= b	2
22	23
a	a		z		b	3
32	33

или коротко AX = B .

Предположим, что матрица системы А невырожденная, т.е. A ≠ 0 . Тогда существует обратная матрица А−1 , на которую умножим левую и правую часть

уравнения A−1 AX = A−1B .
	Так как A−1 А= E , E Х = Х , то получим
									X = A−1B .
	Матричный метод решения системы линейных уравнений:
1)	выписать матрицы А, B, Х и									систему уравнений в матричной форме
	AX = B ;									и найти матрицу А−1 ;
2)	найти		A		, убедиться, что		A		≠ 0

3)найти матрицу – столбец решений по формуле X = A−1B , выписать значения x, y, z .

1.3.1.3. Метод Гаусса

Были рассмотрены два метода решения системы линейных уравнений: метод Крамера, матричный метод. Они применяются к системам, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Рассмотрим ещё один метод – метод Гаусса (метод исключения неиз-

вестных) решения системы m линейных уравнений с n неизвестными
a x + a x +…+ a x = h						1	,
	11 1	12 2	1n n					,
a x		+ a x	+…+ a x	= h						(1)
	21 1	22 2	2n n				2
a x		+ a x	+…+ a x		= h			m	,
	m1 1	m2 2	mn n
			11

причем возможны случаи n = m, n < m, n > m .

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

1.3.1.4. Метод Гаусса решения системы (1).

1)Составить расширенную матрицу А, добавив к основной матрице А столбец свободных членов

		a11 a12				… a1n		h1
		a		a		… a		h
A =			21		22	2n			2	.
			… …			… …		…
		am1 am2				… amn		h m

2) С помощью элементарных преобразований привести матрицу А к треугольному виду

b11 b12

… … … b1n

g1

0

b

… … … b

g

2

22

2n

… … … … … …

…

A ~

0

0

… b

kk

… b

g

k

= B .

kn

… … … … … …

…

0

0

0

0

0

0

0

3)Составить систему линейных уравнений с расширенной матрицей B , которая равносильна системе (1). Найти из этой системы последовательно

xk , xk−1, xk−2 ,…, x2 , x1 – решения заданной системы.

Вопрос о существовании решения системы (1) рассмотрен в следующей теореме.

1.3.1.5. Теорема Кронекера–Капели

Система линейных уравнений (1) имеет решение (система совместная),

если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы r( A) = r(A) ,

причем:

1)если r( A) = r(A) = n , то система имеет единственное решение;

2)если r( A) = r(A) < n, то система имеет множество решений.

12