6)

а)

3х2 −

2х −1

б)

2х2 − 2х +1

в) lim

х2 − х − 2

г)

6х − 7

3х+2

lim

2

lim

lim

х

− 4х + 3

3х

2

+ 4х

+ 2

4х +1 − 3

x→1

x→∞

x→2

x→∞ 6х + 4

7)

а)

6 − х − х2

б) lim

3х2 + х − 6

в) lim

х2 − 25

г)

2х + 3

х+1

lim

2

lim

2

+ 8х − 3

2х

− х

+ 2

2х −1 − 3

x→−3 3х

x→∞

x→5

x→∞ 2х +1

8)

а) lim

х2 − 3

б)

х2 − 3х + 4

в)

1 − x − 2

г)

х +1 −х+1

lim

lim

lim

5х

2

−

4х −

1

2

х

2

+ 5х

−1

4 − 1 − 5x

x→1

x→∞

x→−3

x→∞

х −1

9)

а) lim

х2 + 2х −8

б) lim

3х2 − 2х −1

в) lim

1+3х − 2х+6

г) lim

х − 2

1−х

8 −

х

3

2

− 7х −

2

2

x→2

x→∞ 5х

x→5

х −5х

x→∞

х + 3

10) а) lim

2х2 +5х−3

б) lim

8х2 − 3х + 9

в) lim

2х −1 − 5

г) lim

х + 5 2х−3

3х

2

+11х+6

2х

2

+ 2х +

5

х − 3

x→−3

x→∞

x→3

x→∞

х + 8

Тема 5. Дифференциальное исчисление

5.1. Вычисление производных

5.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

5.1.1.1.Производная функции

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения

приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Обозначения производной: y′, y′x , f ′(x), dydx .

Таким образом,

	y′ = lim		y	.
	x→0 x
5.1.1.2. Правило дифференцирования по шагам
1)	найти f (x + x) = y + y ;
2)	найти приращение функции	y = f (x + x) − f (x) ;

58

3)	найти отношение		y	;
			x
4)	найти производную y′ = lim				y .
				x→ 0	x
5.1.1.3. Геометрический смысл производной.
Производная		f ′(x0 ) – это угловой коэффициент касательной к графику
функции y = f (x)		в точке M (x0 , y0 )
			f ′(x0 ) = kкас = tg α.

Уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке

M (x0 , y0 ) имеет вид:

y − y0 = f ′(x0 ) (x − x0 ) ,

y − y = −	1	(x − x ) .
0	f ′(x0 )	0

5.1.1.4. Правила и формулы дифференцирования

Правила дифференцирования. Если u = u(x) , v = v(x) – дифференцируе-

мые функции, то имеют место формулы:

Производная постоянной равна нулю, то есть C′ = 0 ;

(u ± v)′ = u′ ± v′;

(u v)′ = u′ v + u v′;

(Cu)′ = Cu′, где C – постоянная;

		′	= u	′		′	′
(u v w)					v w + u v		w + u v w	;
u ′	=	u′	v − u v′			, при условии, что v ≠ 0 .
			v2
v
5.1.1.5. Таблица производных:
1. x′ =1							9.	(sin x)′ = cos x
							59

2.	(xn )′ = n xn−1										10.	(cos x)′ = −sin x
	1	′		1								′		1
3.		= −									11.	(tg x) =
													cos				2		x
					x2
	x
4.	(	x )′ =		1							12.	(ctg x)′ = −							1
			2 x																2				x
															sin
5.	(ax )′ = ax ln a										13.	(arcsin x)′ =											1
																			1 − x							2
6.	(ex )′ = ex										14.	(arccos x)′ = −											1
																							1 − x					2
7.	(loga x)′ =								1		15.	(arctg x)′ =							1
							xln a							1					+ x2
8.	(ln x)′ =			1							16.	(arcctg x)′ = −											1
				x																	1 + x2
5.1.1.6. Производная сложной функции
		Функция							y		называется сложной	функцией							переменной x , если
y = f (u), u = g(x) .

Переменная u называется промежуточной, а x – независимой. Функции y = f (u), u = g(x) называются звеньями сложной функции. Сложную функ-

цию записывают в виде y = f [g(x)].

Если y = f (u), u = g(x) – дифференцируемые функции, то сложная функ-

ция y = f [g(x)] также дифференцируема и

y′x = yu′ u′x (правило цепочки).

5.1.1.7.1. Логарифмическое дифференцирование

1)Функция y = f (x) логарифмируется по основанию e

ln y = ln f (x) ;

60

2) находятся производные левой и правой частей полученного равенства по переменной x с учетом того, что y – это функция x

1y y′ = (ln f (x))′;

3) из последнего равенства выражается производная y′

y′ = y (ln f (x))′ = f (x) (ln f (x))′.

Выражение 1y y′ = yy′ называют логарифмической производной.

5.1.1.8. Производные высших порядков

Рассмотрим функцию y = f (x) . Ее производная y′ также является функ-

цией переменной x . Следовательно, ее также можно дифференцировать, то есть находить производную (y′)′. Эта производная называется второй произ-

водной и обозначается y′′, f ′′(x) , d 2 y . Итак, dx2

y′′ = (y′)′.

Вторая производная y′′ называется также производной второго порядка,

а производная y′ – первой производной или производной первого порядка.

Аналогично, производная от второй производной (y′′)′ называется треть-

ей производной или производной третьего порядка y′′′ = (y′′)′ и обозначается

также f	′′′	d3 y
	(x) ,	dx3 .

В общем случае, производная n-го порядка – это производная от производной (n – 1)-го порядка

y(n) = (y(n−1) )′.

61