|
|
|
y − f (b) |
= |
|
x − b |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
f (a) − f (b) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a − b |
x = x0 , то получим |
|
|||||||||
Так как в точке пересечения хорды с осью x имеем y = 0 , |
|
||||||||||||||||
|
|
|
− f (b) |
|
|
= |
x0 − b |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
f (a) − f (b) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a − b |
|
|
|||||||||
Отсюда найдем приближенное значение корня |
|
|
|||||||||||||||
|
x(1) = b − |
|
f (b)(a − b) |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f (a) − f (b) |
|
|
|
|
||||||||
Для получения лучшего приближения корня этот процесс следует повто- |
|||||||||||||||||
рить для отрезка [a,b(1) ], где, |
b(1) = x(1) . В результате будет найдено число |
|
|||||||||||||||
|
x(2) |
|
= b(1) − |
f (b(1) )(a − b(1) ) |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (a) − f (b(1) ) |
|
|
|||||||||
Таким образом, если значение x(k ) = b(k ) известно, то следующее прибли- |
|||||||||||||||||
жение корня x(k+1) = b(k+1) |
определяется формулой |
|
|
||||||||||||||
x(k+1) = x(k ) − |
f (x(k ) )(a − x(k ) ) |
, |
|
|
k =1,2,3,..., |
x(0) = b. |
(33) |
||||||||||
f (a) − f (x(k ) ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Можно доказать, что таким способом можно сколь угодно близко прибли- |
|||||||||||||||||
зиться к корню уравнения, то есть lim b(k ) |
= x . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим однако следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приближение к корню по методу хорд происходит с той стороны отрезка, |
|||||||||||||||||
где знак f (x) противоположен знаку f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x) . |
|
|
|||||||||||||||
Поэтому условимся брать в качестве b тот конец отрезка, в котором знак функции противоположен знаку второй производной ( f (b) f ′′(b) < 0 ), а в
качестве a – противоположный.
9.1.1.6. Метод итераций |
|
Пусть уравнение записано в виде |
|
x = ϕ(x) , |
(34) |
тогда в некоторых случаях можно применять следующий метод приближенного решения уравнения.
124
Пусть x(0) – приближенное значение корня. Подсчитаем тогда новое приближение корня в виде
x(1) = ϕ(x(0) ) .
Затем, зная x(1) , найдем
x(2) = ϕ(x(1) )
и так далее. То есть в общем виде имеем
x(k+1) = ϕ(x(k ) ), k = 0, 1, 2, ... (35)
Числа x(k ) называются последовательными приближениями, а сам ме-
тод решения уравнения – методом последовательных приближений или мето-
дом итераций.
Если в методе итераций последовательность x(k ) , k = 0,1,2,... имеет пре-
дел, а функция ϕ(x) непрерывна, то этот предел является корнем уравнения.
Таким образом, если последовательные приближения сходятся, то они дают корень уравнения со все большей степенью точности.
Заметим, что любое уравнение (30) можно привести к виду (34).
9.1.1.7.Достаточное условие применимости метода итераций
Втех случаях, когда неизвестно, что последовательные приближения меняются монотонно, для исследования вопроса о сходимости метода итераций можно применять следующее достаточное условие.
Пусть во всех точках отрезка [a,b] , отделяющего корень уравнения (34),
выполняется условие ϕ′(x) ≤ M , где 0 ≤ M <1. Тогда, если все последователь-
ные приближения x(k ) принадлежат отрезку [a,b] , то они сходятся к корню уравнения.
Заметим, что если ϕ′(x) ≥1 везде на отрезке [a,b] , то процесс последова-
тельных приближений обязательно расходится.
С другой стороны, если ϕ′(x) ≤ M <1, то чем меньше M , тем быстрее сходимость итерационного процесса. Сходимость считается хорошей, если
125