Тема 11. Случайные величины

11.1. Законы распределения случайной величины

11.1.1.Вопросы для самостоятельного изучения

11.1.1.1.Случайные величины

Случайной величиной называется функция, заданная на множестве элементарных исходов данного испытания.

Случайные величины обозначаются строчными буквами Х, Y , Z,..., а

возможные значения случайной величины – прописными буквами х, у, z ,…

Обычно рассматриваются два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

11.1.1.2. Дискретная случайная величина

Дискретной случайной величиной называется случайная величина,

множество возможных значений которой имеет вид конечной или бесконечной последовательности.

Законом распределения дискретной случайной величины является ряд распределения – это таблица, в которой даны все возможные значения этой величины и соответствующие им вероятности.

Х	х1	х2	…	хп
Р{Х = хк}	р1	р2	…	рп

п

где ∑рк =1.

к=1

Ряд распределения можно изобразить графически (Рис. 11.1.1).

140

р

р1	р2	р3	р4		рn
x1 0	x 2	x 3	x 4	x n	x

РИС. 11.1.1

Полученный график называют многоугольником распределения.

Решение основных задач:

1)		р ,	если	а = х
	Р{Х = а}=	k	если	k,
	0,			а ≠ хk , k =1,2,...,п.
2)	Р{а ≤ Х ≤ b}= ∑ рk .

а≤хk ≤b

Функцией распределения F(x) называется вероятность попадания слу-

чайной величины Х в интервал (−∞, х) , то есть

F(x) = P{X < x}.

Функция распределения F(x) является законом распределения сл. в. X .

Свойства F(x) :

1) 0 ≤ F(x) ≤1, − ∞ < x < ∞;

2) F(x) – неубывающая функция на (−∞,∞) , то есть, если x1 < x2 , то

F(x1) ≤ F(x2 ) (с увеличением интервала растет вероятность попасть в него); 3) F(−∞) = 0, F(∞) =1.

Числовые характеристики 1. Характеристики положения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется действительное число M[X ] (mx ) , определяемое формулой

n

M[X ] = mx = ∑xk pk .

k=1

141

Математическое ожидание дает среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины. Поэтому математическое ожидание называется также средним значением случайной величины Х .

Модой Mo[X ] дискретной случайной величины X называется такое ее возможное значение xk , в котором pk принимает наибольшее значение, то есть

P{X = Mo[X ]} = max pk .

k

Мода может иметь единственное значение или множество значений.

2. Характеристики рассеивания Дисперсией случайной величины Х называется неотрицательное число

D[ X ] (Dx ) , определяемое формулой

n

D [X ] = ∑(xk − mx )2 pk

k=1

или

n

D [X ] = ∑xk2 pk − mx2 .

k=1

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х назы-

вается неотрицательное число Х , определяемое формулой

σ[X ] = D[ X ] .

Число σ[X ] называют также стандартным отклонением.

11.1.1.3. Непрерывная случайная величина

Случайная величина называется непрерывной, если:

1)множество ее значений заполняет некоторый интервал или всю числовую ось;

2)существует такая неотрицательная функция f (х) , что для любого ин-

тервала (а,b) выполняется равенство

b
Р{а < X < b}= ∫ f (х) dx .	(49)

а

142

Функция f (x) называется плотностью распределения случайной вели-

чины Х , а ее график (Рис. 11.1.2) – кривой распределения. Функция f (x) яв-

ляется законом распределения случайной величины Х .

y

f (x)

0

а

b

x

РИС. 11.1.2

Решение основных задач:

а

1) Р{Х = а}= ∫ f (x)dx = 0 ,

а

b

2) Р{а ≤ Х ≤ b}= ∫ f (x) dx .

a

Функция распределения

x

F(x) = P{X < x} = ∫ f (x)dx .

−∞

Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле

∞

M[X ] = mx = ∫ x f (x) dx .

−∞

Модой Mo[X ] непрерывной случайной величины X называется точка максимума плотности f (x) .

Мода может иметь единственное значение или множество значений. Медианой непрерывной случайной величины называется действительное

число Me[X ], удовлетворяющее условию

P{X < Me[X ]} = P{X ≥ Me[X ]}.

143