5.Чему равен интеграл ∫ f (ax + b)dx , если ∫ f (x)dx = F (x)+ C ?

6.Запишите формулу интегрирования по частям.

7.Перечислите виды интегралов, берущихся по частям.

8.По каким правилам разбивается подынтегральное выражение на множители u и dv ?

9.Что называется рациональной дробью? Какая дробь называется правильной, неправильной? Что значит, выделить целую часть?

10.Какие дроби называются простейшими? Какой вид имеет разложение правильной дроби в сумму простейших дробей?

11.Какой вид имеет формула замены переменной в неопределенном интеграле?

6.2.Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов

6.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

6.2.1.1. Определение определенного интеграла
Дана функция y = f (x) на отрезке [a, b]. Отрезок [a, b]			разобьем произ-
вольно на n	частей	точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b	и обозначим
xk = xk − xk−1,	k =1,	2, ... , n .

Выберем произвольно точки ξk [xk−1, xk ] и найдем значения функции f (ξk ) для k =1, 2, ... , n .

Сумма

n

∑ f (ξk ) xk

k=1

называется интегральной суммой. Она зависит от способа разбиения отрезка

[a, b] на части и выбора точек ξk .

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при max xk →0, не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] на части и от выбора точек ξk , то этот предел называется определенным инте-

гралом от функции f (x) на отрезке [a, b] и обозначается

88

89

b

∫ f (x)dx .

Следовательно,

b

∫ f (x)dx =

a

a
		n
maxlimx	→0	∑ f (ξk ) xk .
k		k=1

6.2.1.2.Свойства определенного интеграла:

1.Свойства линейности:

b	b	b
∫[f1(x) + f2 (x)]dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx ;
a	a	a
b		b
∫C f (x)dx = C∫ f (x)dx .
a		a

2. Свойство аддитивности: для любых чисел a, b, c имеем

b

c

b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

a	a	c
3. Интегрирование неравенств: если		f (x)≤ q(x), x [a, b], то

b b

∫ f (x)dx ≤ ∫q(x)dx .

aa

4.Оценка интеграла: если m, M – наименьшее и наибольшее значения

функции f (x) на отрезке [a, b], то

b
m(b − a)≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a).
a			[a, b], то су-
5. Теорема о среднем: если функция f (x) непрерывна на
b
ществует такая точка c [a, b], что ∫ f (x)dx = f		(c)(b − a). Значение
a
	b
f (c)=	∫ f (x)dx
	a
	(b − a)

называется средним значением функции f (x) на отрезке [a, b].

6.2.1.3. Вычисление определенного интеграла, физические приложения определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница: если F (x) – первообразная непрерывной функции f (x), то справедлива формула

b		b
∫ f (x)dx = F (x)			= F (b)− F (a).	(17)
a		a

6.2.1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если u (x), v(x) – дифференцируемые функции на отрезке [a, b], то име-

ет место формула интегрирования по частям

b	b
∫udv = uv b	− ∫vdu .	(18)

aa a

6.2.1.5.Формула замены переменной в определенном интеграле

b

Рассмотрим определенный интеграл ∫ f (x)dx . Пусть x = x(t ) – диффе-

a

ренцируемая функция, удовлетворяющая условиям: a = x(α), b = x(β).

Тогда в определенном интеграле можно перейти к новой переменной t согласно формуле

		x = x(t)
b		′		β	′
		dx = x (t)dt		= ∫		(19)
∫ f (x)dx =					f (x(t))x (t)dt.
a	x = a t = α			α

x = b t =β

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле, а функция x = x(t) – подстановкой.

90

6.2.1.6. Приложения определенного интеграла

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Ox (уравнение y = 0 ), вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x).

ТАБЛИЦА 6.2.1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ

ТРАПЕЦИИ

Область						Чертеж
1. Границы D : y = 0 ,	x = a ,		y			y = y(x)
x = b , y = y(x), y(x)≥ 0 при
x [a,b].			0		a			b	x
2. Границы D : y = 0 ,	x = a ,		y		a			b
x = b , y = y(x), y(x)≤ 0 при			0						x
x [a,b].						y = y(x)
3. Границы D : y = 0 ,	x = a ,		y
x = b , y = y(x); y(x)≥ 0 при						y = y(x)
				+
x [a,c], y(x)≤ 0 при						с
			a				−	b	x
x [c,b].
4. Границы D : y = 0 ,	x = a ,	y
x = b , y = y (x) при x [a,c],		y	= y1			(x)	y = y2	(x)
1

y = y2 (x) при x [a,b].

0	b x
a с

Формула

b

S = ∫y(x)dx

a

b

S = −∫y(x)dx

a

c b

S =∫y(x)dx −∫y(x)dx

a c

c	b
S =∫y1(x)dx +∫y2 (x)dx
a	c

91