- •МАТЕМАТИКА
- •ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •Раздел. I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •Тема 1. Линейная алгебра
- •1.1. Вычисление определителей
- •1.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.1.1.1. Определения
- •1.1.1.2. Свойства определителей
- •1.1.2. Контрольные вопросы
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.2.1.1. Действия над матрицами
- •1.2.1.2. Обратная матрица
- •1.2.1.3. Ранг матрицы
- •1.2.2. Контрольные вопросы
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •1.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •1.3.1.1. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3.1.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •1.3.1.3. Метод Гаусса
- •1.3.1.5. Теорема Кронекера–Капели
- •1.3.2. Контрольные вопросы
- •1.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы. Линейные операции над векторами
- •2.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.1.1.1. Определения
- •2.1.1.2. Линейные операции над векторами
- •2.1.1.3. Координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах
- •2.1.1.4. Линейные операции над векторами в координатах
- •2.1.1.5. Деление отрезка в данном отношении
- •2.1.2. Контрольные вопросы
- •2.2. Произведения векторов
- •2.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.2.1.1. Скалярное произведение векторов
- •2.2.1.2. Векторное произведение векторов
- •2.2.1.3. Смешанное произведение векторов
- •2.2.2. Контрольные вопросы
- •2.3. Комплексные числа
- •2.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •2.3.1.1. Определения
- •2.3.1.2. Правила арифметических действий над комплексными числами в алгебраической форме
- •2.3.1.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •2.3.1.4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •2.3.1.5. Действия над комплексными числами в показательной форме
- •2.3.2. Контрольные вопросы
- •2.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Основные задачи аналитической геометрии
- •3.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.1.2. Контрольные вопросы
- •3.2. Кривые второго порядка
- •3.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •3.2.2. Контрольные вопросы
- •3.2.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •Тема 4. Предел функции
- •4.1. Элементы теории множеств. Понятие функции
- •4.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.1.1.1. Элементы теории множеств
- •4.1.1.2. Операции над множествами
- •4.1.1.3. Отображение множеств. Мощность множества.
- •4.1.1.4. Употребление математической символики. Кванторы общности, существования и единственности
- •4.1.1.5. Числовые множества
- •4.1.1.6. Подмножества множества (интервалы)
- •4.1.1.7. Окрестность точки
- •4.1.1.8. Понятие функции
- •4.1.1.9. Элементарные функции, свойства функции
- •4.1.1.10. Четность, нечетность.
- •4.1.2. Контрольные вопросы
- •4.2. Теория пределов
- •4.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.2.1.1. Числовая последовательность
- •4.2.1.2. Предел числовой последовательности
- •4.2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4.2.1.4. Предел функции
- •4.2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций
- •4.2.1.6. Замечательные пределы
- •4.2.2. Контрольные вопросы
- •4.3. Предел и непрерывность функции
- •4.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •4.3.1.1. Односторонние пределы
- •4.3.1.2. Необходимое и достаточное условие существования предела
- •4.3.1.3. Непрерывность функции
- •4.3.1.4. Точки разрыва и их классификация
- •4.3.1.5. Свойства непрерывных функций
- •4.3.2. Контрольные вопросы
- •4.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Вычисление производных
- •5.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.1.1.1. Производная функции
- •5.1.1.2. Правило дифференцирования по шагам
- •5.1.1.3. Геометрический смысл производной.
- •5.1.1.4. Правила и формулы дифференцирования
- •5.1.1.5. Таблица производных:
- •5.1.1.6. Производная сложной функции
- •5.1.1.7. 1. Логарифмическое дифференцирование
- •5.1.1.8. Производные высших порядков
- •5.1.1.9. . Дифференциал функции, его свойства
- •5.1.2. Контрольные вопросы
- •5.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •5.2. Исследование функций на экстремумы и интервалы монотонности
- •5.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.2.1.1. Условия возрастания и убывания функции
- •5.2.1.2. Точки экстремума функции, необходимое условие экстремума
- •5.2.1.3. Первый достаточный признак экстремума функции
- •5.2.1.4. Схема исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы
- •5.2.1.5. Второй достаточный признак экстремума функции
- •5.2.1.6. Второй способ исследования функции на экстремум
- •5.2.1.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •5.2.1.8. Выпуклость, вогнутость графика функции
- •5.2.1.9. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие перегиба.
- •5.2.1.10. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •5.2.1.11. Асимптоты графика функции
- •5.2.1.12. Общая схема исследования функции
- •5.2.2. Контрольные вопросы
- •5.3. Исследование функций двух переменных
- •5.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •5.3.1.1. Экстремумы функции двух переменных, необходимое условие экстремума
- •5.3.1.2. Достаточные условия экстремума
- •5.3.2. Контрольные вопросы
- •5.3.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •6.1. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов. Нахождение неопределенных интегралов различными методами
- •6.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.1.1.1. Неопределенный интеграл
- •6.1.1.2. Свойства неопределенного интеграла
- •6.1.1.3. Таблица интегралов
- •6.1.1.4. Метод интегрирования по частям
- •6.1.1.5. Рациональные дроби
- •6.1.1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •6.1.1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •6.1.1.8. Метод замены переменной (метод подстановки)
- •6.1.1.9. Интегрирование иррациональных выражений
- •6.1.2. Контрольные вопросы
- •6.2. Вычисление определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Исследование сходимости несобственных интегралов
- •6.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •6.2.1.1. Определение определенного интеграла
- •6.2.1.2. Свойства определенного интеграла:
- •6.2.1.3. Вычисление определенного интеграла, физические приложения определенного интеграла
- •6.2.1.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •6.2.1.5. Формула замены переменной в определенном интеграле
- •6.2.1.6. Приложения определенного интеграла
- •6.2.1.7. Площадь плоской фигуры
- •6.2.1.8. Объем тела вращения
- •6.2.1.9. Несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом интегрирования
- •6.2.2. Контрольные вопросы
- •6.2.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •7.1. Сходимость знакоположительных рядов
- •7.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.1.1.1. Числовой ряд, сумма ряда, свойства рядов
- •7.1.1.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •7.1.1.3. Признаки сходимости знакоположительных рядов
- •7.1.2. Контрольные вопросы
- •7.2. Исследование сходимости знакочередующихся рядов
- •7.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •7.2.1.1. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница
- •7.2.1.2. Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •7.2.1.3. Схема исследования знакочередующихся рядов на сходимость
- •7.2.2. Контрольные вопросы
- •Тема 8. Функциональные ряды
- •8.1. Нахождение интервала и радиуса сходимости степенных рядов
- •8.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •8.1.1.1. Функциональные ряды
- •8.1.1.2. Область сходимости степенного ряда
- •8.1.1.3. Схема нахождения области сходимости степенного ряда
- •8.1.1.4. Ряд Тейлора
- •8.1.1.5. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды
- •8.1.2. Контрольные вопросы
- •8.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •Раздел. IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
- •Тема 9. Численные методы
- •9.1. Нахождение корней уравнений итерационным методом
- •9.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.1.1.1. Постановка задачи
- •9.1.1.2. Графический метод
- •9.1.1.3. Отделение корней
- •9.1.1.4. Метод деления отрезка пополам
- •9.1.1.5. Метод хорд
- •9.1.1.6. Метод итераций
- •9.1.1.7. Достаточное условие применимости метода итераций
- •9.1.2. Контрольные вопросы
- •9.2. Примеры численного интегрирования
- •9.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.2.1.1. Формулы прямоугольников
- •9.2.1.2. Формула трапеций
- •9.2.1.3. Формула Симпсона
- •9.2.2. Контрольные вопросы
- •9.3. Примеры численного интерполирования
- •9.3.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •9.3.1.1. Интерполяционная формула Лагранжа
- •9.3.1.2. Интерполяционная формула Ньютона
- •9.3.1.3. Линейное интерполирование
- •9.3.2. Контрольные вопросы
- •Раздел. V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •Тема 10. Случайные события
- •10.1. Задачи на вычисление классической вероятности и относительной частоты
- •10.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •10.1.1.1. Случайные события
- •10.1.1.2. Определение вероятности события
- •10.1.1.3. Теоремы сложения и умножения. Условная вероятность
- •10.1.1.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •10.1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 11. Случайные величины
- •11.1. Законы распределения случайной величины
- •11.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •11.1.1.1. Случайные величины
- •11.1.1.2. Дискретная случайная величина
- •11.1.1.3. Непрерывная случайная величина
- •11.1.1.4. Нормальный закон распределения случайной величины
- •11.1.1.5. Биномиальный закон распределения. Формула Бернулли
- •11.1.2. Контрольные вопросы
- •Тема 12. Математическая статистика
- •12.1. Методы математической статистики
- •12.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения
- •12.1.1.1. Случайная выборка из генеральной совокупности, ее табличное представление
- •12.1.1.2. Графическое представление случайной выборки
- •12.1.1.3. Точечные и интервальные оценки
- •12.1.1.4. Проверка статистических гипотез
- •12.1.2. Контрольные вопросы
- •12.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
- •РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
3) |
разложение функции cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos x =1 − |
x2 |
+ |
x4 |
|
−... + (−1)n |
|
x2n |
|
+..., (−∞, ∞); |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n)! |
|
||||||||||||||
|
|
2! |
4! |
|
( |
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
разложение функции (1 + x)m – биномиальный ряд |
|
|||||||||||||||||||
(1 + x)m =1 + m x + |
m(m −1) |
x2 |
+... + |
m(m −1)...(m − n +1) |
xn |
+..., (−1, 1); |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||
5) |
разложение функции ln (1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ln (1 |
+ x)= x − |
x2 |
+ |
x3 |
−... + (−1)n |
xn+1 |
+..., (−1, 1]. |
|||||||||||||
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
Если m – целое положительное число, то биномиальный ряд превращается в конечную сумму, называемую биномом Ньютона, который можно записать в виде
(a + b)m = am + Cm1 am−1b + Cm2 am−2b2 +... + bm .
Здесь числа Cm1 , Cm2 ,..., называемые биномиальными коэффициентами,
являются сочетаниями и вычисляются по формуле
Ck |
= |
m! |
|
. |
|
k!(m − k )! |
|||||
m |
|
|
Приведенные разложения можно использовать для разложения более сложных функций в ряд по степеням x .
8.1.2. Контрольные вопросы
Какой ряд называется функциональным? Что называется точкой сходимости, областью сходимости ряда?
Что представляет собой сумма функционального ряда? Какой ряд называется степенным?
Сформулируйте теорему Абеля и объясните ее геометрический смысл. Какой вид имеет область сходимости степенного ряда?
Приведите схему нахождения области сходимости степенного ряда. Какая функция называется аналитической в точке x0 ?
Как записывается ряд Тейлора аналитической функции f (x) в окрестности точки x0 ?
Какой вид имеет ряд Маклорена функции f (x) по степеням x ?
109
Запишите разложения в ряд по степеням x функций ex , sin x , cos x ,
(1 + x)m , ln (1 + x).
8.1.3. Практическое задание для самостоятельной работы
Задание содержит 4 задачи. Каждая задача имеется в 35 вариантах. Номер задачи состоит из двух чисел: первое число – порядковый номер задачи, второе число – номер варианта.
Студент решает ту задачу, номер варианта которой совпадает с его номером по списку в журнале, подставляя значение параметра k =1, 2, 3, ... – сумма последних двух цифр номера группы.
Задача 1.
Исследовать на сходимость числовые ряды:
∞ |
|
n |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
n=1 n |
+ 3n + |
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
(k +1)n n! |
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3. а) ∑(−1)n (k2+1) |
|
|
; |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
||||||
∞ |
kn (2n +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
4. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
(n + k )! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
( |
−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
n=1 n |
+ kn + k |
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
n2 (n2 + k2 ) |
|
|
|
||||||||||||
6. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
k |
2 |
n |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты
∑∞ (−1)n nk
б) ; n=1 nk+1 + 3
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|||||
б) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 kn + 2k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
n |
2 |
− k |
2 |
|
|
|
|
|||
б) ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 n |
|
+ 3n −1 |
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
kn + 7 |
|
|
|||||||||
∑n=1 |
|
|
|
; |
|||||||||
(2n + k )(3n + k ) |
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
||||||
б) ∑ |
|
|
; |
||||||||||
2n+k (n + 2k ) |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑∞ (n3 + kn + k +1) |
; |
||||||||||||
n=1 |
|
(n +1)! |
|
|
в)
в)
в)
в)
в)
в)
∞ |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
(k +1) |
n |
(n3 +1) |
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
||||||||
∞ |
n |
(n +1) |
|
|
|
|
||||||
∑n=1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
(n + k )(3n + k ) |
|
|||||||||||
∞ |
kn2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∑n=1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
n!(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
n + 2k |
|
|
|
|
|
|||
∑(−1)n |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
n(kn +1) |
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
kn −1 |
|
|
|
|||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
n2 + 2n + |
3k2 |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
||||
∑n=1 |
|
. |
|
|||||||||
(k +1)n + (k + 2) |
|
110
∞ |
k |
n |
|
|
||
7. а) ∑ |
|
|
; |
|
||
2k (n2 +1) |
|
|||||
n=1 |
|
|
||||
∞ |
3n − 2k |
|
|
|||
8. а) ∑ |
|
; |
||||
(n + k )(n2 |
+1) |
|||||
n=1 |
|
∞
9. а) ∑ ;
n=1 (2 + k )n (n +1)!
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 n(n2 + k2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
а) |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(2k −1) |
(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
∑ |
n! |
|
; |
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
n + k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 n2 (n2 + 4k2 ) |
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
n + 2k |
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|||||||
2n+k |
(n2 +1) |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
2n + k |
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
(kn +1)(n + k ) |
||||||||||||||
|
n=1 |
|
||||||||||||
15. |
∞ |
(n + k ) 2n+k |
|
; |
|
|||||||||
а) ∑ |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(n +1) |
n + k |
|
|
|
|
|
|
||||||
∑ |
|
; |
|
|
|
|||||||||
(2n + k )(n2 + k 2 ) |
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
k |
2 |
|
+ n |
3 |
k |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
2n (n + k )! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∑n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
3n + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑n=1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
3n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∑n=1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(n + k )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
3n + 5k |
|
; |
|
|||||||||||||
∑(−1)n |
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
2n + 3k |
|
|
|
|||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
+ k |
2 |
|
; |
|
|||||||||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n3 + k2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
n + k |
2 |
|
|
|
|||||||||||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
n!(n + k ) |
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∞ |
|
|
k |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 n |
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
kn + k2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑n=1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
n!(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∑n=1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3n (2n +1) |
|
|
|
|
|
|
111
∞ |
−1)n |
|
|
|
|
|
n + k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) ∑( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
n(n2 + k2 ) |
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
|
|
|
(n + k ) |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
в) ∑( |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
(n + k ) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
n + 2k |
n |
|
|
|
|||||||||||||||
в) ∑( |
−1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
kn +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
(n + k )(n + |
|
2k ) |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ (−1)n (n + k )(n + 2k ) |
|
||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
n |
3 |
|
+ k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
−1)n+1 |
(n + k ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) ∑( |
3n . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
k (n +1)! |
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
(n + k )(n + |
|
2k ) |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) ∑( |
−1) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
2 |
n |
2 |
+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
−1)n−1 |
n(n + 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) ∑( |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
n (−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n + 2k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. а)
∞ |
(kn + 2)(2n + k ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=1 |
(1 + k )n (n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
+ k |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n |
2 |
+ k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
(n + k )(n + |
|
3k ) |
|||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
(k + |
2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
(n2 + k2 )n! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2n |
2 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 n2 (n + k )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22. |
а) ∑ |
k |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
(n + 6k) |
|
|
||||||||||||||||||||
23. |
а) ∑ |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
(n + k )(n + 2k ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. |
а) ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
n=1 k |
|
|
|
+ 2kn + |
|
|
|
||||||||||||||||||
26. |
∞ |
(n + k ) |
2 |
|
2n ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=1 |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
(−1)n (n2 + 2nk) |
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
||||||||||||||
∑ |
2n |
2 |
+ n + 3k |
|
; |
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||||||
б) |
∞ |
(2 + k ) |
n |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
∞ |
(n + k )!nk |
; |
|
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
(−1)n (2n + k) |
|
|||||||||||||
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
3n |
2 |
+ 2k |
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
5n (n + k )2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
(n + 2)! |
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
k + 2n |
|
|
|
|||||||
б) ∑(−1)n |
|
; |
||||||||||||||
6n2 + k |
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ∑∞ |
2n(nk +1) |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
(k +1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
(n + k )! |
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
∑ |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) ∑(−1)n−1 2n + k |
|
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
kn + 3 |
|
|
||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ∑ |
(−1)2 |
|
(kn + 2) |
|
; |
|||||||||||
|
n=1 |
2n |
|
+ k + 5 |
|
|
112
|
|
∞ |
(−1)n n2 + k |
2 |
|
|
|
|||||||
в) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
n |
3 |
+ 2n + k |
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
kn |
+1 |
|
|
|
|
||
в) ∑(−1)n+1 |
. |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
+ k |
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
(−1) |
n−1 |
|
|
|
|
|
|||
в) ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
n=1 n |
+ 2kn + 3k |
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(n2 |
+ k2 )(n2 |
+ 2k2 ) |
|||||||||||
n=1 |
|
|
в) ∑∞ (−1)n n + k +1 .
n=1
в)
∑∞ (−1)n (n + k )(n + 2k )
n=1 (n2 + k2 )(n2 + 4k2 ) .
∞ |
|
4n + k |
|
в) ∑(−1)n |
|
. |
|
n |
2 |
||
n=1 |
+ kn +1 |
в) ∑(−1)n (n +1)(n + k ) . |
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n2 (n2 + k ) |
|
|||
∞ |
|
n +1 |
|
|
|
|
в) ∑ |
|
|
|
. |
|
|
(n + 2)!(n + k )10 |
|
|||||
n=1 |
|
|
||||
∞ |
4n +1 |
|
|
|
|
|
в) ∑ |
|
. |
|
|
||
(n + k )(n + |
7) |
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
27. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||
|
2n (n3 + k2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
28. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (n2 + n + k) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∑ |
n |
2 |
+ kn + 2k |
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∞ |
|
n |
( |
6n − k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
29. |
а) ∑ |
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(n + k −1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
n(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
30. |
а) ∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
n |
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
|
2k |
2 |
|
||||||
31. |
а) ∑(−1)n |
n |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
n |
(n + k ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2k |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(2k ) |
n |
|
|
|
|
|||||||||
33. |
а) ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
(n + k )! |
|
|
|||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
n+k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
34. |
а) ∑ |
|
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n=1 n |
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∞ |
|
2n (n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
35. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
2 |
+ k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4n −1 |
|
|
|
б) ∑ |
; |
|||
|
||||
n=1 n2 (n + k )2 |
|
|
||
∞ |
(n − k )2 + k |
2 |
||
б) ∑ |
(n + k )! 5n |
; |
||
n=1 |
|
б) ∑∞ n2 + kn +1 ;
n=1 n3 + 2n + k2
∞ |
|
2 |
+ k |
; |
б) ∑(−1)n 7n |
|
|||
n=1 |
n + 2k |
|
б) ∑∞ k + n ; n=1 6k + n
∑∞ (n +1)!
б) n=1 n(n + k );
б) ∑∞ (−1)n n ;
n=1 n2 + k2
б)
∞
∑ |
|
n + k |
|
; |
|
(n2 +1)(kn +1) |
|||||
n=1 |
|
||||
|
∞ |
2n + k |
|
|
|
б) ∑ |
; |
|
|||
(n + k )3 |
|
||||
|
n=1 |
|
|
Задача 2.
Найти область сходимости степенного ряда
Варианты
N N
113
∞ |
|
|
(n + k ) |
3 |
+1 |
|
|
|||||||||
в) ∑(−1)n |
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
(n + k )2 +1 |
|||||||||||||
∞ |
|
|
kn −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) ∑(−1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
n2 + k2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) ∑(−1)n |
n |
4 |
+ k |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
n |
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
n |
4n (2n + k ) |
|
|
|||||||||||
в) ∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(n + k )! |
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
2n + k |
|
|
|
|
||||||||
в) ∑(−1)n |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
kn2 + n + |
3 |
|
|
|
|
||||||||
∞ |
(−1)n (n2 + k2 ) |
|
|
|||||||||||||
в) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
+ k )(n + 2k ) |
|||||||||||||||
n=1 n(n |
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
n |
3 |
+ kn |
2 |
+ 2 |
|
||||||||
в) ∑(−1)n |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
2n3 + k2n +1 |
|||||||||||||
∞ |
|
|
6n − k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) ∑(−1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2n2 + k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) ∑(−1)n |
(n +1) |
k |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
(k +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + k − 3) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3n (n2 + k2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
∞ |
(−1) |
n+1 (x − k + 4)n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
n(n + k ) |
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
(n + 2k )(x − 3)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∑ |
(n + k )(k +1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 |
∞ (n + k )2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9 |
n∑=0 (2n + k )(x − k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∑(−1)n n(n + 2k )(x − k )2n+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + k )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
∞ |
(−1)n+1 (x + 2 − k ) |
n |
(n |
+ k ) |
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + k |
|
|
|
|
|||||||||
13 |
∞ |
n |
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
|
(x − 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=0 n |
|
|
+ k |
|
|
(2k + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15 |
∞ |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
n |
|
|
|||||||||||
|
∑k |
|
n |
|
|
+ |
2n + k |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
3n + 2 |
|
(k +1)n |
|
|
|||||||||||||||||||
17 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 3) |
n |
|
|
|
|||||||||
|
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(n2 + 2kn + 3) (12 − k ) |
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
19 |
∞ |
|
(kn +1)(x − k )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + k +1)(12 − k ) |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
21 |
∑(−1)n+1 |
(x − 3 + k ) |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n (2n + k )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
23 |
∞ |
(kn +1)x |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n=0 |
(k2n2 +1)k n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25 |
∞ (x − 3)2n (n + k +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n∑=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
9n (1 + kn)(1 + k2n2 ) |
|
|
|
|
114
2 |
∞ |
|
|
(x + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n∑=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
kn (n +1)(n + k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
∞ |
(x +1)n (kn +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∑ |
|
2 |
n |
(n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(kn + 3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
∞ |
|
|
|
n (x + k +1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(k +1) |
n |
|
(n +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12 − k )n (kn + 3)(3n + k ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
12 |
∞ |
(x + k − 2)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∑ |
(n2 + kn +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14 |
∞ |
|
|
|
n+1 |
n3 + kn +1 x − k n |
|||||||||||||||||||||
|
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n4 + kn2 |
|
|
|
|
|
2k |
||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|||||||||||||||||
16 |
∑(−1) |
n+k |
(x − 2k + 5) |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 + k3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
18 |
∞ |
(x +1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(nk +1)kn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20 |
∞ |
|
(x − 2)2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n+1 (2n + 3k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=0 |
|
(x − k )2n |
|
|||||||||||||||||||||||
22 |
∑(−1)n (n + k ) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
(n + 2k )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24 |
∞ |
(nk +1)(x + k )n+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
n |
k |
+1 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=0 |
(k |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26 |
∑∞ |
2 |
2 |
|
+1)(x − k ) |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=0 |
|
|
(n + k )2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
∞ |
|
|
n |
|
|
|
(x + k )2n |
|
|
|
|
|
|
28 |
∞ |
|
(k +1)n + k |
|
(x − k )n |
|||||||||
|
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(n3 + k2n + k3 )9n |
|
|
|
|
|
2 |
+ kn + (k +1) |
(k +1) |
|||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 n |
|
|
|
|||||||||||||||||
29 |
∞ |
|
|
n+1 |
|
nk + k |
|
|
|
2n+1 |
|
30 |
∞ |
(k +1)(x + k )n+1 |
|
|
|
||||||||||||
|
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
k+1 |
+ |
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
(2n +1) k |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
31 |
∞ |
|
|
|
(n + k )(n + 2k ) |
|
|
|
|
32 |
∞ |
(x + 2k ) |
n |
(kn + 2) |
|
||||||||||||||
|
∑ |
(−1)n |
(x − |
1)n+3 |
|
∑ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
n + 3k |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
(k + 2)n (2n + k ) |
|
|||||||||||
33 |
∞ |
(n +1)(n + k )(x −1)n |
|
|
|
34 |
∞ |
(x − 2k )n (n + 3) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
(n2 + k )2n |
|
|
|
|
|
||
35 |
n=0 |
|
+ k |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑n 3 |
2 |
(x − k )2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
n |
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 :
1
2
3
4
5
6
7
8
Задача 3.
Найти три члена разложения в ряд функции y = f (x) в окрестности точки
Варианты
f (x)= |
x |
+ k |
, |
x0 =1 |
1 |
f (x)= 3x2 − xsin (k + x), |
||
x |
2 |
+ k |
9 |
x0 = −k |
||||
|
|
|
|
|
||||
f (x)= xek−x , x = k |
2 |
f (x)= ln (4 − k + 2x), x0 = k |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
f (x)= x2 + xsin (k − x), x0 = k |
f (x)= 4x3ex+k , x0 = −k |
|||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f (x)= x13−+xk , x0 = 2 f (x) = x3 + xln (k − x),
x0 = k −1
f (x)=1 − 2x3 + x2 cos(k − x),
x0 = k |
x2 |
|
|
f (x)= |
, x = −k |
||
|
|||
|
k + x2 |
0 |
|
|
|
f (x)= 2x2 − xek+x , x0 = −k
2 |
f (x)= 16 − 3k + 3x, x0 = k |
||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
f (x)= |
|
k |
, x = k |
|
3 |
(3 |
+ x)3 |
|||
|
0 |
||||
2 |
f (x)= 3x2 − k sin (k + x), |
||||
4 |
x0 = −k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
f (x)= x2 − xek−x , x0 = k |
||||
5 |
|
|
|
|
|
2 |
f (x)= xln (6 − k + x), x0 = k |
||||
6 |
|
|
|
|
115
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
f (x)= |
1 + x |
|
|
|
, |
|
|
x = k +1 |
2 |
||
(k − x)2 |
|
|
7 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|||||||
f (x)= (3 + e |
k−x |
) |
2 |
, x0 = k |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||||
f (x)= xln (2x − k ), x0 = k |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
f (x)= 2xcos(k + x)− 7x2 , |
3 |
||||||||||
x0 = −k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
f (x)= |
|
|
|
, x = −k +1 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
x + k |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
f (x)= x2 + 2k2 −1, x =1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, x0 = k |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
3 − x − x |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x)= (1 + x)sin (k + x)+ x2 , |
3 |
||||||||||
x0 = −k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x2 + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
f (x)= |
|
, |
|
x =1 |
|||||||
x3 + k |
|
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= x2ek−x , x0 = k
Задача 4.
f (x)= x2 x++x3− k , x0 = k f (x)= (2 + ln (k + x))2 ,
x0 = −k +1
f (x)= 3x2 − (k − x)cos(k − x), x0 = k
f (x)= x2 − x + ek2 −x2 , x = k |
||
|
|
0 |
f (x)= |
x − 2k |
, x =1 |
|
||
|
x2 + k |
0 |
|
|
f (x) = k + x2 − xek+x , x0 = −k f (x)= (x + k )cos(x − k )+ 2,
x0 = k
f (x)= (x + k ) x − k , x0 = 4 + k
f (x)= k + x2 + (x2 −1)sin kx, x0 = 0
Используя известные разложения, функции
степенные ряды и найти их область сходимости:
Варианты
N |
|
|
|
f1 (x) |
|
|||
1 |
1 |
sin (kx2 ) |
||||||
|
kx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
xe−kx2 |
|
||||
3 |
1 |
|
sin |
( |
kx3 |
) |
||
kx2 |
||||||||
|
|
|
f1 (x) и f2 (x) разложить в
|
|
f2 (x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||
ln 1 − |
|
|
|
|
|
|
|||||
k +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
kxcos |
|
|
|
x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k +1 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
ln |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
k |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+1 |
116
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1 − ekx2
x
x12 sin (2k − 5)x2
|
x |
|
|
|
cos(kx) |
|
7 + k |
||||
|
|
||||
|
x |
|
|
e−(12−k )x2 |
|
k + |
1 |
|
|
|
x3 ln 1 + 5 −x2k
x |
x2 |
|
||
|
cos |
|
|
|
k |
k |
|||
|
|
kx sin (kx2 ) xk2 sin (kx3 ) kx − sin (kx)
x3
1 − cos x2k
x
−1 + ekx2 x2
kx1 sin (kx3 )
1 − cos(kx2 )
k2 x kx e−kx3
2
xk ln (1 + kx2 )
2 − 2cos(kx2 )
117
x |
3 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
e |
−kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(k +1) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||
(2k +1)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k +1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
ekx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
ln (1 − kx) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
xe |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||
|
xln 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
k2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xe−kx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2k + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
x |
|
|
ln |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k − 5 |
||||||||||||
|
|
x3 |
|
cos |
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
e |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx ln (1 + (k +1)x)
1 |
x2 |
|
||
|
sin |
|
|
|
x2 |
k |
|||
|
|
|
1 − e− kx2 |
|
||||
|
k2 x |
|
||||
1 |
|
− |
x |
|
||
|
ln 1 |
|
|
|
||
x |
k +1 |
|||||
|
|
|
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
1kx3 x2 sin k +1
x cos x2 − x k k k
xkk sin (x2k )
x |
sin (kx4 ) |
|
4 + k |
||
|
2e− kx3 − 2 kx
cos(kx3 )−1
x2
− |
k |
x2 |
|
|
|
||
1 − e |
k+1 |
|
x
ln (1 + kx3 )
k2 x
kx2
e 2 −1 2k
k x+1ln (1 − kx3 ) kx sin (k +1)x3
−kx3 + xln (1 + kx2 )
ekx2 −1
x2
kxsin x3k 2
kxcos (k +1)x2 k
118
k− x3
xe k
x2 ln 1 + x3
k3 e(k+1)x4 −1
12 + 2k |
|
|
|
kx2 |
|
|
ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
12 + 2k |
1 + k sin (x1+k )
e−kx2 kx2
k |
|
|
x |
|
|
|
ln 1 |
− |
|
|
|
x |
k2 |
||||
|
|
|
kx23 sin (kx2 )
xk |
x3 |
|
||
|
cos |
|
|
|
k |
k |
|||
|
|
3
xk sin (2xk )
x12−k (1 − e−kx2 )
1 − cos(kx2 )
x4
sin x2k
(k +1)x
ln (1 + k2 x2 )
kx2
k x+1(1 − e− kx )
|
|
x |
4 |
|
|
|
+ k |
2 |
x |
|
35 |
k +1sin |
|
|
1 ln 1 |
2 |
|
||||
k +1 |
|
|||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
119