4.2. Теория пределов

4.2.1. Вопросы для самостоятельного изучения

4.2.1.1. Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, которая опреде-

лена на множестве натуральных чисел и обозначается yn = f (n), n .

Определенная таким образом функция каждому натуральному числу n ставит в соответствие действительное число yn . Числовая последовательность

записывается в виде: y1, y2 , y3 ,..., yn ,..., или кратко: yn .

	Числа y1, y2 , y3 ,..., yn ,...					называются членами последовательности, yn –
	общим, или n-м членом последовательности.
	Примеры.
	1. yn =	1		, или yn : 1	,	1 ,	1 ,...,	1		,...
		n +1						n +1
				2		3	4

2.yn = (−1)n +1, или yn : 0,2,0,2,...

3.y1 = a1, yn = yn−1 + d – арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность может быть задана формулой общего члена yn (примеры 1, 2) или рекуррентной формулой (пример 3).

4.2.1.2. Предел числовой последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности yn ,					если
для любого положительного числа ε существует номер N , после которого вы-
полняется неравенство		yn − a		< ε. Обозначается: lim yn = a (или yn → a	при
				n→∞

n → ∞).

В этом случае говорят, что последовательность yn сходится к a, или име-

ет конечный предел. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая конечного предела, назы-

вается расходящейся.

51

4.2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → +∞, ес-

ли для любого ε > 0 существует число M > 0 такое, что при всех x > M выпол-

няется неравенство α(x) < ε.

Функция α(x) называется бесконечно малой функцией при x → a , если для любого ε > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в которой выполняется неравенство α(x) < ε.

Свойства бесконечно малых функций

1.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x)± β(x) – б.м.ф.

2.α(x) – б.м.ф., f (x) – ограниченная α(x) f (x) – б.м.ф.

3.α(x) и β(x) – б.м.ф. α(x) β(x) – б.м.ф.

4.α(x) – постоянная б.м.ф. α(x)= 0 .

			Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при					x → ∞,
если для любого числа A > 0 существует число M > 0 такое, что для всех
	x		> M выполняется неравенство		f (x)		> A.
			Функция f (x) называется бесконечно большой функцией при					x → a ,

если для любого числа A > 0 существует проколотая окрестность Uar точки a , в

которой выполняется неравенство f (x) > A.

Функция y=f (x) называется ограниченной на интервале, если существу-

ет число C > 0 такое, что для всех x из этого интервала выполняется неравен-

ство f (x) ≤ C .

4.2.1.4. Предел функции

Число b = lim f (x) называется пределом функции f (x) на бесконеч-

x→+∞

ности ( x → +∞), если f (x)= b + α(x), где α(x) – б.м.ф. при x → +∞.

52

Число b называется пределом функции f (x)	при x → a , если разность
f (x)− b является б.м.ф. при x → a .
4.2.1.5. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть существует предел отношения б.м.ф.	α(x) и β(x) при x → a

( x → ∞).

Б.м.ф. α(x) называется б.м.ф. более высокого порядка малости, чем

б.м.ф. β(x), если lim α((x)) = 0 .

x→a β x

(x→∞)

		Б.м.ф. α(x) и β(x) называется б.м.ф. одного порядка малости, если
	lim	α(x)	= C , C = const ≠ 0. В частности, если C =1, то α(x) и β(x) называ-
		β(x)
	x→a
	(x→∞)

ются эквивалентными б.м.ф.

4.2.1.6. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x =1.

x→0 x

Замечание. Первый замечательный предел раскрывает неопределенность вида (0 0 ). Из него вытекают следующие формулы:

lim	x	=1, lim tg x	=1,	lim	x	=1.
x→0 sin x		x→0 x		x→0 tg x

Второй замечательный предел

	+	1 x
lim 1			= e .
x→∞		x

Замечание. Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида (1∞ ) и имеет еще другую форму:

53