РАЗДЕЛ. III. РЯДЫ Тема 7. Числовые ряды

7.1. Сходимость знакоположительных рядов

7.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения

7.1.1.1. Числовой ряд, сумма ряда, свойства рядов

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел

u1,u2 ,u3 ,...,un ,...

Выражение вида

∞
u1 + u2 + u3 +... + un +... = ∑un	(22)

n=1

называется числовым рядом.

Числа u1, u2 , ... называются членами ряда, un – общим ( n -ым) членом

ряда.

Задание ряда равносильно заданию общего члена ряда в виде функции un = f (n) от порядкового номера n .

Сумма конечного числа первых членов ряда называется частичной сум-

мой. Частичные суммы ряда имеют вид:
S1 =u1 – первая частичная сумма,
S2	= u1 + u2 – вторая частичная сумма,
S3	= u1 + u2 + u3 – третья частичная сумма,
Sn = u1 + u2 +... + un – n -ая частичная сумма.
Из частичных сумм можно построить последовательность
	S1, S2 , S3 , S4 , ..., Sn , ...	(23)

100

∞

Числовой ряд ∑un называется расходящимся, если последовательность

n=1

частичных сумм ряда не имеет конечного предела.

7.1.1.2. Необходимый признак сходимости ряда

∞
Если ряд ∑un сходится, то предел его общего члена равен нулю при
n=1
n → ∞, то есть
lim un =	0 .	(24)
n→∞

Следствие (достаточный признак расходимости ряда)

	∞
Если lim un ≠ 0 , то ряд ∑un – расходится.
n→∞	n=1

7.1.1.3.Признаки сходимости знакоположительных рядов

1.Признак сравнения (в общей форме).

∞	∞
Если для двух знакоположительных рядов ∑un	и ∑vn выполняется не-
n=1	n=1
равенство un ≤ vn для любых n , то:

∞

1) из сходимости большего ряда ∑vn следует сходимость меньшего ряда

n=1

∞

∑un ;

n=1

∞

2) из расходимости меньшего ряда ∑un следует расходимость большего

n=1

∞

ряда ∑vn .

n=1

1 (а). Признак сравнения (в предельной форме).

∞ ∞

Если для двух знакоположительных рядов ∑un , ∑vn существует предел

n=1 n=1

101

причем a ≠ 0, a ≠ ∞, то оба ряда либо сходятся, либо расходятся.

2. Признак Даламбера

		∞
Если для знакоположительного ряда ∑un			существует предел
		n=1
lim	un+1	= D ,	(26)
n→∞ un

то:

1) если D <1, то ряд сходится;

2) если D >1, то ряд расходится;

3) если D =1, то это неопределенный случай.

3. Признак Коши

∞
Если для знакоположительного ряда ∑un	существует предел
n=1
k = lim n un ,	(27)
n→∞	(25)
lim un = a ,
n→∞ vn

то:

1)если k <1, то ряд сходится;

2)если k >1, то ряд расходится;

3)если k =1, то это неопределенный случай.

4. Интегральный признак

Функция f (x) , удовлетворяющая условию f (n) = un , для любых n , назы-

вается производящей функцией ряда.

∞

Если знакоположительный ряд ∑un имеет монотонно убывающую про-

n=1

изводящую функцию f (x) на [1, ∞), то:

∞

1) из сходимости несобственного интеграла J = ∫ f (x)dx следует сходи-

1

мость ряда;

102