Медиану можно найти как корень уравнения F(x) = 12 .

Дисперсия непрерывной случайной величины находится по формуле

∞

D [X ] = ∫ (x − mx )2 f (x) dx

−∞

или

∞

D [X ] = ∫ x2 f (x) dx − mx2 .

−∞

Среднее квадратическое отклонением случайной величины Х опреде-

ляется формулой

σ[X ] = D[ X ] .

11.1.1.4. Нормальный закон распределения случайной величины

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m, σ > 0 , если плотность распределения этой величины

имеет вид

	1		−	(x−m)2
f (x) =		e		2σ2	− ∞ < x < ∞	(50)
	σ 2π

График f (x) – кривая распределения изображена на Рис. 11.1.3.

y

1

σ 2π

m	x

РИС. 11.1.3

Введем функцию

144

		2	x	t2
	Φ(x) =		∫e−		dt,
				2
		2π
			0

которая называется функцией Лапласа.

P{a ≤ X ≤ b}=	1		b − m			a − m
	2	Φ		σ		− Φ	σ	.

(51)

(52)

11.1.1.5. Биномиальный закон распределения. Формула Бернулли

Последовательность n испытаний удовлетворяет схеме Бернулли, если:

1)испытания независимы;

2)каждое испытание имеет два исхода: А или А;

3)Р(А) = р постоянна в каждом испытании.

Дискретная случайная величина X

«число испытаний, в которых насту-

пит

событие A » распределена

по биномиальному закону с параметрами

п

, р [0,1] , если её ряд распределения имеет вид:

X

0

1

2

…

n

P{X = xk }

p0

p1

p2

…

pn

где вероятности P{X = k}

вычисляются по формуле Бернулли:

P{X = k} = P

= C k p k q n−k ,

n, k

n

C nk =

n!

– число сочетаний из n по k , а q =1 − p .

k!(n − k)!

Числовые характеристики: а) математическое ожидание

n	n
mx = ∑xk pk = ∑k Cnk pk qn−k = n p,
k=1	k=1

б) дисперсия

n

Dx = ∑k2Cnk pk qn−k − n2 p2 = n pq ,

k=1

в) среднее квадратическое отклонение

σx = Dx = n pq .

145