Тема 2. Векторная алгебра

2.1. Векторы. Линейные операции над векторами

2.1.1. Вопросы для самостоятельного изучения

2.1.1.1. Определения

	Вектором называется отрезок, которому
	приписано определенное направление (рис.	aG
	2.1.1), т.е. указаны начало и конец отрезка. Обо-
		В
	значается: a или AB , где А – начало, B – конец	А
	отрезка.	РИС. 2.1.1

Модулем (длиной) вектора называется длина отрезка и обозначается a

или AB .

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным векто-

ром или ортом.

Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной

прямой или на параллельных прямых. Обозначается a b . При этом коллинеар-

ные векторы могут быть одинаково направленными (рис. 2.1.2) a ↑↑b или

противоположно направленными (рис. 2.1.3) a ↑↓ b .

aG						aG
bG						bG
РИС. 2.1.2						РИС. 2.1.3
Векторы a и b равны a = b , если: 1)		a				; 2) a ↑↑b .
				=	b

14

2.1.1.2. Линейные операции над векторами

		bG
aG	G	G
	a	+b

РИС. 2.1.4

aG	G	G
	a	+b

bG

РИС. 2.1.5

1. Суммой векторов a и b называется вектор a + b , построенный:

а) по правилу треугольника (рис. 2.1.4) –

вектор a + b проведен из начала вектора a в

конец вектора b , если конец вектора a и

начало вектора b совмещены; или

б) по правилу параллелограмма (рис. 2.1.5) – вектор a + b является диагональю

параллелограмма, построенного на векторах a и b , как на сторонах.

Свойства: а) a + b = b + a ; б) (a + b )+ c = a + (b + c ).

bG

cG

dG

2. Сумма a + b + c + d нескольких век-

торов строится по правилу многоугольника

aG

G

G

(рис. 2.1.6) - это вектор, замыкающий лома-

G

G

ную линию, составленную из слагаемых

a

+b

+c

+d

РИС. 2.1.6

векторов, его начало совпадает с началом

первого вектора a , а конец - с концом по-

следнего вектора d .

1

G

3. Произведением вектора a на число λ

aG

2aG

−2a

называется вектор λa (рис. 2.1.7), удовле-

творяющий условиям:

РИС. 2.1.7

1)

λa

=

λ

a

;

2)

λa ↑↑ a , если λ > 0 и λa ↑↓ a , если λ < 0 .

Свойства: а)

a + b = b + a ; б) (λ + μ)a = λa + μa ; в)(λμ)a = λ(μa ).

15

4. Разностью векторов a и b называется вектор a − b = a + (−1)b , кото-

рый можно построить двумя способами:

а) a − b = a + (−b)		(рис. 2.1.8) б) b + (a − b) = a (рис. 2.1.9)
G	G	G		aG	aG − b
a	− b	a
	G		G		G
−b			b
					b
	РИС. 2.1.8				РИС. 2.1.9

2.1.1.3. Координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах

Ось Ou – это прямая с заданным направлением, масштабом и началом отсчета O . Единичный вектор e , лежащий на оси, направление которого совпадает с направлением оси, называется ортом направления оси.

Пусть дан вектор

AB .

Найдем проекции точек

А, B

на ось Ou (рис.

′

= прOu А, B

′

′ ′

.

2.1.10) – точки A

= прOu B . Построим вектор A B

G

А

В

Проекцией вектора

AB на ось Ou назы-

вается число

е

О

А′

В′

u

′

′

, если

′ ′

↑↑ e,

ПрOu АB =

A B

A B

′

′

′

′

↑↓ e.

−

РИС. 2.1.10

16

y

x M

Декартова прямоугольная система координат на

G

плоскости (обозначается

2 ) образована двумя взаим-

j

y

но перпендикулярными осями: Ox – ось абсцисс, Oy –

iG

O

x

ось ординат, имеющих общее начало, O – начало коор-

РИС. 2.1.11

динат (рис. 2.1.11).

Любая точка

М в

2

имеет две координаты M (x, y) .

Оси координат

имеют единичные векторы:

i

–

орт оси Ox , j

– орт оси Oy . Пара векторов

(i , j ) называется базисом в

2 .

Декартова прямоугольная система координат в

z

пространстве (

3 ) образована тремя взаимно перпен-

z

дикулярными осями: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ор-

ОK

j

y y

3

динат, Oz – ось аппликат, точка O – начало координат

kG

G

М

(рис. 2.1.12). Любая точка М в

имеет три коорди-

xx

i

наты M (x, y, z) . Единичные векторы: i – орт оси Ox ,

j –

орт оси Oy ,

k – орт оси Oz . Тройка векторов

РИС. 2.1.12

(i , j,k ) образует базис в 3 .

	z
	С z
	А		М y
	О	kG Gj
		K	В y
x	Аx	i	М1
	РИС. 2.1.13

Рассмотрим вектор OМ в 3 , где O(0,0,0) ,

M (x, y, z) . Представим вектор OМ в виде суммы

векторов, лежащих на осях координат (рис. 2.1.13)

→

OМ = x i + y j + z k .

Это представление вектора OМ называется

разложением вектора OМ по базису, а числа x, y, z

называются координатами вектора OМ . Пишут так-

же OМ = (x, y, z) .

17