Математика для економістів Ден.. 2010 ч

1

1

x

1

;

;

0 .

f (x)

g (x)

e 2

lim

4

2

x

x

2e 2

Формула Маклорена Одним із основних принципів математики є зображення складного через

більш простіше. Формула Маклорена є реалізацією цього принципу. Будь-які функції, диференційовані достатню кількість разів в точці x 0 , можуть бути зображені у вигляді многочленів деякого степеня. Останні є більш простими елементарними функціями, над якими зручно виконувати арифметичні дії,

обчислювати значення в будь-якій точці і т.д. Отже, функція f (x) , яка має (n 1)

похідну в точці x 0 , може бути зображена за формулою Маклорена разом із залишковим членом:

f (x) f (0)	f '(0)	x	f ''(0)	x2		f (n) (0)	xn	O(x) .
	1!		2!			n!

Ця формула дає можливість зобразити функцію f (x) у вигляді многочлена.

Ця формула широко використовується для наближених обчислень значень різних функцій; при цьому похибка обчислень оцінюється по залишковому члену розкладення O(x) .

Приклади

x 2 e x2

1. Знайти похідну функції y

.

x 2 1

Розв'язок.

y

(2xex2

x 2 2xex2 )(x 2 1) (2x)x 2 e x2

2x3e x2

2x5 e x2

2xex2

2x3e x2

2x3e x2

(x 2 1)2

(x 2 1)2

2xex2 (x 4

1 x 2 )

.

(x 2

1)2

2. Знайти похідну функції y ln tg	x		x	.
2			sin x
Розв'язок.

y

1

1

1

sin x

x cos x

1

sin x

x cos x

sin x sin x

x cos x

tg

x

cos

2

x

2

sin2 x

2sin

x

cos

x

sin2 x

sin2 x

2

2

2

2

3.

x cos x

sin2 x

Знайти похідну функції y

arctg

2x4

.

1

x8

y

1

8x3 (1 x8 ) ( 8x7 )2x 4

(1 x8 )2 (8x3 8x11

16x11 ) 8x3

8x11

1

4x8

(1 x8 )2

(1 x8 )2 (1 x8 )2

(1 x8 )2

(1

x8 )2

4.

8x3 (1

x8 )

8x3

(1 x8 )2

1

x8

Знайти похідну функції y

x2 e x2

ln x

y

x

2

e

x2

ln x

x

2

e

x2 1

2xe

x2

x

2

e

x2

2x ln x

xe

x2

2xe

x2

(1

x

2

) ln x xe

x2

x

5. Знайти

xex2 (1 2 ln x 2x 2 ln x)

похідну функції

f (x)

(x 2

3x) x cos x .

Розв'язок.

По

формулі

показниково-степеневої

функції

отримаємо:

u

x 2

3x;

v x cos x;

Похідні цих функцій: u

2x

3;

v

cos x

xsin x;

Отже:

f

(x)

x cos x (x 2

3x) x cos x

1

(2x

3)

(x 2

3x) x cos x (cos x

x sin x) ln(x 2

3x) .

6. Продиференціювати вказані функції:

а) f (x) ln(cos x 1) ,

Розв'язок.

1

1

tg

x

1

,

f

(x)

sin

x

1

cos

x

1

2

x

1

2

x

1

	b)	x		5 sin 2t					3sin 3t,	:
		y 3 cos2t							2 cos3t
	Розв' язок.
	xt	10 cos2t					9 cos3t,
	yt	6 sin 2t					6 sin 3t			6 sin 2t sin 3t ,
	f	x	dy			yt		;
			dx			xt
	f	x		6 sin 2t					sin 3t	.
			10 cos2t						9 cos3t

с) x2 xy				y2ex	0,
	2x y xy 2 yy ex ex y2 0,
	2x y ex y2					y x 2 yex ,
Розв' язок :
y		2x	y	ex y	2	.
		x	2 yex

7. Розкласти функцію по формулі Маклорена:

f (x)

ex .

Розв'язок. Оскільки e(n) (x) ex ,

f (n) (0)

e0

1

то

для

будь-якого n , формула

Маклорена має вигляд:

ex

1

x

x2

x3

xn

o(xn ) .

1!

2!

3!

n!

Ця формула використовується для обчислення числа e

з будь-якою необхідною

точністю. Звідси при x

1 отримаємо наближене значення числа e 2,71882818 .

Завдання

1. Знайти похідні функції вигляду у=хn, у= ах, у=loga x (у=lnх).

В. 1

В. 2

1. y 1 2x 30 , y ?

1. y 1 x2 10 , y ?

2. y

x3

2x

, y ?

2. y x3

102 x 3 , y ?

e x

3.

y

x2 log3 x,

y ?

3.

y

ln 2 x,

y ?

x

1

,

4.

y

t 3

1 t,

y (0) ?

4.

y

y (2) ?

x

1

В. 3

В. 4

1.	y 1 x 20 , y ?														1.	y x2					1 4 , y ?
2.	y e x 1 , y ?														2. y				1 e3x , y ?
3.	y			x		1			,	y		?			3.	y		log			x3					1 ,		y	?
				log2 x															3
4.	y	1				x2				5		1		, y ?	4.	y			1	x2			,				y (0) ?
											x2								1	x2
		В. 5															В. 6
1.	y x3						x 6 , y ?								1.	y 5x2					3 7 , y ?
2.	y 23x , y ?														2.	y 3x 23x , y ?
3.	y ln x 2								4x , y ?						3.	y		ln x			, y ?
																	1		x2
4.	y		2			x		,		y (1)		?			4.	y			3				x2				,	y (2)	?
		1				x2											5		x		5

2. Знайти похідні тригонометричних функцій і обернених тригонометричних

функцій.

В. 1

В. 2

1.

y

2sin x

,

y

?

1.

y

sin 3x

,

y ?

2sin2 x

cos x

cos2x

x

2.

y

tg

,

y

?

2.

y

ctg3 1 x2 ,

y

?

2

3.

y

(arcsin x)2 ,

y

?

3.

y

arcsin x

, y

?

arccosx

4.

y

x

arctgx,

y ?

4.

y

arctgx3 ,

y

?

1 x2

В. 3

В. 4

sin

x

2sin2 x

1.

y

,

y ?

1.

y

2

,

y

?

cos2x

cos3 4x

2.

y tg 2

x 1

, y ?

2.

y

1 tg x

1

, y ?

2

x

3.

y

arccosx

,

y

?

3.

y

x arcsin x 2

2x ,

y

?

x 2

4.

y

xsin x

arctgx,

y

?

4.

y

x3 arctgx3 ,

y

?

В. 5

В. 6

1.

y

3sin 3x

5

,

y

?

1.

y

cos2

sin 4x ,

y

?

cos x

2

tg

x

ctg

x

2x

2.

y

,

y ?

2.

y

2

2

, y ?

tg 2 2x

x

2 arccos

x 2

2

x3 ,

3.

y

2 1

x2

arcsin(2x),

y

?

3.

y

y ?

6

4.

y

arctg

2x

1

tg

1

,

y

?

4.

y

1

xarctgx

,

y

?

3

x

1

x 2

3. Розкласти функції за формулами Маклорена:

В.1

y

sin(x)

В.2

y

cos(x)

В.3

y tg(x)

В.4 y e x 2

В.5

y

ln(x

1)

В.6

y

arctg(x)

Питання для самоконтролю

28.Дати означення похідної заданої функції.

29.Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

30.Як знайти похідну, виходячи з її означення?

31.Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

32.Сформулювати правила диференціювання.

33.Похідна складної та оберненої функцій.

34.Логарифмічна похідна.

35.Похідні неявної та параметрично заданої функції.

36.Похідні вищих порядків.

37.Описати спосіб графічного диференціювання.

38.Як визначається кут між лініями?

39.Що називається диференціалом функції?

40.Який геометричний та механічний зміст диференціала?

41.Назвати властивості диференціала.

42.У чому полягає інваріантність форми диференціала?

43.Як визначається диференціал функції через її похідну?

44.Сформулювати теорему Лагранжа.

45.Сформулювати теорему Коші.

46.Записати формулу Маклорена.

47.Записати формулу Тєйлора.

48.Сформулювати правило Лопіталя.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 12

Тема 7. Дослідження функцій та побудова їх графіків

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати умови неперервності функцій, класифікацію точок розриву, вміти визначати асимптоти функції. А також вміти проводити дослідження функції на екстремум, вивчити необхідні і достатні умови існування екстремуму, знати алгоритм відшукання найбільшого і найменшого значення функції на відрізку та побудови графіків функцій.

План заняття

1.Неперервні функції. Означення та властивості неперервних функцій.

2.Точки розриву та їх класифікація.

3.Дослідження функції за допомогою похідної.

4.Екстремум функції.

5.Асимптоти.

6.Алгоритм дослідження функції та побудова її графіку.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Неперервність функції в точці

Означення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х0, називається

неперервною в точці х0, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Означення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х0, але не є неперервною в самій точці х0, то вона називається розривною функцією, а точка х0 –

точкою розриву.

Приклад неперервної функції:

y

f(x0)+ f(x0)

f(x0)-

0 x0- x0 x0+

x

Означення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо для будь-

якого додатного числа		>0		існує таке число			>0, що для довільних х,
задовольняючих умові	x	x0		, виконується нерівність
					f (x) f (x0 )		.
Приклад розривної функції:

y

f(x0)+ f(x0)

f(x0)-

x0

x

Означення. Функція f(x)	називається неперервною в точці х=х0, якщо
приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною:
	f(x) = f(x0) + (x),
де (х) – нескінченно мала при х	х0.

Властивості неперервних функцій

1) Сума, різність і добуток неперервних в точці х0 функцій – є функція,

неперервна в точці х0.

2) Частка двох неперервних функцій f (x) – є неперервна функція за умови, g(x)

що g(x) не дорівнює нулю в точці х0.

3) Суперпозиція неперервних функцій –є неперервна функція.

Неперервність деяких елементарних функцій

1) Функція f(x)=C, C = const – неперервна функція на всій області

визначення.

		a	0	xn	a xn 1	...	a	n
2) Раціональна функція	f (x)				1				неперервна для всіх значень
		b xm			b xm 1	...	b
		0			1		m

х, крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції sinх і cosх неперервні на своїй області визначення.

Точки розриву і їх класифікація

Розглянемо деяку функцію f (x) , неперервну в околі точки x0 , за винятком

може бути самої цієї точки. Із означення точки розриву функції слідує, що х=х0 є

точкою розриву, якщо функція не	визначена в цій точці, або	не є в ній
неперервною.
Слід зазначити також, що неперервність функції може бути односторонньою.
Пояснимо це наступним чином.
Якщо одностороння границя	lim f (x) f (x0 ) , то функція	називається
	x x 0

неперервною справа.

х0

Якщо одностороння границя lim f (x) f (x0 ) , то функція називається

x x 0

неперервною зліва.

х0

Означення. Точка х0 називається точкою розриву функції f (x) , якщо f (x) не

визначена в точці х0 або не є неперервною в цій точці.

Означення. Точка х0 називається точкою розриву 1- го роду, якщо в цій точці функція f (x) має скінченні, але не рівні одна одній праву і ліву границі:

lim	f (x)	lim	f (x)
x x0	0	x x0	0

Для виконання умов цього означення не потрібно, щоб функція була визначена в точці х=х0, достатньо того, що вона визначена зліва і справа від неї.

Якщо границя справа і границя зліва скінченні і рівні, а функція в цій точці не визначена, то точка х=х0 називається точкою усувного розриву.

Означення. Точка х0 називається точкою розриву 2 – го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоча б однієї з односторонніх границь або хоча б один з них нескінченна.

Неперервність функції на інтервалі і на відрізку

Означення. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (відрізку),

якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не є необхідною неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна лише одностороння неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Дослідження функції за допомогою похідної Зростання та спадання функцій

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку невід’ємна, тобто f (x) 0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку

(а, b), причому f (x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то f (x) 0 на цьому відрізку. Якщо f (x)<0 в проміжку (a, b), то f(x)

спадає на відрізку [a, b].

Це твердження справедливе, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і

диференційована на інтервалі (a, b).

Теорему можна проілюструвати геометрично:

y

y

x

x

Точки екстремуму

Означення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, який містить точку х1.

Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2+ x) > f(x2) при будь-якому х ( х

може бути і від‟ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум лише в точках, які знаходяться всередині цього відрізку. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Означення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками

екстремуму.