Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Теорема: Система сумісна (має хоча б один розв’язок) тоді і лише тоді,

коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

RgA = RgA*.

Метод Крамера

(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод застосовується лише у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних співпадає з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне з рівнянь не було б лінійною комбінацією решти.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0 (det A

0).

Дійсно, якщо будь-яке рівняння системи є лінійна комбінація інших, то якщо до елементів деякого рядка додати елементи іншого рідка, помножені на деяке число, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульовий рядок.

Визначник в цьому випадку буде дорівнювати нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система із n рівнянь з n невідомими

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	b1
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	b2

.......... .......... .......... .......... .......

an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв’язок і цей розв’язок знаходиться за формулами:

xi = i/ , де

= det A, а i – визначник матриці, який отримано з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

	a11	...a1i 1	b1	a1i 1	...a1n
i =	a21	...a2i i	b2	a2i 1	...a2n	.
		...	...	...
	an1	...ani 1	bn	ani 1	...ann

Приклад.

a11 x1

a12 x2

a13 x3

b1

a21 x1

a22 x2

a23 x3

b2

a31 x1

a32 x2

a33 x3

b3

a11

a12

a13

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

b1

A = a21

a22

a23

;

1=

b2

a22

a23

;

2=

a21

b2

a23

;

3=

a21

a22

b2

;

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

x1 = 1/detA;

x2 = 2/detA;

x3 = 3/detA.

Якщо система однорідна, тобто bi= 0, то при 0 система має єдиний нульовий розв‟язок x1 = x2 = … = xn = 0.

При = 0 система має нескінчену кількість розв‟язків.

Метод Гаусса

(Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) німецький математик)

Метод Гаусса може бути застосованим до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть метода полягає в послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	b1
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	b2
.......... .......... .......... .......... .......
am1 x1	am2 x2	...	amn xn	bm

Розділимо обидві частини 1–го рівняння на a11 0, потім:

1)помножимо на а21 і вичтемо із другого рівняння;

2)помножимо на а31 і вичтемо із третього рівняння;

і т.д.

Отримаємо:

x1 d12 x2 ... d1n xn d1

d 22 x2	d 23 x3	...	d 2n xn	d 2	, де d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
.......... .......... .......... .......... ......
d m 2 x2	d m3	...	d mn xn	d m
dij = aij – ai1d1j				i = 2, 3, … , n;		j = 2, 3, … , n+1.

Далі повторимо ці ж дії для другого рівняння системи, потім – для третього і

т.д.

																Приклади
		1. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь:
									x1		3x2			5x3			7x4		9x5		1
									x1		2x2			3x3			4x4		5x5		2			.
									2x1			11x2		12x3				25x4		22x5			4
Розв‟язок.
		1	3	5	7	9	1		3			5		7		9			1		3		5	7	9
A = 1			2 3		4 5 ~ 3 9 15 21 27 ~ 1 3 5 7 9 ~
		2	11	12	25	22	2		11			12		25		22			2	11		12		25	22
~	1	3	5	7	9 .									1		3		1	6	5	0		RgA = 2.
	2	11	12	25	22									2	11
		1	3	5	7	9	1				1	3		5		7			9	1
A* =		1	2	3	4	5	2		~		0	0		0		0			0	1				RgA* = 3.
		2	11	12	25	22	4				2	11		12		25			22	4
		Система несумісна.
		2. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь
														x1		4x2			1
														3x1		2x2			4
														7x1		10x2			12 .
														5x1		6x2			8
														3x1		16x2			5
					1	4
					3	2		1	4
Розв‟язок. А =					7 10 ;							= 2 + 12 = 14							0;		RgA = 2;
					5	6		3	2
					3	16
					1	4			1			1		4				1	1		4		1
					3	2			4			0		14		7			0		2		1		1	4	1
				A* = 7 10 12 ~ 0 38 19															~ 0 2				1 ~
					5	6			8			0		26		13			0		2		1		0	2	1
					3	16			5			0		4				2	0		2		1
												4		2		0.			RgA* = 2.
										1
										0		2

Система сумісна.

3. Розв‟язати системи за формулами Крамера:

										2x	y			0;					x	y		z	0;
						а)											б)		2x		y	z	5;
										x	3y			7;
																			2 y		z	3.
а) Знаходимо визначники , x,												y :
		1		7;		x				0	1			7, y					2	0		14.
	2
	1	3								7	3								1	7
За формулами		x			x	7				1, y			y		14		2.
						7									7

б)

1	1	1		0	1	1
2	1	1	1, x	5	1	1	1,
0	2	1		3	2	1

		1	0	1			1	1	0
y		2	5	1		2, z	2	1	5	1,
		0	3	1			0	2	3
x	1, y		2,z	1.

4. Розв‟язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

2x1	x2	x3	5
x1	2x2	3x3	3 .
7x1	x2	x3	10

Запишемо				розширену				матрицю				системи:			А*	=
2	1	1	5	1	2	3	3	1	2	3	3	1	2	3	3
1	2 3		3 ~ 2		1	1	5 ~ 0		5	7 11 ~ 0			5	7	11
7	1	1	10	7	1	1	10	0	15	22	31	0	0	1	2

Таким чином, початкова система може бути зображена у вигляді:

x1	2x2	3x3	3
5x2	7x3	11	, звідки отримаємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
x3	2

5. Розв‟язати систему рівнянь методом Гаусса.

5x y z 0

x 2 y 3z 14 . 4x 3y 2z 16

Розв‟язок. Складемо розширену матрицю системи:

5	1	1	0		1	2	3	14		1	2	3	14		1	2	3	14
1	2	3	14	~	4	3	2	16	~	0	5	10	40	~	0	5	10	40 Таким
4	3	2	16		5	1	1	0		0	11	16	70		0	0	6	18

чином, початкова система має бути зображена у вигляді:

x 2 y 3z 14

5 y 10z 40 , звідки отримаємо: z = 3; y = 2; x = 1.

6z 18

Завдання

Розв‟язати системи рівнянь методами Крамера і Гаусса:

	x 3y		z	5
1.	4x	y	z	24	2.
	2x		5z	5
	4x	5 y		2z	6
4.	x	10z		22	5.
	x		2 y	z	4

x	6 y	5z	0		3x	4 y	z	10
x 2 y 4z			1	3.	2x 3y 4z 2
	3y	5z	8		x	10y	z	20
2x 4 y z 0					3x 4 y z 3
x 5 y 2z 2				6.		x y 2z		4
x	2 y	3z	5			x 5z		9

	x1	x2	x3	x4	4
7.	2x1	x2	3x3	2x4 1
	x1	x3	2x4	6
	3x1	x2	x3	x4	0

Питання для самоконтролю

1.Яка система лінійних рівнянь називається сумісною; несумісною;

визначеною; невизначеною?

2.Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

3.Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4,5

Тема 3. Елементи матричного аналізу

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість виробити практичні навички щодо матричного запису системи лінійних рівнянь та матричного способу розв‟язання системи лінійних рівнянь, знати поняття лінійних операторів, власних векторів і власних значень, ознайомитись із застосуванням матричного аналізу в економіці.

План заняття

З даної теми передбачається вивчення таких питань:

-матричний запис та матричний спосіб розв‟язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

-лінійні оператори;

-власні вектори та власні значення;

-квадратичні форми;

-приклади застосування матричного аналізу в економіці.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь Матричний метод застосовується до розв‟язку систем рівнянь, де кількість

рівнянь дорівнює кількості невідомих.

Метод є зручним для розв‟язку систем невисокого порядку.

Метод базується на застосуванні властивостей множення матриць.

Нехай задано систему рівнянь:

		a11 x1	a12 x2		...	a1n xn		b1
		a21 x1	a22 x2		...	a2n xn		b2 .
		.......... .......... .......... .......... .......
		an1 x1	an2 x2		...	ann xn		bn
	a11	a12 ... a1n					b1			x1
Складемо матриці A =	a21	a22 ...	a2n	;		B =	b2	;	X =	x2 .
	... ... ... ...						...			...
	an1	an2 ...	ann				bn			xn

Систему рівнянь можна записати у вигляді:

A X = B.

Зробимо наступне перетворення: A-1 A X = A-1 B, т. як А-1 А = Е, то Е Х = А-1 В і тоді

Х = А-1 В.

Для застосування даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може бути пов‟язано з розрахунковими складностями при розв‟язку систем високого порядку.

Власні значення та власні вектори матриці

Означення. Вектор х називається власним вектором матриці А, якщо існує таке число , що виконується рівність:

A х х .

При цьому число називається власним значенням (характеристичним числом) матриці А, яке відповідає вектору х .

Означення. Якщо задана квадратна матриця

	a11	a12	...	a1n
А =	a21	a22	...	a2n	, то власні значення матриці А можна знайти як корені
	... ... ... ...
	an1	an2	...	ann

1, 2, … , n рівняння:

	a11	a12	...	a1n
	a21	a22	...	a2n	0
	...	...	...	...
	an1	an 2	...	ann

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частина -

характеристичним многочленом матриці А.

Нехай задана матриця А = a11 a12 . Тоді матриця А має власний вектор з

a21 a22

власним значенням		, тобто А х		х .
	x1	x1	a11 x1	a12 x2	або	(a11		)x1	a12 x2	0
	x2	x2	a21 x1	a22 x2		a21 x1		(a22	)x2	0
Так	як власний		вектор	x ненульовий,		то	х1	і х2 не дорівнюють нуль
одночасно.	Так як	дана система однорідна,					то	для	того,	щоб вона мала

нетривіальний розв‟язок, визначник системи має дорівнювати нулю. В

протилежному випадку за правилом Крамера система має єдиний розв‟язок – нульовий, що неможливо.

a11

a12

(a11

)(a22

)

a12 a21

2

(a11

a22 ) (a11a22

a12 a21 ) .

a21

a22

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням матриці А.

Таким чином, можна знайти власний вектор

х (х1, х2) матриці А з власним

значенням , де

- корінь характеристичного рівняння, а х1 і х2

– корні системи

рівнянь при підстановці в неї значення .

Якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то матриця А не має

власних векторів.

Квадратичні форми

Означення. Однорідний многочлен другого степеня відносно змінних х1 і х2

Ф(х

, х ) = а

x 2

2a x x

2

a

22

x 2 ,

1

2

11

1

12

1

2

який не містить довільного члена і невідомих в першому степені, називається

квадратичною формою змінних х1 і х2.

Означення. Однорідний многочлен другого степеня відносно змінних х1, х2 і

х3

Ф(x , x	2	, x ) a x2			a	22	x2	a	33	x2	2a x x		2	2a	23	x	2	x 2a x x			3	,
1		3	11	1			2			3	12	1						3	13	1

який не містить довільного члена і невідомих в першому степені, називається

квадратичною формою змінних х1, х2 і х3.

Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Квадратична форма має

симетричну матрицю А =

а11

а12 . Визначник

цієї

матриці

називається

а12

а22

визначником квадратичної форми.

Нехай на площині задано ортогональний базис е1 , е2 . Кожна точка площини

має в цьому базисі координати х1, х2.

Якщо задана квадратична форма Ф(х

, х ) = а

11

x 2

2a

x x

2

a

22

x

2

, то її можна

1

2

1

12

1

2

розглядати як функцію від змінних х1 і х2.

Зведення квадратичних форм до канонічного виду

Розглянемо деяке лінійне перетворення А з матрицею А	а11	а12 .
	а12	а22

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді: y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 – координати вектора Ах в базисі е1 , е2 .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді:

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Якщо в якості базису взяти сукупність власних векторів лінійного

перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

А	1	0	.

0	2

При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінних х1 і х2 . Тоді:

Ф	х1 у1	х2 у2
у1	а11 х1	а12 х2 .
у2	а12 х1	а22 х2

Тоді у1 1 х1 ,

у2

2 х2 .

Вираз Ф(х1 , х2 ) 1 (х1 )2 2 (х2 )2 називається канонічним видом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичну форму з більшою кількістю змінних.

Теорія квадратичних форм використовується для зведення до канонічного виду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклади

1. Розв‟язати систему рівнянь матричним способом:

			5x	y	z	0
			x	2 y	3z	14 .
			4x	3y	2z	16
x	0		5	1	1
Розв‟язок. Х = y , B =	14	, A =	1	2	3
z	16		4	3	2

Знайдемо обернену матрицю А-1.

							5	1	1
= det A =							1	2	3		5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
							4	3	2
M11 =				3		= -5;					M21 =		1 1							= 1;	M31	=				1 1					= -1;
			2
			3	2									3			2								2			3
M12	=			3				10;			M22 =			5		1				14;	M32	=			5		1				16;
			1
			4	2										4		2									1		3
M13	=			2				5;			M23 =				5	1				19;	M33	=		5			1				11;
			1
			4	3											4	3								1			2

1	5				1	1									1					1																		1						1					1
a11	30		;		a12	30		;							a13	30						;
																																						6						30					30
a211		10		;	a221				14			;				a231							16		;									A-1 =						1						7					8		;
	30							30														30																3						15					15
a 1	5				a 1		19								a 1						11																	1						19					11
			;					;															;
																																						6						30					30
31	30				32	30									33					30
Зробимо перевірку:
								5								1						1
			5		1	1		30								30						30										25					10	5				5		14					19				5			16	11
AA-1 = 1					2	3		10								14						16					1					5					20 15					1		28					57				1			32	33 = E.
											30						30						30								30
			4		3	2																										20					30	10				4		42					38				4			48	22
								5							19							11
								30								30						30
Знаходимо матрицю Х.
																						1						1					1											1		0			14				16
							x															6						30					30				0					6							30				30				1
					Х =		y	= А-1В =															1						7				8				14	=						1		0				98			128				2 .
																							3				15					15												3					15				15
							z																														16																				3
																						1					19					11										1		0					266				176
																						6						30						30								6							30				30

Розв‟язок системи: x =1; y = 2; z = 3.