Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0 С 0, то, поділивши на –

С, отримаємо:

А

х

В

у 1 або

С

С

x

y

1

, де

a

b

a

C

; b

C

A

B

Геометричний зміст коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Нормальне рівняння прямої

Якщо

обидві частини

рівняння

Ах

+ Ву + С = 0 поділити на

число

1

, яке називається нормуючим множником, то отримаємо:

A2 B 2

xcos + ysin

- p = 0 - нормальне рівняння прямої.

Знак

нормуючого множника необхідно обирати таким чином, щоб

С < 0;

р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а

- кут,

утворений цим перпендикуляром з додатнім напрямом осі Ох.

Кут між прямими на площині

Означення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут

між цими прямими буде визначатись як

tg

k2

k1

.

1 k1k2

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ж і С1 = С, то прямі співпадають.

Координати точки перетину двох прямих знаходяться як розв‟язок системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій

Означення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b зображується рівнянням:

y y	1	(x x )
1	k	1

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М(х0, у0), то відстань до прямої Ах + Ву + С

=0 визначається як

d

Ax0

By0 C

.

A2

B2

Приклади

1.

Задані вектори

(1; 2;

3),

(-1; 0; 3),

(2; 1; -1) і d (3; 2; 2) в деякому

a

b

с

базисі.

Показати, що вектори

,

і

утворюють базис і знайти координати

a

b

с

вектора d в цьому базисі.

Розв'язок. Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто, якщо рівняння, що входять в систему:

			2	0
		2	0	0	лінійно незалежні.
		3	3	0
Тоді d	a	b c .

Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відрізняється від нуля.

														1	1	2
														2	0	1	0 ;
														3	3	1
	1	2			0 1			2 1			2 0			3 ( 2 3) 12 4 0 ;
1
2	0 1									2
3	3	1			1	1		3	1		3	3
	a1	b1		c1		d1
	a2	b2		c2		d 2 .
	a3	b3		c3		d3

Для розв‟язання цієї системи скористаємося методом Крамера.

1 =	d1	b1	c1		3	1	2		0	1		2	1		2	0
	d2	b2	c2		2	0	1	3						2			3( 3) ( 2 2) 12	1.
	d3	b3	c3		2	3	1		3	1		2	1		2	3

			1				1/ 4			;
				a1			d1			c1				1		3	2
2 =				a2			d2			c2				2		2	1					(	2 2)		3(	2			3)		2(4					6)			4	15				4	7;
				a3			d3			c3				3		2	1
			2				7 / 4;
				a1			b1			d1				1		1	3
3 =				a2			b2			d2				2		0	2						6	(4	6)	18			10;
				a		3	b			d	3			3		3	2
							3
			3				5 / 2;
Отже, координати вектора d																							в базисі								:		d			{ -1/4, 7/4, 5/2}.
																										a	, b ,			с
																							-							2,						3,
			2. Знайти (5 a												+ 3 b )(2 a									b ), якщо				a					b						a	b.
Розв'язок.
																+								-						=			10					2	3				2	40	27 13, так як
			10 a				a -						5 a		b			6 a					b		3 b	b											a				b
									2													2
			a a					a					4, b b					b					9, a b 0 .
			3. Знайти кут між векторами a і b , якщо																													a				i		2 j		3k ,

b	6i	4 j	2k .

Тобто = (1, 2, 3), a

= 6 + 8 – 6 = 8: a b

	1 4 9	14;
a

b = (6, 4, -2)

		56 .
b	36 16 4

cos				=		8														8								4			2		;				arccos		2	.
																											14			7									7
					14						56					2				14			14
				4.							Знайти										скалярний												добуток								-
																																						(3 a				2 b ) (5 a		- 6 b ), якщо
				4,							6,												/ 3.
	a					b										а^ b
Розв'язок.																																							=
																			15 a						a - 18 a					b		- 10 a		b	+ 12 b			b
15				2																					2										1		+ 12 36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 =
			a		28					a	b			cos							12	b					15 16						28 4 6
																	3																		2
336.

, якщо

5. Знайти кут між векторами a

і b

a

3i

4 j

5k ,

b

4i

5 j

=(3, 4, 5),

=(4, 5, -3).

Розв'язок. Згідно умові, координати векторів: a

b

Отже,

a

b = 12 + 20 - 15 =17 :

9

16

25

50;

16 25

9

50 .

a

b

cos

=

17

17

;

arccos

17

.

50

50

50

50

5.

Знайти

скалярний

добуток

векторів

і

2a

3b

4c

5a

6b

3k .

, якщо

7c

a	1,	b		2,	c	3, a^ b a^ c b ^ c					.
										3

Розв'язок.

( 2a 3b 4c )( 5a 6b 7c ) = 10a a 12a b 14a c 15a b 18b b 21b c

=

20c a 24b c 28c c 10 a a 27a b 34a c 45b c 18b b 28c c

10 + 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

6. Знайти векторний добуток векторів a

2i

5 j

k

і b

i

2 j

3k .

Розв'язок.

Координати векторів:

= (2, 5, 1);

a

b = (1, 2, -3). Отримаємо:

i

j

k

5 1

2 1

2 5

a b

2 5 1

i

2

3

j

1

3

k

1 2

17i 7 j k .

1

2

3

7. Обчислити площу трикутника з вершинами А(2,2,2), В(4,0,3), С(0, 1, 0).

Розв'язок. Обчислимо координати векторів:

AC	(0	2;1	2;0	2)	( 2;	1; 2)
AB	(4	2;0	2;3	2)	(2;	2;1)

Векторний добуток цих векторів дорівнює:

				i		j	k							1		2				2	2				2	1
	AC	AB		2		1	2				i			2		1		j		2	1		k		2	2		i ( 1 4)	j ( 2 4) Згідно
				2		2	1
	k (4	2)			5i	2 j	6k .
властивості векторного добутку, маємо:
	AC	AB		25		4	36				65.

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, отже S 265 (ед2).

8. Обчислити суму векторів, їх скалярний добуток, а також проекцію вектора

b на вектор a : a

(1;4; 1), b

(3; 1;2).

Розв'язок.

a

b

(4;3;1);

a b

3 4

2

3;

a b

3

3

.

n р

b

a

a

1 16 1

18

9. Довести, що точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Розв'язок.

AB ( 2; 6;1)

Знайдемо координати векторів: AC (4; 3; 2)

AD ( 4; 2;2)

Знайдемо мішаний добуток отриманих векторів:

	2	6	1		2	6	1		0	6	1
AB AC AD	4	3	2		0	15	0		0	15	0	0 .
	4	2	2		0	10	0		0	10	0

Таким чином, отримані вище вектори компланарні, отже точки A, B, C і D лежать в одній площині.

10. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А(1, 2)

перпендикулярно вектору (3, -1). n

Розв'язок. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х – у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримаємо: 3 – 2 + C = 0, отже С = -1.

Шукане рівняння: 3х – у – 1 = 0.

11.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої

увідрізках.

	С = 1,	х		у	1	,	а = -1, b = 1.
		1	1

12. Дано загальне рівняння прямої 12х–5у –65 = 0. Потрібно записати різні типи рівнянь цієї прямої.

		12			х	5		у		1
	Рівняння цієї прямої у відрізках:		65			65					,
					х					y
											1
		(65 /12)						(		13)

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

	y		12	x	65		12	x 13.
		5			5	5

нормальне рівняння прямої:

			1				1	12			х	5			у 5 0 ; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
						13		13				13
	12		2	( 5)	2

13. Пряма відтинає на координатних осях рівні додатні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8 см2.

Розв'язок.

Рівняння прямої має вид:	x		y	1, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
	a		b

a = -4 не задовольняє умові задачі.

	Отже:	x		y		1 або х + у – 4 = 0.
	4		4
	14. Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
	Розв‟язок. k1					= -3; k2 = 2	tg =		(	3)		1; = /4.
								2
								1	(	3)2

15. Задані вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, яка проведена з вершини С.

Розв'язок. Знаходимо рівняння сторони АВ:

x	0		y 1			;	x y 1				; 4x = 6y – 6;
6	0		5	1			6		4
		2x – 3y + 3 = 0; y										2	x 1.
												3

Шукане рівняння висоти має вид: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

	k=	3	. Тоді y=	3	x b . Так як висота проходить через точку С, то її координати
		2		2
	задовольняють даному рівнянню: 1					3	12 b, звідки b=17. Отже:	y	3	x 17 або
						2			2

3x + 2y – 34 = 0.

16. Виходячи з рівняння прямої: -2x+8y+12=0, визначити відстань прямої від початку координат.

Розв'язок.

d

12

12

1,45.

8,25

2

2

8

2

Завдання

Векторна алгебра

В 1.

а) Обчислити об‟єм піраміди, побудованої на векторах:

ā = 2 i – 3 j + k ; b = -3 i + j – 2 k ; c = - i + k .

б) На

векторах

ā і b

побудований паралелограм. Визначити кут між

діагоналями

паралелограма:

ā = i -2 j +3 k ;

b

= 3 i - k .

В 2.

а) Визначити, чи компланарні вектори ā,

b та c :

ā = (-2; -4; -3); b

= (4; 3; 1); c = (6; 7; 4).

б) Визначити, при яких значеннях р вектори ā та

b будуть перпендикулярні:

ā = 2 i – j + p k ; b = i + 4 j + 5 k .

В 3. а) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах ā (2; -1; 1) та

b (1; 1; 4).

б) Заданий вектор AB координатами своїх кінців: A(1;-2); B(-4;3). Знайти

довжину та напрямні косинуса вектора AB .

В 4. а) Знайти об„єм піраміди, побудованої на векторах ā; b; c. a(1;1;0); b( 1;2;4); c( 2; 2;1).

б) Задані вектори ā = (-2;-1;3) та b ( 1;2;1).Знайти проекцію вектора ā на напрям вектора b.

В 5. а) Задані вектори ā = (3;2;4); b ( 1;2;2).Знайти координати векторного добутку: (a 2b) (3a b).

б)

Знайти

скалярний добуток

двох векторів

3

2b та 5

6b , якщо

a

a

6 , а кут між векторами

дорівнює

a

4,

b

a

i

b

3

В 6. а) Знайти об‟єм паралелепіпеда, побудованого на векторах AB, a, b, , якщо

А(6;4;0); В(-2;-1;0); ā(4;-2;2); b( 3;5;4).

б)

Знайти довжину діагоналей паралелограма,

побудованого

на

векторах

р 2i 4 j та

g

i 2 j.

Пряма на площині

1. Задані координати трьох точок А (х1, у1), В (х2, у2), С (х3, у3).

Скласти: а) рівняння прямої, яка проходить через точку

А (х1, у1) паралельно

вектору

BC ;

б)

рівняння прямої,

яка проходить

через

точку

В

(х2, у2)

перпендикулярно вектору AC ; в) рівняння прямої, яка проходить через точки А (х1,

у1) та В (х2, у2).
В. 1	А (1; 2),	В (-3; 4),	С (0; -7).	В. 4	А (0; 1),	В(2; 4),	С (-5; 1).
В. 2	А (-2; 0),	В (2; -5),	С (4; -1).	В. 5	А (9; 1),	В(-1; 2),	С (0; 4).
В. 3	А (4; -6),	В (0; -2),	С (10; 8).	В. 6	А (1; -3), В(-5; -2),		С (2; -4).
2. Визначити кут між двома прямими:
В. 1 5х – у + 2 = 0				В. 4 2х + 6у – 1 = 0
	2х + 3у – 1 = 0.				3х + у + 7 = 0.
В. 2 х + 7у – 3 = 0				В. 5 7х – 8у + 11 = 0
	5х + 2у + 11 = 0.				2х + у + 1 = 0.
В. 3	3х + 2у – 5 = 0			В. 6 9х – 4у – 6 = 0
	у – 6х + 1 = 0.				х + 8у + 4 = 0.
3. Визначити, які з поданих пар прямих паралельні, які перпендикулярні:
В. 1 3х – у + 5 = 0 та х + 3у – 1 = 0.				В. 4 у + 3 = 0 та 5у – 7 = 0.
В. 2 3х + 5у + 3 = 0 та 6х + 10у + 7 = 0. В. 5 2х – 1 = 0 та х + 3 = 0.
В. 3 6х–15у+7=0 та 10х+4у–3=0. В. 6 9х –12у +5 =0 та 8х + 6у –13 = 0.
4. Обчислити площу трикутника, який відсікає пряма						Ах + Ву + С = 0 від
координатного кута:

В. 1	2х – 6у + 12 = 0.	В. 4	8х – 3у + 24 = 0.
В. 2	3х + 8у – 24 = 0.	В. 5	2х + 7у – 28 = 0.
В. 3	х – 5у + 15 = 0.	В. 6	3х + 4у + 12 = 0.

5. Обчислити відстань від точки Р (х0,у0) до прямої Ах+Ву+С=0.

В. 1 Р (2; -5);		х – 2у – 7 = 0.	В. 4	Р (-2; 3);	3х – 4у – 2 =		0.
В. 2	Р (-5; 1);	2х + у + 3 = 0.	В. 5	Р (1; -2);	х –	2у – 5 = 0.
В. 3	Р (2; -1);	4х +3у + 10 = 0.		В. 6 Р (0; -3);		5х +12у+23=0.

Питання для самоконтролю

34.Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?

35.Які вектори називають рівними, колінеарними, компланарними?

36.Як визначається сума двох векторів, сума кількох векторів, різниця двох векторів, добуток вектора на число?

37.Сформулювати властивості лінійних операцій над векторами.

38.Що називається базисом на прямій, на площині, у просторі?

39.Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулювати та довести властивості проекцій.

40.Що називається напрямним вектором прямої?

41.Скласти рівняння прямої, яка проходить через задану точку паралельно заданому вектору.

42.Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої на площині.

43.Вивести рівняння прямої з коефіцієнтом та рівняння прямої, що проходить через дві точки.

44.Вивести рівняння прямої у відрізках та загальне рівняння прямої.

45. Довести, що всяке рівняння Ax By C 0 визначає на площині Оху пряму

лінію. Дослідити загальне рівняння прямої.

46.Як знайти кут між двома прямими? Сформулювати і записати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих.

47.Вивести формулу для знаходження відстані від точки до прямої.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №7

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати види та канонічні рівняння ліній другого порядку на площині: коло, парабола, еліпс,

гіпербола.

План заняття

1.Лінії другого порядку.

2.Канонічне рівняння кола.

3.Еліпс.

4.Гіпербола.

5.Парабола.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Рівняння лінії на площині Як відомо, довільна точка на площині визначається двома координатами в

деякій системі координат. Системи координат можуть бути різними в залежності від вибору базису і початку координат.

Означення. Рівнянням лінії називається співвідношення y=f(x) між координатами точок, що складають цю лінію.

Рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.

Наприклад – траєкторія рухомої точки. В цьому випадку роль параметра відіграє час.

Криві другого порядку

Крива другого порядку може бути задана рівнянням Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат (не обов‟язково декартова прямокутна), в якій дане рівняння може бути представлено в одному з видів, наведених нижче.

1)		x2		y 2	1 - рівняння еліпса.
		a2		b2
2)		x2		y 2	1 - рівняння “уявного” еліпса.
		a2		b2