Математика для економістів Ден.. 2010 ч

Метод полягає в тому, що шукана функція зображується у вигляді добутку

	двох функцій y uv .
	При цьому очевидно, що y u	dv	v	du	- диференціювання частинами.
		dx		dx

Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:

	u		dv		v	du			P(x)uv Q(x) ,
			dx			dx
	u	dv			v		du		P(x)u Q(x) .
		dx					dx

Так як функції u і v довільні, то можна одну із них вибрати так, що вираз

	du	P(x)u 0 .
	dx

Таким чином, можливо отримати функцію u, проінтегрувавши, отримане співвідношення як однорідне диференціальне рівняння за описаною вище схемою:

du

P(x)dx;

du

P(x)dx;

ln

u

P(x)dx;

u

u

P( x)dx ; C 1/ C1 ;

ln

C1

ln

u

P(x)dx;

u Ce

Для знаходження другої невідомої функції v підставимо отриманий вираз для

функції

u

в рівняння u

dv

v

du

P(x)u

Q(x) з

урахуванням того, що вираз у

dx

dx

дужках дорівнює нулю:

Сe

P( x)dx

dv

Q(x);

Cdv

Q(x)e

P( x)dx

dx;

dx

Інтегруючи, можемо знайти функцію v:

Cv Q(x)e

P( x)dx

dx C1 ;

v

1

Q(x)e

P( x)dx

dx C2

;

C

Тобто отримали другу складову добутку

y uv . Підставляючи отриманні

значення, отримаємо:

y uv Ce

P( x)dx 1

Q(x)e

P( x)dx

dx C2 .

C

Остаточно отримаємо формулу:

y

e

P( x)dx

Q(x)e P( x)dx dx C2 , С2 – довільний коефіцієнт.

Це співвідношення може вважатися розв‟язком неоднорідного лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді за методом Бернуллі.

Метод варіації довільної сталої Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:

y P(x) y Q(x) .

Перший крок даного методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем:

y P(x) y 0

Далі знаходиться розв‟язок отриманого однорідного диференціального рівняння:

y C1eP ( x)dx .

Для того, щоб знайти відповідні рішення неоднорідного диференціального рівняння, будемо вважати постійну С1 деякої функцією від х.

Тоді за правилами диференціювання добутку функцій отримаємо:

y	dy		dC1 (x)	e	P( x)dx	C1 (x)e	P( x)dx	( P(x)) .
	dx		dx

Підставимо отримане співвідношення в шукане рівняння:

dC1 (x)	e	P( x)dx	C1 (x)P(x)e	P( x)dx	P(x)C1 (x)e	P( x)dx	Q(x) ,
dx

dC1 (x) eP( x)dx Q(x);

dx

З цього рівняння визначимо змінну функцію С1(х):

dC1 (x) Q(x)e P ( x)dx dx;

Інтегруючи, отримаємо:

C1 Q(x)eP( x)dx dx C .

Підставляючи це значення в початкове рівняння, отримаємо:

y eP( x)dx Q(x)eP( x)dx dx C .

Таким чином, ми отримали результат, повністю співпадаючий з результатом розрахунку по методу Бернуллі.

Рівняння Бернуллі

F(x, y).

Означення. Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

y Py Q y n ,

де P і Q – функції від х або постійні числа, а n – постійне число, яке не дорівнює 1.

	Для розв‟язку рівняння Бернуллі застосовують підстановку z	1	, за
		y n 1

допомогою якої, рівняння Бернуллі зводиться до лінійного.

Для цього розділимо початкове рівняння на yn.

	y	P	1	Q;
	y n		y n 1

Примінимо підстановку, враховуючи, що

z	(n 1) y n 2				y		(n 1) y	.
	y 2n
			2				y n
			z		Pz	Q
		n	1

z (n 1)Pz (n 1)Q

Тобто отримали лінійне рівняння відносно невідомої функції z.

Розв'язок цього рівняння будемо шукати у вигляді:

z e	Pdx	P dx	dx C
		Q e 1
		1

Q	(n 1)Q;	P (n 1)P.
1		1
Рівняння в повних диференціалах

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку виду:

M (x, y)dx N(x, y)dy 0

називається рівнянням в повних диференціалах, якщо ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал деякої функції u

Інтегрування такого рівняння зводиться до знаходження функції u, після чого розв‟язок легко знаходиться у вигляді: du 0; u C.

Таким чином, для розв‟язку потрібно визначити:

1)в якому випадку ліва частина рівняння являє собою повний диференціал функції u;

2)як знайти цю функцію.

Якщо диференціальна форма M (x, y)dx N(x, y)dy					є повним диференціалом
деякої функції u, то можна записати:
	du M (x, y)dx N(x, y)dy		u	dx		u	dy.
			x			y
	u	M (x, y)
	x
Тобто		.
	u
		N (x, y)
	y

Знайдемо мішані похідні другого порядку, продиференціювавши перше рівняння по у, а друге – по х:

2u			M (x, y)
x	y		y
2u			N (x, y)
x	y		x

Прирівнюючи ліві частини рівнянь, отримаємо необхідну і достатню умову

того, що ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом. Ця умова також називається умовою тотальності:

M (x, y)		N (x, y)	.
y		x

Тепер розглянемо питання про відшукання функції u.

	Проінтегрувавши рівність	u	M (x, y) :
		x

u M (x, y)dx C( y).

Після інтегрування отримаємо не постійну величину С, а деяку функцію С(у),

так як при інтегруванні змінна у вважається постійним параметром.

Визначимо функцію С(у).

Продиференцюємо отриману рівність по у.

u	N(x, y)		M (x, y)dx C ( y).
y		y

Звідки отримаємо: C ( y) N(x, y)		M (x, y)dx.
	y

Для знаходження функції С(у) необхідно проінтегрувати наведене вище рівняння.

Визначимо функцію С(у):

C( y)	N (x, y)		M (x, y)dx dy C
		y

Підставляючи цей результат у вираз для функції u, отримаємо:

u M (x, y)dx N (x, y)		M (x, y)dx dy C.
	y

Тоді загальний інтеграл початкового диференціального рівняння буде мати вигляд:

M (x, y)dx N (x, y) y M (x, y)dx dy C.

Приклади

1. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння xy y 0.

Розв'язок. Загальний розв‟язок диференціального рівняння знаходиться за допомогою інтегрування лівої і правої частин рівняння, яке попередньо перетворимо наступним чином:

x dydx y 0 xdy ydx

dy dx

y x

Тепер інтегруємо:	dy		dx
	y		x

ln y	ln x	C0
ln y ln x		C0
ln xy	C0

xy eC0 C

yCx - це загальний розв‟язок заданого диференціального рівняння.

2.Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння: y y 0. Знайти особливий розв‟язок, якщо він існує.

	dy		y
	dx
dy			dx
	y
dy			dx
	y

ln y	x C
y	e x	eC
y	C	e x
	1

Дане диференціальне рівняння має також особливий розв‟язок у=0. Цей розв‟язок неможливо отримати із загального, однак при підстановці в задане рівняння отримаємо тотожність.

	3. Знайти загальний розв‟язок диференціального рівняння:				yy	2x
						cos y
	Розв'язок.	y cos y	dy	2x
			dx

y cos ydy 2xdx

y cos ydy 2xdx

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, інтегрується частинами:

	y cos ydy	u	y; dv	cos ydy;		y sin y	sin ydy y sin y cos y
		du	dy; v	sin y
			y sin y		cos y	x 2	C
			y sin y		cos y	x 2 C	0

- це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння, так як шукана функція і не виражена через незалежну змінну. В цьому і полягає відмінність

загального (частинного) інтеграла від загального (частинного) розв’язку.

3. Знайти розв‟язок диференціального рівняння

y

ln y за умови у(2) = 1.

y

Розв'язок.

ydx

ln y

dy

dx

ln ydy

y

dx

ln ydy

y

x

C

ln yd(ln y)

x

C

ln2 y

2

за умови у(2) = 1 отримаємо 2

C

ln2 1

;

2

C 0;

C 2;

2

Отже: 2(x 2) ln2 y; або y

e

2 x 4

- частинний розв‟язок.

4. Розв‟язати рівняння

y

y 2 3 .

Розв'язок.

dy

y

2

3

dx

y 23 dy

dx

y 2 3 dy

dx

3y 13

x C

27y

(x

C)3 - загальний інтеграл

y

1

(x

C)3

- загальний розв‟язок.

27

5. Перевірити функцію на однорідність:

f (x, y)

x3 3x 2 y .

Розв'язок.

f (tx, ty) (tx)3

3(tx)2 ty t 3 x3 3t 3 x 2 y t 3 (x3

3x 2 y) t 3 f (x, y)

Таким чином, функція f(x, y) є однорідною 3- го порядку.

6. Розв‟язати рівняння y

y

ln

y

1 .

x

x

Розв'язок. Введемо допоміжну функцію u.

u

y

;

y ux;

y u x u .

x

Підставляємо в задане рівняння:

u x u u(lnu 1);

u x

u

u lnu

u;

u x u lnu;

Розділимо змінні:

du

dx

;

du

dx

;

u ln u

x

u ln u

x

eCx ;

Інтегруючи, отримаємо: ln

ln u

ln

x

C;

ln u

Cx;

u

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримаємо загальний розв‟язок:

yxeCx .

7.Розв‟язати рівняння (x 2y 3)dy (2x y 1)dx 0.

Розв'язок. Виконаємо наступні перетворення

(x 2 y 3)

dy

2x y 1;

dy

2x y 1

;

dx

dx

x

2 y

3

Знаходимо значення визначника

2

1

4

1

5

0 .

1

2

Розв‟язуємо систему рівнянь

2x

y

1

0;

y

1

2x

;

x 1/ 5;

x 2 y 3 0

x 2 4x 3 0

y 7 / 5

Застосуємо підстановку x

u

1/ 5;

y

v

7 / 5; підставимо в задане рівняння:

(u

1/ 5 2v

14/ 5

3)dv

(2u

2 / 5

v

7 / 5

1)du

0;

(u

2v)dv (2u

v)du

0;

dv

2u

v

2

v / u

;

du

2v

u

2v / u

1

Замінимо змінну

v

t;

v

ut;

v

t u

t; при підстановці у вираз, записаний

u

вище, маємо:

t u

t

2

t

2t

1

Розділимо змінні:

dt

u

2

t

t

2

t

2t 2

t

2(1

t

t 2 )

;

du

2t

1

2t

1

2t

1

du

1

1

2t

dt;

du

1

(1

2t)dt

;

u

2 1 t t 2

u

2 1 t t 2

1

t 2

ln1

t

ln

u

ln C

2

1

t 2

ln1

t

2 ln

C u

1

ln1

t

t

2

ln

C2

;

1

t

t

2

C2

;

u

2

u 2

Переходимо тепер до початкової функції у і змінної х.

t

v

y 7 / 5 5y 7

; u x 1/ 5;

u

x

1/ 5

5x

1

1

5y

7

5y

7

2

25C2

;

5x 1

5x 1

(5x 1)2

(5x

1)2

(5 y

7)(5x

1)

(5 y

7)2

25C2

25x 2

10x 1

25xy

5 y

35x

7

25y 2

70y

49

25C2

25x 2

25x

25xy

75y

25y 2

25C2

49

1

7

x2

x xy 3y y 2

C2

55

C;

25

Отже,

вираз

x 2 x

xy

3y

y 2

C

є

загальним інтегралом

заданого

диференціального рівняння.

8. Розв‟язати рівняння xy

4 y

x2

y.

Розв'язок. Розділимо обидві частини рівняння на x

y.

1

dy

4

y

x.

y dx

x

Покладемо z

1

y; z

y ;

y 2

y z ;

2

y

1

4

z x;

dz 2z

x

2 y z

;

y

x

dx x

2

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Розглянемо відповідне йому лінійне однорідне рівняння:

dz

2z

0;

dz

2z

;

dz 2dx

;

dx

x

dx

x

z

x

dz

2

dx

C ;

ln z

2 ln x

ln C;

z

Cx 2 ;

z

x

1

Вважатимемо, що C=C(x) і підставляємо отриманий результат в лінійне неоднорідне рівняння, з урахуванням того, що

dz

2xC(x) x

2

dC(x)

;

dx

dx

2xC(x) x

2 dC(x) 2x2C(x)

x

;

dx

x

2

dC(x)

1

;

C(x)

1

ln x C2 ;

dx

2

2x

	Отримаємо: z x2 C2	1	ln x ;
		2

Застосовуючи зворотну підстановку, отримаємо кінцеву відповідь:

			2
	y x 4 C			1	ln x
		2	2
	9. Розв‟язати рівняння (3x 2 10xy)dx		(5x 2 1)dy 0

Розв'язок. Перевіримо умову тотальності:

M (x, y)		(3x 2 10xy)	10x;	N (x, y)		(5x2 1)	10x.
y		y		x		x

Умова тотальності виконується, отже, диференціальне рівняння є рівнянням в повних диференціалах.

Визначимо функцію u.

u	M (x, y)dx C( y)				(3x2	10xy)dx C( y) x3 5x2 y C( y);
		u		5x2 C ( y) N (x, y) 5x2 1;
		y
	C ( y)				1; C( y)	( 1)dy y C1 ;
Отже, u x3 5x 2 y	y C .
	1

Знаходимо загальний інтеграл заданого диференціального рівняння:

u x3	5x	2 y y C С		;.
		1	2
x3	5x 2 y y C.

Завдання

1. Розв‟язати диференціальне рівняння:

а) xy'

y y2

y 1 2 ;

б)

dy

y

x

; в)

y' 3y e 2 x ;

dx x

y

г) y'

yx

exp(

x2 / 2) ; д)

x2 dy

(xy y 2 )dx .

2.Знайти частинний розв‟язок рівняння, , який задовольняє початкову умову:

а) xy'

1

y 2 , y(1)=0; б) yy'

x

0

, y

x 0

1, в) y'

1

y2

, y(0)=1;

1

x2

1

2x4 , у(2)=8.

г) y

xy'

, y(1)

5 ; д) xy'

2 y

y

Питання для самоконтролю

11.Яке диференціальне рівняння називається звичайним?

12.Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

13.Що називається розв‟язком диференціального рівняння?

14.Дати означення загального та частинного розв‟язків диференціального рівняння першого порядку.