Математика для економістів Ден.. 2010 ч

3 x 1

4 x 1

dx

12 x 1 t; x 1 t12 ;

(x

1) 1

6 x

1

dx

12t11dt;

12

t 3

dt

t 2

dt

12

t

t

dt

t 2

1

t 2

1

t 2 1

12

dt

6t 2

12t

6 ln(t 2 1)

12arctgt

C

1 t 2

12arctg12 x

1

C.

Інтеграли виду

(t 4

t 3 )12t11dt

12

t 3

t 2

dt

t12 (1

t 2 )

t 2

1

1

1

dt

12 tdt 12

tdt

12 dt

t 2

1

t 2

1

66

x

1

1212 x

1 6 ln(6

x

1

1)

R x, ax2 bx c dx .

Існує декілька способів інтегрування такого роду функцій. В залежності від виду виразу, що стоїть під знаком кореня, обирають той чи інший спосіб.

Як відомо, квадратний трьохчлен шляхом виділення повного квадрату може бути зведений до вигляду:

u2 m2 .

Таким чином, інтеграл зводиться до одного з трьох видів:

1)R(u, m2 u 2

2)R(u, m2 u 2

3)R(u, u 2 m2

)du;

)du;

)du;

1 спосіб. Тригонометрична підстановка.

Теорема. Інтеграл виду R(u, m2 u 2 )du підстановкою u msint або u mcost

зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно sin x або cos x (див.

приклади)

Теорема. Інтеграл виду R(u, m2 u 2 )du підстановкою u mtgt або u mctgt

зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно sin x і cos x .

Наприклад.

x

atgt; dx

a

dt;

cos3 tdt

1 (1 sin2 t)d sin t

dx

cos2 t

a costdt

a

cos2 ta4tg 4ta

a 4 sin4 t

a 4

sin4 t

x 4 a 2 x 2

2

2

a

x

;

cost

1

1

C

sin t

1

a 2

x

(a 2

x 2 )3 / 2

a 2 x 2

C.

3a 4 sin3 t

a 4 sin t

a 2

x 2

a 2 x 2

3a 4 x3

a 4 x

m

m

Теорема. Інтеграл виду

R(u,

u 2

m2 )du підстановкою u

або u

sin t

cost

зводиться до інтегралу від раціональної функції відносно sint або cost .

Наприклад.

dx

x

2

; dx

2 sin t

dt;

2 sin t costdt

1

cos2 t

ctg 4tdt

cost

x(x 2

4)5 / 2

cos2

t

2

25 tg 5t

32

x 2

4

2tgt;

1

ctg 2t

1

1 dt

1

ctg 2td (ctgt)

1

ctg 2tdt

1

ctg 3t

1

1

1 dt

32

sin2

32

32

96

32

sin2

t

t

1

ctg 3t

1

ctgt

t

C

ctgt

2

1

1

96

32

32

12(x 2

4)3 / 2

x 2

4

16

x 2

4

1

arccos

2

C.

32

x

2 спосіб. Підстановки Ейлера.

1) Якщо а>0, то інтеграл виду

R(x,

ax2

bx

c )dx раціоналізується підстановкою

ax2

bx

c

t

x

a .

2) Якщо a<0 і c>0, то інтеграл

виду

R(x,

ax2

bx

c )dx раціоналізується

ax2

підстановкою

bx

c

tx

c .

3) Якщо a<0 , а підкорений вираз розкладається на дійсні множники a(x–x1)(x–x2),

то

інтеграл

виду

R(x, ax2

bx

c )dx

раціоналізується

підстановкою

ax2

bx c t(x

x ) .

1

3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

P(x)dx

dx

I.

;

II . P(x)

ax2

bx cdx;

III .

;

ax2

(x )n ax2

bx c

bx c

де P(x) – многочлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко зведені до виду інтегралу

I типу.

Надалі виконується наступне перетворення:

	P(x)dx						dx
			Q(x) ax2 bx c						;
	ax2 bx c						ax2 bx c

в цьому виразу Q(x) - деякий многочлен, степінь якого нижче степеня многочлена

P(x), а - деяка постійна величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), степінь якого нижче степеня многочлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на ax2 bx c і, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, визначають і коефіцієнти многочлена Q(x).

Приклади

Обчислити інтеграли: 1.

(x

2

2sin x

1)dx

x

2

dx

2

sin xdx

dx

1

x

3

2cos x

x

C;

3

2. x2

sin xdx

u

x2 ; dv

sin xdx;

x

2 cos x

cos x

2xdx

du

2xdx;

v

cos x

u

x; dv

cos xdx;

x2

cos x 2 x sin x

sin xdx

x2 cos x 2x sin x 2 cos x C. 3.

du

dx;

v

sin x

e2 x cos xdx

u e2 x ; du 2e2 x dx;

e2 x

sin x

sin x

2e2 x dx

dv

cos xdx;

v

sin x

u e2 x ; du 2e2 x dx;

e2 x sin x

2

e2 x cos x

cos x

2e2 x dx e2 x sin x

dv

sin xdx;

v

cos x;

2e2 x cos x

4

cos xe2 x dx

5 e2 x cos xdx

e2 x (sin x

2 cos x)

e2 x cos xdx

e2 x

(sin x 2 cos x)

C.

5

4.

u

x 2 ;

dv

e5 x dx;

1

1

x 2 e5 x

2

x

2

e

5 x

dx

e

5 x

e

5 x

x

2

e

5 x

2xdx

xe

5 x

dx

du

2xdx;

v

;

5

5

5

5

5

u

x;

dv

e5 x dx;

x 2 e5 x

2 xe5 x

1

x 2 e5 x 2xe5 x

2

1

e

5 x

dx

e

5 x

dx

e5 x

du dx; v

;

5

5 5

5

5

25

25

5

x 2 e5 x

2xe5 x

2e5 x

e5 x

x 2

2x

2

.

5

25

125

5

5

25

5.

dx

dx

dx d (x 1)

d (x 1)

x 1 t

x2

2x 8

x2

2x 1 9

9 (x 1)2

dt

arcsin

t

C

arcsin

x 1

C.

32

t 2

3

3

6.

u

ln x;

dv

1

dx;

ln x

x3

ln x

1

1

ln x

1 dx

ln x

dx

dx

x3

1

1

2x 2

2x 2

x

2x 2

2 x3

2x 2

du

dx;

v

;

7.

x

2x 2

1

1

x 2

C

ln x

1

C.

2

2

2x 2

4x 2

u

ln x;

dv

xdx;

x 2

x 2

1

x 2

ln x 1

x 2 ln x x 2

x ln xdx

dx

xdx

C

1

x

2

ln x

du

dx; v

;

2

2 x

2

2

2

4

8.

x

2

x 2

(2 ln x

1)

C.

4

dx

dt

1

1

2tdt

dt

C. 9.

x

t;

2

2arctgt

C 2arctg x

dx

2t

(t 2

1)t

t 2

1

(x

1) x

2

x

dx

dx

1

dx

1

arctg

x

3

C.

x2

6x 25

(x 3)2

16 16

x 3

2

16

4

1

4

10.

5x

3

dx

5x 3

dx

u

x

3;

du

dx;

5u

15

3

du

5

udu

x2

(x 3)2

x u 3;

u 2

u 2 49

6x 40

49

49

11.

18

du

5

ln

u 2

49

18

ln

u

7

C

5

ln

x2

6x 40

9

ln

x

4

C.

u 2

49 2

14

u 7

2

7

x 10

3x 4

dx

3x 4

dx

u

x 3;

du

dx;

3u 9 4

du

x u 3;

7 x 2

6x

16 (x 3)2

16 u 2

udu

du

13arcsin

u

3

13

3

16

u 2

C

16

u 2

16

u 2

4

13arcsin

x

3

3

7

x 2

6x

C.

4

12.

		3x		5			dx
(x 2			4x 7)2
3			udu			11
		(u 2		3)2
3				11u
	2t			6(u 2		3)
				3
	2(x 2			4x		7)

							3x			5						dx				u	x			2;			du		dx;		3u		6	5		du
			((x					2)2		3)2										x	u			2;							(u 2		3)2
			du								t				u 2			3;			3			dt			11			u			1			du
(u 2							3)2				dt					2udu;					2			t 2				3	2(u 2 3)				3 2		u 2 3		13.
11							arctg			u					C
6			3							3
			11(x					2)								11				arctg		x		2			C.
		6(x 2						4x		7)
																6 3								3

	6x5 8x4	25x3	20x2	76x 7	dx
	3x3	4x2	17x	6

Так як дріб неправильний, то попередньо необхідно виділити цілу частину:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 25x 25

20x2 – 25x – 25

4x2

5x 5

2

2x

2

3

dx

2x

2

dx 3dx 5

dx

x

3

3x

3x3

4x2

17x 6

3x3 4x2

17x 6

3

5

4x2

5x

5

dx

3x3

4x2

17x 6

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3

знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:

		3x3 – 4x2 – 17x + 6								x - 3
	3x3 – 9x2									3x2 + 5x - 2
				5x2 – 17x

5x2 – 15x

- 2x + 6 -2x + 6 0

Таким чином 3x3–4x2 –17x+6 =(x–3)(3x2 +5x–2)=(x–3)(x+2)(3x–1). Тоді:

4x 2

5x

5

A

B

C

,

(x

3)(x

2)(3x

1)

x 3

x 2

3x

1

A(x 2)(3x

1) B(x

3)(3x 1)

C(x

3)(x

2)

4x 2 5x 5 ,

Для того, щоб обійти при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групіровки і розв‟язку системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитись достатньо великою) застосовують так званий метод довільних значень.

Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято в якості довільних значень брати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, -2, 1/3. Отримаємо:

40A	16	A	2 / 5
35B	21	B	3 / 5
C 1		C	1

Остаточно отримаємо:

6x5

8x4

25x3

20x2

76x 7

dx =

2

x3

3x 3

dx

2

dx

5

dx

3x3 4x2

17x 6

3

x 2

x 3

3x 1

2

x

3

3x 3ln

x 2

2 ln

x 3

5

ln

3x 1

C.

3

3

3x4

14x2

14.

7x

15

dx

A

dx

Bx

C

dx

Dx

E

dx

(x 3)(x2

2)2

(x2

2)2

x2

x

3

2

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

A(x 2

2)2

(Bx

C)(x

3)

(Dx

E)(x

3)(x 2

2)

3x 4

14x 2 7x

15

D

A

3

Ax 4

4Ax 2

4A

Bx 2

3Bx

Cx

3C

Dx 4

2Dx 2 3Dx3

6Dx

Ex3

3D

E

0

2Ex 3Ex 2

6E (D A)x 4

(3D E)x3

( A B 2D 3E 4A)x 2

B 2D 3E 4 A 14

(3B C 6D 2E)x (2A 3C 6E 4 A)

3B C 6D 2E 7

3C

6E

4A 15

D

3

A

E

9

3A

B

6

2 A

27

9 A

4 A

14

3B

C

18

6 A 18

6 A

7

3C 54 18A

4 A

15

D

3

A

D

3

A

A

3

E

9

3A

E

9

3A

B

2

B 11A

35

11A

35

B

C

1 .

3B

C

7

C

7

3B

D

0

3C 22A 69

21

9B

70

2B

69

E

0

Тоді значення заданого інтегралу:

3

dx

2x

1

dx 3

dx

2

x

dx

dx

3ln

x 3

1

x 3

(x 2

2)2

x 3

(x 2

2)2

(x 2

2)2

x 2

2

x

1

arctg

x

C.

4(x 2

2)

4 2

2

3x3

7x 2

1

dx

15.

dx

( Ax 2

Bx

C)

x 2

2x

5

.

x 2 2x 5

x 2

2x

5

Тепер продиференцюємо отриманий вираз, помножимо на

ax2

bx

c

і зведемо

коефіцієнти при однакових степенях х.

3x3

7x2

1

Ax 2

Bx C

(x 1)

(2Ax B) x2

2x 5

x2

x2

x2

2x 5

2x 5

2x 5

(2 Ax B)(x 2

2x 5) ( Ax 2

Bx C)(x 1)

= 3x3

7x2 1

2Ax3

4Ax2

10Ax

Bx2

2Bx

5B

Ax3

Bx2

Cx

Ax2

Bx

C

=

3x3

7x2 1

3Ax 3

(5A

2B)x 2

(10A

3B

C)x

5B

C

3x3

7x 2

1

A 1

A

1

5A 2B 7

B

1

10A

3B

C

0

C

13

5B

C

1

7

3x3

7x2

1

dx

Отже

dx

(x2

x

13)

x2

2x

5

7

=

x2

1)2

2x

5

(x

4

= (x2

x

13)

x2

2x 5

7 ln(x

1

x2

2x

5)

C.

dx

x

2

; dx

2 sin t

dt;

2 sin t costdt

1

cost

cos2 t

ctg 4tdt

x(x 2

4)5 / 2

cos2 t 2

25 tg 5t

32

x 2

4

2tgt;

1

ctg

2t

1

1 dt

1

ctg 2td (ctgt)

1

ctg 2tdt

1

ctg 3t

1

1

1 dt

16.

32

sin2

32

32

96

32

sin2 t

17.

t

1

ctg 3t

1

ctgt

t

C

ctgt

2

1

1

96

32

32

12(x 2 4)3 / 2

x 2

4

16

x 2

4

1

arccos

2

C.

32

x

x

atgt; dx

a

dt;

cos3 tdt

sin2 t)d sin t

dx

cos2 t

a costdt

1

(1

a

cos2

ta4tg 4ta

a 4 sin4 t

a 4

sin4 t

x 4

a 2

x 2

a

2

x

2

;

18.

cost

1

1

a 2

x

(a 2

x 2 )3 / 2

a 2

x 2

C

sin t

1

C.

3a 4 sin3 t

a 4

a 2

x 2

3a 4 x3

a 4 x

sin t

a 2

x 2

x

a sin t;

a 2

a 2

x2 dx

a 2

a 2 sin2 ta costdt

a 2 cos2 tdt

(1

cos2t)dt

dx

a costdt

2

a 2t

a 2

a 2t

a 2

a 2

x

x

sin 2t

C

sin t cost

C

arcsin

a 2

x 2

C.

2

4

2

2

2

a

2

19.

12 x 1 t; x 1 t12 ;

3 x 1

4 x 1

dx

6

12t11dt;

(x

1) 1

x 1

dx

12

t 3

dt

t 2

dt

12

t

t

dt

t 2

1

t 2

1

t 2 1

12

dt

6t 2

12t

6 ln(t 2 1)

12arctgt

C

1 t 2

12arctg12 x

1

C.

	(t 4				t 3 )12t11dt					12		t 3	t 2	dt
		t12 (1						t 2 )				t 2	1
1					1			dt		12 tdt 12					tdt			12 dt
																			20.
			t	2										t	2
							1										1
66		x			1		1212 x			1 6 ln(6			x		1		1)

dx

2dx

dx

2t 3 dt

t 2 dt

4 1

2x

t;

dt

;

2

3

2t 3

t 2

t 1

1 2x 4 1 2x

t

4 4 1 2x

2

t

t

dt

2 tdt

2

t

dt

t

2 2

1

1

dt

t 2

2t

2 ln

t

1

C

t

1

t

1

t

1

21.

1 2x 24 1 2x 2 ln

4 1 2x 1

C.

dx

2dt

2

dt

2

dt

9

8 cos x

sin x

(1

t 2 ) 9

8(1

t 2 )

2t

t 2

2t 17

(t

1)2

16

1

t 2

1

t 2

Завдання

tg

x

1

1

t

1

1

arctg

C

arctg

2

C.

2

4

2

4

Невизначений інтеграл

1. Знайти інтеграли для заданих функцій:

	В. 1																В. 2
	1.	y	3 2x 1;												1. y x x 1 ;
	2.	y	sin5x;												2.	y		cos2x;
	3.	y	1					.							3.	y						1								.
			x2			3
																					3 x 2
	В. 3																В. 4
	1.														1.	y e 2 x ;
		y	4 2 x;
	2.	y	sin 2x 1 ;												2.	y	cos						1				x 3 ;
																						2
	3.	y	1											.	3.	y	1									.
																		x2				3
					3 x 2
	В. 5																В. 6
																y 5 4 x ;
	1.	y x5				x 1 ;									1.
	2.	y e3 x ;													2.
																y				2 3x;
	3.	y	1										.		3.	y	1										.
																		x2				4
					x 2	3

Методи інтегрування (підведення функції під знак диференціала; зміна змінної; інтегрування частинами)

2. Знайти інтеграли для заданих функцій:

В. 1

В. 2

1.

y

e3 cos x

sin x;

1.

y

ln t

4

;

t

2.

y

1

;

2.

y

x

;

x

2x 9

x4

1

3.

y

ln x .

3.

y

arctgx.

В. 3

В. 4

1.

y

x2

3x 1 10

2x 3 ;

1.

y

1

;

x ln x

2.

y

e

2 x

;

2.

y

e 2 x

;

e 4 x

5

e 4 x

5

3.

y

x

sin x .

3.

y

x

ln x.

В. 5

В. 6

1.

y

sin x

cos ;

1.

y

cos sin x cos x;

2ln x

3 3

2.

y

;

2.

y

x2

x3

5;

x

3.

y

arcsin x .

3.

y

x

ex .

Інтегрування раціональних дробів

3. Знайти інтеграли для даних функцій:

В. 1

В. 2

1.

y

1

;

1.

y

1

;

x2

6x 25

x2

6x 25

2.

y

1

;

2.

y

1

;

x 1 x 2 x 3

x x 1 x 1

3.

y

x

.

3.

y

x2

.

x

1

x

1

В. 3

В. 4

1.

y

3

;

1.

y

1

;

2x2

x

6x x2

25

2.

y

1

;

2.

y

1

;

x x 1 x 2

x 1 x 2 x 3