Математика для економістів Ден.. 2010 ч

3)	x2		y 2	1 - рівняння гіперболи.
	a2		b2

4)a2x2 – c2y2 = 0 – рівняння двох прямих, які перетинаються.

5)y2 = 2px – рівняння параболи.

6)y2 – a2 = 0 – рівняння двох паралельних прямих.

7)y2 + a2 = 0 – рівняння двох “уявних” паралельних прямих.

8)y2 = 0 – пара співпадаючих прямих.

9)(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – рівняння кола.

Коло

Означення. Колом називається геометричне місце точок, які віддалені на відстань R від фіксованої точки С, що називається центром.

Рівняння кола: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 .

У кола (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр має координати (a; b).

Еліпс

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Канонічне рівняння еліпса:	x2		y 2	1.
	a2		b2

у

М

	r1
		r2
F1	O	F2	х

F1, F2 – фокуси; F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина відстані між фокусами; a – більша піввісь;

b – мала піввісь.

Теорема. Фокусна відстань і півосі еліпса пов’язані співвідношенням:

a2 = b2 + c2.

Означення. Форма еліпса визначається характеристикою, яка є відношенням фокусної відстані до більшої осі і називається ексцентриситетом.

c/a .

Так як с < a, то < 1.

Якщо a = b (c = 0, e = 0), то еліпс перетворюється в коло.

Якщо для точки М(х1, у1) виконується умова:					x2		y 2
					a2		b2 1, то вона знаходиться
					1	1
всередині еліпса, а якщо	x2		y 2
	a2		b2 1, то точка знаходиться поза еліпсом.
	1	1

Теорема. Для довільної точки М(х, у), яка належить еліпсу мають місце співвідношення:

r1 = a – x, r2 = a + x.

Зеліпсом пов‟язані дві прямі, які називаються директрисами. Їх рівняння:

x= a/ ; x = -a/ .

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно і достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету .

Гіпербола

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох фіксованих точок, що називаються фокусами є

величина стала і менша відстані між фокусами.

y

M(x, y)

b

r1

r2

x

F1

a

F2

c

Згідно означенню r1–r2 = 2a. F1, F2 – фокуси гіперболи. F1F2=2c.

Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

r

(x

c)2

y 2

1

r

(x

c)2

y 2

2

(x c)2

y 2

(x c)2

y 2

2a

(x c)2

y 2

4a2

4a (x c)2

y 2

(x c)2 y 2

4a (x c)2

y 2

4a2

4xc

a 2 (x c)2

a 2 y 2

a 4

2a 2 xc x 2 c 2

a 2 x 2

2a 2 xc a 2 c 2

a 2 y 2

a 4

2a 2 xc x 2 c 2

a 2 x 2

a 2 c 2

a 2 y 2

a 4

x 2 c 2

0

x 2 (c 2

a 2 ) a 2 (c 2

a 2 ) a 2 y 2

0

x 2 (c 2 a 2 ) a 2 y 2

a 2 (c 2

a 2 )

позначимо с2 – а2 = b2 (геометрично ця величина – менша піввісь)

a 2b2		b2 x 2 a 2 y 2
	x2		y 2	1.
	a2		b2

Отримали канонічне рівняння гіперболи.

Гіпербола симетрична відносно середини відрізка, що поєднує фокуси і відносно осей координат.

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи.

Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

	Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких y			b	x.
				a
	Означення. Відношення	c	1 називається ексцентриситетом гіперболи,
		a
	де с – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.
	Означення. Дві прямі, що		перпендикулярні дійсній осі гіперболи і

розташовані симетрично	відносно центру на відстані a / від нього, називаються
директрисами гіперболи.	Їх рівняння: x	a .

	Отже:	x2		y 2	1 - шукане рівняння гіперболи.
		4	12

Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від фіксованої точки, яка називається фокусом, і

від фіксованої прямої, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Розмістимо початок координат посередині між фокусом і директрисою.

Величина р (відстань від фокуса до директриси) називається параметром

параболи. Знайдемо канонічне рівняння параболи:

	у
А	М(х, у)

О

F

x

p/2 p/2

Із геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px – рівняння параболи.

Рівняння директриси: x = -p/2.

Приклади

1. Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задано і вигляді: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Розв'язок. Для знаходження координат центра і радіуса кола дане рівняння необхідно привести до канонічного вигляду. Для цього виділимо повні квадрати:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Звідси знаходимо О(2; -5/4); R = 11/4.

2. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), більша вісь дорівнює 2.

Розв'язок. Рівняння еліпса має вигляд:

x2

y 2

1. Відстань між фокусами:

a2

b2

, таким чином, a2 – b2 = c2 = ½,

2c =

0)2 (1

0)2

(1

2

згідно умові 2а = 2, звідки а = 1, b = a 2 c 2

1 1/ 2

2 / 2.

Отже:

x2

y 2

1.

12

1/ 2

3. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси

співпадають з фокусами еліпса з рівнянням

x2

y 2

1.

25

9

Розв'язок. Знаходимо фокусну відстань c2 = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2 = 16, =c/a = 2;

c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4;

b2 = 16 – 4 = 12.

4. На параболі у2 = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

Розв'язок.	З рівняння параболи отримаємо, що р = 4.
						r = x + p/2 = 4; отже:
						x = 2; y2 = 16;			y = 4.
Шукані точки: M1(2; 4),					M2(2; -4).
5. Приведіть рівняння ліній до канонічного вигляду, визначте тип лінії.
Збудуйте лінію.
а) 16x2 9 y2 64x			54 y 161 0 ,
Розв'язок.	16 x2	4x		9 y2		6 y	161	0 ,
16 x2	4x	4	4	9 y2		6 y	9 9	161	0 ,
16 x	2 2	64	9 y		3 2	81	161	0 ,

16 x 2 2				9 y	3 2		144,
	x	2 2		y 3	2	1 (гіпербола),
		9		16
O1 2; 3		– центр гіперболи					a 3, b 4 – півосі гіперболи.

Y

2

	2
б) x 2		4		y2	4 y ,
	3
					2						2
Розв'язок.		x		2 2					4 y2	4 y	,
					3

x2

x2

2

2

	4		4	y	2	4 y		4 4 ,
9
4			y	2	2		32	,
9						9

	x 2 2				y 2	2	1 – це рівняння еліпса.
		32		8
	9
	O 2; 2								4 2
				– центр еліпса ,				a				, b 2 2 – півосі еліпса.
	1								3
												Завдання

1.Які з наведених рівнянь визначають кола?

Знайти центр С та радіус R кола, побудувати його.

В. 1 х2 + у2 – 10х + 4у + 4 = 0.

В. 4 х2 + у2 + х = 0.

В. 2	х2 + у2 – 10х + 4у + 29 = 0.	В. 5	х2 + у2 – 10у + 20 = 0.
В. 3	х2 + у2 + 4х – 60 = 0.	В. 6 х2 + у2 – 2х +4у +14 = 0.

2.Заданий еліпс.

Знайти: 1) його півосі; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння директрис; 5)

побудувати його.

В. 1	4х2	+ 9у2 = 25.	В. 4	х2	+ 15у2 = 15.
В. 2	25х2	+ 9у2 = 1.	В. 5	25х2	+ у2	= 50.
В. 3	9х2	+ у2 = 1.	В. 6	9х2	+ 5у2	= 45.

3. Задана гіпербола.

Знайти: 1) півосі а та b ; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5)

рівняння директрис; 6) побудувати гіперболу.
В. 1	9х2	– 64у2 = 1.			В. 4	4х2 – 9у2		= 36.
В. 2	4х2	–	9у2	= 25.	В. 5	х2	– у2	= 1.
В. 3	х2	–	4у2	= 16.	В. 6	х2	– 16у2 = 16.

4. Встановити, що кожне		з наведених рівнянь визначає параболу; знайти
координати її вершини А та параметри. Побудувати параболу.
В. 1	у2 + х – 2у – 1 = 0.	В. 4 у2 + 4х – 4у = 0.
В. 2 4х2 – 8х – у – 7 = 0.		В. 5 2у2 – х – 12у + 14 = 0.
В. 3	х2 + 4х – 4у + 8 = 0.	В. 6 - х2 + 12х – 6у – 42 = 0.

	Питання для самоконтролю
1.	Що називається лінією другого порядку?
2.	Що називається колом?	Вивести рівняння кола з центром у точці
M 0 x0 ; y0 .
3.	Що називається еліпсом?	Вивести канонічне рівняння еліпса.
4.	Дослідити форму еліпса, відповідно		канонічним рівнянням, та

побудувати його.

5.Що називається гіперболою? Вивести канонічне рівняння гіперболи.

6.Дослідити форму гіперболи, відповідно канонічним рівнянням, та побудувати її.

7.Що називається параболою? Вивести канонічне рівняння параболи.

Література [1,2,4]

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №8

Тема 4. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

Мета заняття. Вивчення теми надасть студентам можливість знати канонічне рівняння прямої в просторі, рівняння площини, вміти визначати кут між прямими в просторі, взаємне розташування прямої і площини, умови паралельності і перпендикулярності прямих у просторі, площин та прямої і площини.

План заняття

1.Означення площини, види рівнянь площини.

2.Відстань від точки до площини.

3.Кут між площинами.

4.Пряма у просторі, види рівнянь прямої у просторі.

5.Кут між прямими у просторі.

6.Взаємне розташування прямої і площини у просторі.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Загальне рівняння площини

Означення. Площиною називається поверхня, усі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

				- вектор нормалі до площини.
де А, В, С – координати вектора N Ai		Bj	Ck
	Можливі наступні випадки:
А = 0	– площина паралельна осі Ох
В = 0	– площина паралельна осі Оу
С = 0	– площина паралельна осі Оz
D = 0	– площина проходить через початок координат

А= В = 0 – площина паралельна площині хОу

А= С = 0 – площина паралельна площині хОz

В = С = 0 – площина паралельна площині yOz

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу

С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А= В = D = 0 – площина співпадає з площиною хОу

А= С = D = 0 – площина співпадає з площиною xOz

В = С = D = 0 – площина співпадає с площиною yOz.

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину

площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори M1M 2 , M1M3 , M1M були компланарні:

( M1M 2 , M1M3 , M1M ) = 0.

	M1 M {x x1 ; y y1 ; z z1}
Таким чином,	M1 M 2	{x2	x1 ; y2	y1 ; z2	z1} .
	M1 M 3	{x3	x1 ; y3	y1 ; z3	z1}

Рівняння площини, яка проходить через три точки:

x	x1	y	y1	z	z1
x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .
x3	x1	y3	y1	z3	z1

Рівняння площини по двом точкам і вектору, який колінеарне площині

Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) і вектор a (a1 , a2 , a3 ) .

Запишемо рівняння площини, яка проходить через задані точки М1 і М2 і довільну

точку М(х, у, z) паралельно вектору . a

Вектори	M	1M {x x1 ; y y1 ; z z1}	і вектор		(a1 , a2 , a3 )	мають бути
				a
	M1M 2 {x2 x1 ; y2 y1 ; z2		z1}

компланарними, тобто

( M1M , M1M 2 , a ) = 0

Отже рівняння площини:

x x1 y y1 z z1

x2 x1 y2	y1 z2	z1 0
a1	a2	a3

Рівняння площини по напрямному вектору і точці

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини,

яка проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі N (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Рівняння площини у відрізках

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на

(-D)

A

x

B

y

C

z

1 0 ,

D

D

D

замінивши

D

a,

D

b,

D

c , отримаємо рівняння площини у відрізках:

A

B

C

x

y

z

1

a

b

c

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі

p,

r

n

- радіус - вектор довільної точки М(х, у, z),

де r

xi

yj

zk

- одиничний вектор,

який має напрямок, перпендикуляра,

n

i cos

j cos

k cos

який опущено на площину з початку координат.

,і - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p – довжина цього перпендикуляра.
В координатах це рівняння має вигляд:
xcos + ycos				+ zcos			- p = 0.
Відстань від точки до площини
Відстань від довільної точки М0(х0, у0,						z0) до площини Ах+Ву+Сz+D=0
дорівнює:
d		Ax0 By0			Cz0		D		.
			A2	B2	C 2