§ 2. Парадоксы

6. решите средствами естественного (либо языком математической логики) следующие парадоксы.

Пример

История, если она и повторяется, то, по известному выражению, первый раз как трагедия, а второй – как фарс. Из неповторимости исторических событий иногда выводится идея, что история ничему не учит. «Быть может, величайший урок истории, – пишет О.Хаксли, – действительно состоит в том, что никто никогда и ничему не научился из истории».

Не является ли убеждение, будто история ничему не учит, внутренне противоречивым? Ведь само оно вытекает из истории в качестве одного из ее уроков.

Не лучше ли сформулировать данный тезис следующим образом:

1. «История учит единственному: из нее ничему нельзя научиться».

2. «История ничему не учит, кроме этого ее урока».

Решение

Если утверждение: «История ничему не учит», – рассматривать как один из уроков истории (пусть даже единственный ее урок), то данное утверждение противоречиво. Одновременно утверждается: «Не существует того, что являлось бы уроком истории» и «Имеется, по меньшей мере, один урок истории» (а именно урок, что история ничему не учит).

Утверждение же: «История учит только тому, что из нее ничему нельзя научиться», – не содержит противоречия.

Рассуждение можно рассматривать как косвенное доказательство тезиса: «Существуют уроки истории». Антитезис: «Неверно, что существуют уроки истории». Либо то же самое: «История ничему не учит». Само это утверждение является выводом из истории, т.е. ее уроком. Следовательно, «существуют уроки истории» (тезис). Если а есть высказывание «Существуют уроки истории», то схема рассуждения представляется законом логики (законом Клавия):

( а  а)  а,

т.е. «если верно, что если не-а, то а, то верным является а».

6.1. Это убийство могло быть совершено либо с заранее обдуманным намерением, либо по неосторожности, либо в состоянии аффекта. Последнее, однако, следует отвергнуть: так как известно, что между заряжением пистолета и выстрелом прошел известный промежуток времени. То, что убийство совершено с заранее обдуманным намерением, также нужно отвергнуть: обвиняемый сознался в том, что зарядил пистолет, и это показывает, что он не считает данное обстоятельство уличающим его в преступлении. Таким образом, остается убийство по неосторожности – при неумелом обращении с оружием.

6.2. В некотором древнем городе оракул состоял из 3 одинаковых, стоящих в один ряд статуй, в одной из которых был спрятан жрец истины, на все вопросы отвечающий только правду, в другой – жрец лжи, на все вопросы отвечающий только неправду, в третьей – жрец дипломатии, отвечающий как правильно, так и неправильно. Доказать, что если у левой статуи спросить: «Кто рядом с тобой?», у средней: «Кто ты?», у правой: «Кто рядом с тобой?» и получить соответственно ответы: «Жрец истины», «Жрец дипломатии», «Жрец лжи», то можно однозначно установить, в какой статуе какой жрец спрятан.

6.3. В совете старейшин одного дикого племени, состоящем из 10 человек, был поставлен на голосование вопрос о том, что дикарь К. виновен в укрывательстве запасов мяса мамонта и за это должен быть съеден соплеменниками. Четверо старейшин были согласны с тем, что К. виновен в укрывательстве и должен быть съеден. Еще четверо придерживались того мнения, что К. виновен в укрывательстве, но съедение – слишком суровое наказание. Двое старейшин считали, что К. не виновен в укрывательстве и не должен быть съеден. Докажите, что вождь племени проведет большинством голосов решение о съедении К., если догадается поставить на голосование два косвенных вопроса: 1) о виновности К. в укрывательстве запасов мяса; 2) если К. виновен, то он должен быть съеден.

6.4. Трое путников заплатили за обед в придорожном ресторане 30 долларов (сложившись по 10 долларов). Однако только они вышли, официант решил, что обсчитал их слишком сильно и послал мальчика вернуть им 5 долларов. Мальчик же решил, что хватит им и 3 долларов, которые тут же отдал путникам, а себе оставил 2 доллара за услугу. Таким образом, в итоге путники заплатили за обед 27 долларов + 2 доллара остались у мальчика, и получается всего 29 долларов, т.е. 30 = 29?

6.5. Три мудреца заходят в абсолютно темную пещеру, где, как им известно, лежат два белых и два черных колпака. Каждый мудрец надевает колпак (ему неизвестно – белый или черный) и выходит из пещеры. Первый вышедший не видит никого, второй видит первого в колпаке, а третий видит их обоих в колпаках. Докажите, что, продолжая движение в том же порядке «гуськом», один из мудрецов догадается, какого цвета на нем колпак.

6.6. Л. Кэрролл, автор известной книги «Алиса в стране чудес», часто проверял IQ своих студентов с помощью следующей задачи: «1. Из двух одно: или преступник уехал в экипаже, или свидетель ошибся. 2. Если преступник имел сообщника, то он уехал в экипаже. 3. У преступника не было ни сообщника, ни ключа, либо у него был сообщник и был ключ» (какой вывод можно сделать их этих четырех высказываний).

6.7. На острове Трисельске три деревни: Правдино, Лгуново и Чередово. Известно, что жители 1-й деревни всегда говорят только правду, жители третьей деревни только лгут, а жители второй деревни чередуют ложь с правдой. при этом первый ответ чередовцев может оказаться как правдой, так и ложью.

Как-то раз приезжий встретился с островитянами, которым он по характерным чертам дал следующие прозвища: Алощек, Косоглаз, Борода, Курнос и Длинноух. Желая узнать, в каких деревнях эти люди живут, приезжий попросил первых двух рассказать ему по порядку, кто из какой деревни родом.

Косоглаз ответил, что Борода – чередовец, Курнос – правдовец, Алощек также родом из Чередова, а длинноух – лжиновец.

Борода, однако, утверждал, что Косоглаз – чередовец, Курнос из Лгунова, Алощек – правдовец, а Длинноух из Чередова.

Можно ли из полученных ответов сделать верные выводы о родной деревне каждого из пяти островитян?

6.8. Вася отправился на амурский пляж по дороге, которая вывела его к развилке. «Куда же идти?» – задумался Вася. На развилке он увидел двух девочек. Подойдя к девочкам, Вася решил спросить у них о том, какая дорога ведет на пляж. Однако он точно знал, что девочки никогда не говорят правду. Но все-таки решил рискнуть, ибо стояла невыносимая жара и хотелось окунуться в холодной амурской воде. Он гипотетически предположил, что одна девочка должна сказать правду, а вторая солжет. Вася задал каждой из них один и тот же вопрос, получив ответ «Да» и «Нет», он точно определил верное направление, рукой указав на дорогу к пляжу девочкам. Сообразительного Васю девочки поощрили соблазнительными улыбками. После чего они вместе, взявшись за руки, отправились отдыхать на пляж.

какой вопрос задал Вася девочкам?

6.9. Четверо юношей – Владимир, Борис, Кирилл и Дмитрий – влюблены и, увы, как это часто бывает в жизни, без взаимности.

Владимир любит девушку, которая влюблена в юношу, любящего Таню.

В Машу влюблен юноша, которого любит девушка, любимая Борисом. Кирилл влюблен в девушку, которая сама любит Диму.

Если Бориса не любит Наташа, а юноша, которого любит Галя, не любит Наташу, то кого любит Вовчик?

6.10. Четыре подруги – Маша, Полина, Ольга и Наташа – встречались каждый день после лекций в библиотеке юрфака поочереди с Вовчиком. Установите, в каком порядке подруги встречались с Вовчиком, исходя из приведенных ниже сведений, если известно, что в каждом высказывании лукавые девушки выдают правду ровно наполовину.

Наташа: Ольга была 2-й, а Полина – 3-й.

Маша: Нет, Наташа, Ольга была 1-й, а 2-й была ты.

Ольга: Да, что вы девочки! 2-й была Маша, а Полина – 4-й.

6.11. В фирменном поезде «Хабаровск – Владивосток» едут пассажиры Иванов, петров и Сидоров. Такие же фамилии имеют машинист, милиционер и бригадир.

Известно, что пассажир Иванов живет в Хабаровске; бригадир поезда живет в Лучегорске; пассажир-однофамилец бригадира поезда живет во Владивостоке; тот пассажир, который живет ближе к месту жительства бригадира, чем другие пассажиры, зарабатывает в месяц ровно втрое больше бригадира; пассажир Петров зарабатывает в месяц 20 000 рублей; Сидоров (из бригады) недавно выиграл у милиционера партию на бильярде.

Установите фамилию машиниста.

6.12. Гриша, Миша и Игорь – сыновья военнослужащих. У одного из них отец – офицер флота, у второго – ракетчик, у третьего – десантник.

Юноши приняли решение тоже стать военными. Один их них попал на флот, другой стал ракетчиком, а третий – десантником.

Михаил по состоянию здоровья не попал в десантники, а Игорь не попал на флот. Не попал на флот и сын моряка.

Если сын десантника не стал десантником, то им стал сын ракетчика, а если Игорь – десантник, то сын моряка не ракетчик.

Где же служат ребята и их отцы?

6.13. В течение последних четырех лет Евгений, Федор, Дмитрий и Борис, работающие в одном и том же банке, получали отпуск в мае, июне, июле или августе. Время их отпусков ни разу не совпало и ни один из них не получил отпуск в один и тот же месяц.

В первый год Дмитрий отдыхал в июле, а второй – в августе. Во второй год в мае отпуск получил Евгений. На третий год в июне отпуск получил Борис, а на четвертый год в июле отдыхал Федор.

В каком месяце отдыхал Евгений в первый год?

6.14. Крокодил схватил у женщины ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:

- Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я тебе его или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.

Подумав, женщина ответила:

- Ты не отдашь мне ребенка.

- Ты его не получишь, – заключил крокодил. – Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, – правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное – неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.

Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.

- Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною будет неправдой.

Решите дилемму с помощью законов логики.

6.15. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя.

Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

6.16. Б. Рассел предложил следующий популярный вариант открытого им парадокса математической теории множеств.

Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера этой деревни: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер должен нарушить решение совета деревни. Является ли данное решение совета деревни логически корректным?

6.17. Предположим, что мы попали на остров, на котором живут рыцари и лжецы, и каждый житель острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет.

Вы случайно встречаете двух туземцев А и В. А говорит, что он лжец, а В – не лжец. Попробуйте определить, кто из них (А  В) говорит правду, а кто лжет.

6.18. Следующий парадокс принадлежит Л. Кэрролу.

- Ребята! Вы выдержали трудный экзамен. На прощанье я хотел бы дать вам один совет. Помните: все, кто всерьез жаждет обрести прочные знания, должен работать упорно.

- Благодарю вас, сэр, от имени моих школьников! Горд сообщить вам, что, по крайней мере, некоторые из них всерьез жаждут получить знания.

- Очень рад слышать это, но почему вы так думаете?

- Как же иначе, сэр? Уж мне-то известно, как упорно они работают (я хочу сказать, некоторые из них). Кому и знать, как не мне.

Попробуйте определить логическую корректность заключения.

6.19.У старосты одной группы есть примета: она ходит на все экзамены в одной и той же одежде. Сдав в ней первые два экзамена на «отлично» на 1-м курсе, наша староста решила сдавать в этой же одежде не только экзаменационные сессии, но и государственные экзамены. И что примечательно – примета эта постоянно оправдывается.

Является ли логически корректным решение старосты, и если нет, то обоснуйте свой ответ?

6.20. Один «новый русский» устроил себе в замке тайный погребок: пробил в стене квадратное отверстие, разделил его на 9 отделений и в каждое отделение поместил бутылки доброго грузинского вина так, как показано на рисунке:

6	9	6	В угловые отделения поместил по 6 бутылок, а посередине – по 9, центральное же отделение оставил пустым. Этот человек регулярно проверял сохранность своего погребка. Однако, как и все «новые русские», он был очень занят, по этой причине не пересчитывал все бутылки, а ограничивался тем,
9		9
6	9	6

что считал их количество по одной стороне: на каждой стороне была ровно 21 бутылка.

У него был слуга, который тоже любил грузинское вино. Заметив, что хозяин следит только за тем, чтобы на каждой стороне было по 21 бутылке, слуга украл 4 бутылки, а остальные расставил так, что на каждой стороне опять осталось по 21 бутылке. Через некоторое время слуга украл еще 4 бутылки, и опять хозяин ничего не заметил.

определите, как слуга расставлял бутылки после очередной кражи и сколько всего бутылок он смог украсть незаметно для хозяина?