25.3. Квантовая гипотеза Планка

До сих пор нами рассматривались оптические явления с позиций волновой оптики, что не позволяло объяснить все экспериментальные факты. Вместе с тем эти явления получили объяснения в рамках квантовой теории света. В 1900 г. М. Планк предположил, что теория классического гармонического осциллятора неприменима к атомным (молекулярным) осцилляторам. Он доказал,

что формулу для спектральной плотности энергии теплового излучения можно получить, если допустить противоречащую классическим представлениям гипотезу: колебательная энергия атомов излучающего тела квантована.

Испускание и поглощение электромагнитного излучения осциллятором (атомом/молекулой вещества) осуществляется не непрерывно, а дискретно в

циональности между ε и частотой ν; ν – ч стота колебаний (число полных коле-

виде отдельных квантов, величина которых пропорциональна частоте излуче-
ния («квант» означает «порция», «определенное количество»).						Р
Энергия кванта определяется как					И
	c
ε = hν = h		= hω ,		У			(25.11)
	λ
где h = 2πh = 6,626 ×10−34 Дж·с – постоянная Планка – коэффициент пропор-
			Г
			Б

баний за единицу времени); ω – циклическ я или круговая частота колебаний

(ω = 2πν ). Величину h =1,0546×10−34 Дж·с ( h перечеркнутая)										также называют
постоянной Планка.							а
В результате открытия постоянной Планка и связанной с ней идеи кван-
тования физику стали подразд лять наклассическую и квантовую.
Согласно гипотезе Планка эн ргия атомных (молекулярных) осциллято-
				е
ров может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные hν :
			εn = nhν = nhω (п = 0, 1, 2, ...).							(25.12)
Среднюю энерг ю			сцилля оров ε					нельзя принимать равной kТ, как в
			т
формуле Рэлея–Дж нсао(25.10). Согласно распределению Больцмана вероят-
ность Pn того, что энерг			я колебания осциллятора частоты ω имеет значение
		и						определяется выражением
εn при термодинамической температуре Т,
	л				Nn		exp(− εn (kT ))
б			P =			=			,	(25.13)
			n		N		åexp(-en (kT ))
							n
и

где Nn – ч сло осцилляторов с энергией εn ; N – полное число осцилляторов; Т – термодинамическая температура; k – постоянная Больцмана.

БОтсюда можно получить выражение для средней энергии осцилляторов:
ε = åPnεn =		ε			=	hω				,	(25.14)
	æ ε		ö			æ hω ö
				-1					-1
n	expç		÷			expç		÷
	è kT ø					è kT ø					rω,T будет
и на основе этого показать, что универсальная функция Кирхгофа
иметь вид, определяемый формулой Планка:

44

r	=	hω3		1		.	(25.15)
		4π 2c2		exp(hω (kT )) -1
ω,T

Из формулы Планка (25.15) можно получить закон излучения Вина, выполняющийся в области больших частот (малые длины волн), когда hωkT >> 1. При этом спектральная плотность энергетической светимости чер-

ного тела rω,T в шкале частот равна

r

=

hω3

expæ

- hω ö .

2

2

ω,T

4π

c

ç

÷

è

kT ø

В области малых частот или больших длин волн hω kT << 1. Тогда

æ hω ö

»1

+

hω

Р

expç

÷

kT

è kT ø

и формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса (25.10):

ω2

ω2

У

rω,T =

ε =

kT .

И

4π 2c2

4π 2c2

∞

4

Г

Закон Стефана–Больцмана (25.8) получается из формулы Планка (25.15)

её интегрированием по частотам:

Re = òrω,T dω = σT < ∞ ,

0

Б5 4

2

4

π

k

где постоянная Стефана–Больцмана равна σ =

2π

k

=

.

15c2h3

60c2h3

е

Закон смещения Вина (25.9а) получается при анализе формулы Планка на

экстремум. В результате можно получитьк

т

Tλmax = hc (4,956k) = b .

Таким образом, из формулы Планка можно вывести частные законы, описы-
		но
вающие тепловое излучение.
Рассмотрим еще д				явление, которое подтверждает справедливость
квантовых представлен й			б электромагнитном излучении.
л
б	и25.4. Фотоэффект. Формула Эйнштейна

иВ 1905 г. Эйнштейн развил идею Планка и выдвинул гипотезу световых част ц – фотонов. Он предположил, что дискретный характер присущ не толькоБпроцессам испускания и поглощения света, но и самому свету. Гипотеза Эйнштейна означала, что свет распространяется в виде квантов энергии, позже названных фотонами. Энергия фотона определяется формулой ε = hω . Рассмотрим явление фотоэффекта, которое подтверждает гипотезу о фотонах.

Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом при поглощении им квантов электромагнитного излучения (фотонов). Различают фотоэффект внутренний, вентильный и внешний.

Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется вы-

свобождение электронов из вещества под действием света. Это явление было

45

открыто немецким физиком Г. Герцем в 1887 г., первые фундаментальные исследования были выполнены русским физиком А. Г. Столетовым (1888).

Схема исследования внешнего фотоэффекта. Исследование законо-

мерностей фотоэффекта проводят на установке, схематически показанной на рис. 25.4. Два электрода (катод К (–) из исследуемого металла и анод А (+)), расположенные в вакуумной трубке, образуют фотоэлемент – прибор, работающий на основе фотоэффекта и преобразующий энергию излучения в электрическую энергию.

	λ	Катод освещается через кварцевое окошко
		монохроматическим светом с изменяемой длиной
		волны λ. Между катодом и анодом создается на-
		пряжение U, величину которого и знак можно ме-
		нять (подключены потенциометр и две аккумуля-
						Р
		торные батареи, включенные «навстречу друг дру-
		гу»). Катод испускает поток электронов (т. н. фото-
					И
		электронов), и возникает ток (фототок), регистри-
	Рис. 25.4. Схема	руемый гальванометром G. Зависимость фототока I
	установки для наблюдения			У
		от приложенного напряжения U называется вольт-
	фотоэлектрического эффекта		Г
		амперной характеристикой фотоэлемента.
	Для оценки количества энергии, поп д ющей в оптический прибор, на-
			Б
	пример фотоэлемент, используют понятие светового потока Ф – средней
		ка
	мощности оптического излучения за время, зн чительно большее периода ко-
	лебаний светового вектора.	а

При увеличении светового пото Ф, падающего на катод, при постоян-
		т
ной частоте ω света вольт-амп рная характеристика фотоэффекта изменяется,
как показано на рис. 25.5, а. На рисе. 25.5, б приведены вольт-амперные характе-
I	ω = constего			Ф = const
ристики для случаев, к		да,	не меняя светового потока, варьируется частота
	и	ф	оэффект.
света ω, обуславл вающ

Ф2>Ф1

I

Iнас 2

л

Ф2

3

2 1

Iнас

Iнас 1

ω3 ω2 ω1

I0 2

Ф1

ω0

I

01

Uз

б

U

Uз 3 Uз 2 Uз 1 0

U

а

0

б

и

Рис. 25.5. Вольт-амперные характеристики фотоэффекта

Б

(задерживающее напряжение Uз отрицательно):

а – при постоянной частоте ω падающего света; б – при постоянном световом потоке Ф

Как видно на рис. 25.5, а, даже при напряжении, равном нулю, некоторое количество электронов достигает анода и создает небольшой фототок I0, поскольку фотоэлектроны при вылете из катода обладают некоторой кинетической энергией и, следовательно, некоторой начальной скоростью. С увеличени-

46

ем U все большее число электронов достигает анода – фототок возрастает до некоторого предела Iнас . При дальнейшем увеличении напряжения сила фото-

тока остается неизменной.

Максимальное значение тока Iнас – фототок насыщения – определяется

таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом под действием света, достигают анода: Iнас = en , где п – число электронов, испускае-

мых катодом в единицу времени. При малом напряжении вылетевшие из катода электроны частично летят к аноду, а частично возвращаются на катод.

Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение Uз. При U = Uз ни один из электронов, даже обладающий при вылете максимальной начальной скоростью, не может преодолеть

задерживающего поля и достигнуть анода.							У
Измерив задерживающее напряжение Uз, можно определитьРмаксималь-
ное значение скорости υmax	и кинетической энергии Kmax							фотоэлектронов:
		m υ 2			,	Г			И	(25.16)
	Kmax =	e max	= eUз
		2			Б

где Kmax – максимальная кинетическая энергия вылетающих из катода электро-

нов; me – масса электрона; е – абсолютное значение заряда электрона.
		ила
Сформулируем три основных закона внешнего фотоэффекта:
1. Зависимость тока насыщения от нтенсивности падающего света: при
постоянной частоте падающего св та с			фототока насыщения пропорцио-
	е
нальна падающему на катод св товому пото у Ф (закон Столетова):
Iнас = κФк,			(25.17)
где κ – коэффициент, зависящий от природы материала катода, рис. 25.5,а.
о
2. При увеличении ин енсивности падающего света число фотоэлектро-

нов возрастает, но их максимальнаят кинетическая энергия Kmax не изменяется, если частота света ф кс р вана. Максимальная кинетическая энергия фото-

электронов линейно зав с			т от частоты ω падающего света.
3. Для каждого металла существует красная граница фотоэффекта –
		и	света (максимальная длина волны λ0 ), при которой
минимальная частота ω0
еще	сходит фотоэффект. При меньших частотах ω < ω			0	фотоэффект не на-
	л
блюдается даже при сравнительно большой интенсивности света. При высоких
интенс	б
	вностях света (сфокусированное лазерное излучение) в случае много-
фотонногопроифотоэффекта красная граница фотоэффекта исчезает. Величина ω0
(λ0 ) зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.
БЗа работы по фотоэффекту, в которых были объяснены основные законо-

мерности данного явления (1905), Эйнштейну была присуждена Нобелевская премия в 1921 г.

Рассмотрим фотоэффект в рамках гипотезы о световых квантах Эйнштейна. Падающее монохроматическое излучение представим как поток световых квантов – фотонов, энергия ε которых связана с частотой ω соотношением

47