Тема 23. Дифракция света

23.1. Принцип Гюйгенса–Френеля. Метод зон Френеля

Дифракцией света называется огибание светом препятствий, встречаю- щихся на его пути, или в более широком смысле – любое отклонение распро- странения света от законов геометрической оптики. В результате дифракции свет проникает в область геометрической тени. Распределение интенсивности

света на экране, получаемое вследствие дифракции, называется дифракционной
картиной.	Р
Принцип Гюйгенса не объясняет явления дифракции. Французский физик
	И

О. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о когерентности вто- ричных волн и их интерференции (1815). Это позволило рассматривать ди- фракционные явления на основе принципа Гюйгенса–Френеля. Приближен- ность решений задач с помощью данного принципа состоит в том, что при этом не рассматриваются реальные граничные условия электродинамики Максвелла.

Согласно принципу Гюйгенса–Френеля световая волна, возбуждаемая
	У
каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпози-
Г
ции (сложения) когерентных вторичных волн, излучаемых вторичными (фик-
тивными) источниками – бесконечно лыми элементами любой замкнутой
Б
волновой поверхности, охватывающей источник S. В рамках волновой теории с

помощью этого принципа описывают и объясняют механизм распространения

электромагнитных волн, в частности св матовых.

Рассмотрим в произвольной точке Р

b + mλ 2

к

а

амплитуду

световой

волны,

распростра-

b + λ 2

е

S

Р

няющейся в однородной среде из точечного

О

источника S. Обозначим через b расстояние

.

а

.

.

от вершины

волновой

поверхности О до

b

т

1-я з на

точки Р, рис. 23.1.

2-я з на

3-я з на

Ф

о

Согласно

принципу

Гюйгенса–

и

Френеля заменим действие источника S дей-

Рис. 23.1. Зоны Френеля

ствием воображаемых источников, располо-

женных на вспомогательнойл

поверхности Ф, являющейся поверхностью фронта

волны, дущей из S (поверхность сферы с центром S и радиусом а).

Разобьем волновую поверхность Ф на зоны Френеля – кольцевые зоны

и

Б

такого размера, чтобы колебания, возбуждаемые двумя соседними зонами в точке Р, происходили в противофазе. Тогда расстояния от краев зоны до Р должны отличаться на λ2, где λ – длина волны в той среде, в которой распро-

страняется волна.

Тогда, обозначив амплитуды колебаний от 1-й, 2-й, ... m-й зон Френеля через А1, А2, ..., Ат (при этом А1 > А2 > А3 >...), получим амплитуду результи- рующего колебания: A = A1 − A2 + A3 − A4 + ... .

При таком разбиении волновой поверхности на зоны оказывается, что

22

амплитуда колебания Ат от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон: Am = ( Am−1 + Am+1 )2 .

Учтем,

что при m >> 1

A1 >> Am . Можно показать, что результирующая

амплитуда в точке Р будет равна

A = A1

2 .

(23.1)

Площади всех зон Френеля приблизительно одинаковы при не слишком

больших т и определяются по формуле

Sm =

πabλ

.

(23.2)

a + b

Р

Радиус внешней границы m-й зоны Френеля вычисляется как

r

=

ab

mλ .

(23.3)

m

a + b

У

При а = b = 10 см и λ = 500 нм радиус первой зоны r1 = 0,158 мм.

23.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Ии диске

Дифракция Френеля (дифракция в схо-

Ф

В

С

дящихся лучах) – это Гдифракция, осуществляемая

в случае, ког на препятствие падает сферическая

b

волна,

а дифр кционнаяБкартина наблюдается на

а

b + λ/2

к

конечном р сстоянии от препятствия, вызвавшего

b + m λ/2

ес

Э

Р

дифра циюда, и представляет собой «дифракцион-

ное изображение» препятствия.

I

т

Дифракция на круглом отверстии. Сфе-

рич

кая волна, распространяющаяся из точечно-

о

б

го ис очника, встречает на своем пути препятст-

r

I

вие с круглым отверстием ВС. Дифракционная

в

r

кар ина наблюдается на экране Э, параллельном

плоскости отверстия и находящемся от него на

Рис. 23.2. Дифракц я

расстоянии b, рис. 23.2, а. Амплитуда света в точ-

на круглом отверст :

ке Р экрана Э будет равна

ии

а – схема эксперимента;

A1

Am

б – д фракционнаялкартина

A =

±

,

(23.4)

2

при нечетном числе зон;

2

Б

б

где знак «плюс» берется для случая, когда отвер-

в – д фракц онная картина

стие открывает нечетное число т зон Френеля, а

п

четном числе зон

ри

знак «минус» – для четного т.

Дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и свет- лых колец с центром в точке Р (если т нечетное, то центральное кольцо будет светлым (рис. 23.2, б), если т четное, то – темным (рис. 23.2, в)).

Шириной дифракционного максимума на экране называется расстояние между двумя ограничивающими его дифракционными минимумами.

Если диаметр отверстия велик, так что Am << A1 2, то дифракционной кар- тины на экране не будет.

23

Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся из то- чечного источника, встречает на своем пути диск диаметром d, рис. 23.3, а. Диск закрывает первые т зон Френеля. Амплитуда колебания в точке Р равна

Ф

d

A =

Am+1

.

(23.5)

b

2

b + λ/2

В точке Р в центре геометрической тени всегда на-

b + m λ/2

блюдается интерференционный максимум, назы-

Э

Р

ваемый пятном Пуассона, соответствующий поло-

а

вине действия только первой (m + 1) открытой зо-

I

ны Френеля, и окруженный концентрическими с

б

r

ним темными и светлыми кольцами, рис. 23.3, б.

И

Рис. 23.3. Дифракция на диске:

По мере увеличения отношения диаметра d к

расстоянию b яркость пятна Пуассона постепенно

а – схема эксперимента;

У

Р

б – дифракционная картина

уменьшается, а следующее за ним темное кольцо

расширяется, образуя область тени за диском.

Г

Б

23.3. Дифракция Фраунгофера на одной щели и дифракционной решетке

Дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах) наблюда-

ется,

ая

когда на препятствие падает плоск волна, а источник света и точка на-

к

блюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию. Диф-

ракционная картина наблюдается на э р не в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прош дш го через препятствие света.

Дифракция на одной щ ли. Пусть плоская монохроматическая волна с длиной волны λ нормально пада т на очень длинную щель шириной b = MN (длина щели l >>b). Плоскос ь щели и экран Э параллельны, рис. 23.4.

Если бы при прохождении света через щель

тс блюдался закон прямолинейного распростране-

M ϕ

N

иЛ

ϕ

L

ния света, то на экране Э, установленном в фо-

С

D

окальной плоскости собирающей линзы Л, получи-

лось бы изображение источника света. Вследст-

б

вие дифракции на узкой щели на экране наблюда-

F0

и

л

ется система интерференционных максимумов –

а

Р

P′

Э

размытых изображений источника света, разделен-

Б

I

ных темными промежутками интерференционных

0,047 0,017

минимумов. Оптическая разность хода между вол-

λ

λ

0 λ

λ sin φ

нами, исходящими от крайних точек щели, т.е.

б − 2 2

−

2

2

2 2

крайними лучами МС и ND на рис. 23.4, а, равна:

Рис. 23.4. Дифракция на щели:

= NL = bsinϕ .

а – схема эксперимента;

Разобьем открытую

часть волновой поверхности

б – дифракционная картина

MN на зоны Френеля.

Ширина каждой зоны выби-

рается так, чтобы оптическая разность хода лучей, проведенных от краев зоны параллельно МС, была равна λ/2. На ширине щели уместится 2 λ зон.

24

В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля точки щели являются вто- ричными источниками волн, колеблющимися в одной фазе с одинаковой ампли- тудой, так как плоскость щели совпадает с фронтом падающей волны. Суммар- ная интенсивность колебаний от двух любых соседних зон равна нулю.

Следовательно, результат интерференции света в точке Р (побочный фо- кус) определяется тем, сколько зон Френеля укладывается в щели, рис. 23.4,б:

1) если число т зон Френеля четное, то условие дифракционного мини- мума (полная темнота) имеет вид

bsinϕ = ±mλ (m = 1, 2, 3,...);

(23.6)

2) если число т зон Френеля нечетное, то условие дифракционного мак-

симума, соответствующего действию одной некомпенсированной зоны Френе-
ля, записывается так:				И
bsinϕ = ±(2m +1)	λ		( m = 1, 2, 3,...).		Р(23.6а)
2
Знак «минус» в правой части формул (23.6) и (23.6а) соответствует лучам
света, распространяющимся от щели под углом			Г
			−ϕ и собирающимся в побоч-
		Б
ном фокусе P′линзы, симметричном с Р относительно главногоУфокуса F0.
В направлении φ = 0 щель действует как одна зона Френеля. В этом на-

правлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью и наблюдается
	а
центральный дифракционный максимум: колебания, вызываемые всеми уча-
стками щели в точке F0, совершаются в одной фазе. Направления, в которых
амплитуда максимальна или равна нулю, соответственно таковы:
sinϕmax = ±	(2m + 1)λ	,	sinϕmin	= ±	mλ	.	(23.7)
	к2b				b

Интенсивности в центральномт и последующих максимумах относятся как 1,0 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., . . основная часть световой энергии сосредото-

е

чена в центральном максимуме, рис. 23.4, б.

Дифракционная реше ка. Одномерная дифракционная решетка – это

система параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и
разделенных равны	поширине непрозрачными промежутками, рис. 23.5, а.

Дифракционная карт на является результатом взаимной интерференции волн,
					ми
идущих от всех ще ей.
				л							I
		M		N С D
б
и

ϕL ϕ

Б	Л
P	Э	−3 λ	−2 λ	− λ	0	λ	2 λ	3	λ	sin φ
а	б	d	d	d		d	d		d

Рис. 23.5. Дифракция на дифракционной решетке: а – схема эксперимента; б – дифракционная картина

25

Если b – ширина каждой щели, а – ширина непрозрачных участков между щелями, то величина d = a + b называется периодом (постоянной) дифракци-

онной решетки:

d =	1	,							(23.8)
	N
где N – число щелей, приходящееся на единицу длины.
Разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будет для данно-
го направления φ одинакова в пределах всей дифракционной решетки:
= CL = (a + b)sinϕ = d sinϕ .							Р
Прежние (главные) минимумы интенсивности, определяемые по формуле
(23.6), будут наблюдаться в направлениях
bsinϕ = ±mλ (m = 1,2,3,... ).									(23.9)
Кроме того, вследствие взаимной интерференции согласно условию ин-
терференционных минимумов (21.7), в направлениях, определяемых как
			λ	Г		И
d sinϕ = ±(2m +1)				(m = 1,2,3,...),				(23.10)
2				Б	У
возникнут дополнительные минимумы.
Действие одной щели будет усиливать действие другой и будут наблю-

даться узкие главные максимумы в направлениях, определяемых уравнением

мума

(23.11)

d sinϕ = ±nλ

(n = 0,1,2,...),

к

.

где п называется порядком главного м

си

Таким образом, между двумя соседними главными максимумами распо-

лагается (N −1) дополнительных минимумов, разделенных (N − 2) вторичными

т

слабыми максимумами, рис. 23.5, б. Число главных максимумов будет (2n +1) .

Наибольший порядок дифракциие, поскольку

sinϕ

< 1, определяется как

n ≤

d

.

ти

max

λ

Амплитуда глав

го максимума есть сумма амплитуд колебаний от каж-

л

дой щели A

= NA но. Поэтому интенсивность главного максимума в N2 раз

max

1

больше интенсивнос I1, создаваемой одной щелью в направлении главного

максимума: I

= N

2 I

(см. формулу (22.14)).

тельныеифракционныед

решетки, когда штрихи наносятся на зеркальную (ме-

max

1

В современных спектральных приборах для пространственного разложе-

Б

ния электромагнитногоб

излучения в спектр используются как вогнутые, так и

плоск е д фракционные решетки. При этом в основном применяют отража-

таллическую) поверхность. В этом случае интерференционная картина образу- ется в отраженном свете. В 70-е гг. был разработан новый, голографический метод создания вогнутых и плоских дифракционных решеток, когда на вогну- тую или сферическую подложку наносят слой специального светочувствитель- ного фоторезистного материала.

Спектрографом называется спектральный прибор, в котором приёмник излучения регистрирует одновременно весь оптический спектр, развёрнутый по

26