Во-вторых, Эйнштейном был применен закон сохранения энергии для излучения и поглощения электромагнитных волн. В результате он получил выведенную ранее Планком формулу (25.15) для универсальной функции Кирхгофа:

r	=	hω3	1				,
ω,T		4π 2c	2 exp(hω kT ) −1

которая согласуется во всем интервале частот и температур с данными по распределению энергии в спектрах излучения абсолютно черного тела.

Вынужденное излучение тождественно вынуждающему: оно имеет такую же частоту, фазу, поляризацию, направление распространения. Поэтому вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением. Испущен-

Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречаяРвозбужденные атомы, стимулируют вынужденные переходы: происходит размножение фотонов. Для усиления излучения необходимо, чтобы интенсивность вы-

ные фотоны полностью тождественны фотонам, падающим на атом.

нужденного излучения превышала интенсивность поглощенияУИфотонов.

Состояние с инверсией населенностей (инверсная среда) – это термо-

динамически неравновесное состояние вещества, в котором число частиц (ато-

мов и т. п.) на верхнем уровне энергии больше, чем на нижнем. Процесс пере-
				Г
вода системы в состояние с инверсией населенностей называется накачкой, а
подводимая при этом энергия – энергией н к чки.
				Б
Инверсная среда, в которой происходит усиление падающего на нее пуч-
ка света, называется активной. За он Буге (24.1) для таких сред
I = I	0e	−α x	ра
		к
имеет коэффициент поглощения
	α < 0		(I – интенсивность пучка излучения).

Открытие явления усиления эл ктромагнитных волн и изобретенный спо-
		е
соб их усиления (1951) легли в основу квантовой электроники (квантовые уси-
лители, квантовые генера	ры све а).
	т
30.4. Лазер (на примере трехуровневой системы). Резонатор
о
В 1954 г. совиетск	физики Н. Г. Басов и A. M. Прохоров и независимо от

них аме канский ученый Ч. Таунс, используя индуцированное излучение, соз-
	л
дали квантовый генератор в микроволновом диапазоне, названный мазером,
получ в вб1964 г. Нобелевскую премию.
Лазеры (оптические квантовые генераторы) – это квантовые генерато-
ри
ры, работающие на принципе усиления излучения в активных средах в оптиче-

скомБдиапазоне: в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях. Первый лазер на рубине был создан в США (1960) Т. Мейманом.

Лазеры подразделяются:

─по типу активной среды (твердотельные, газовые, полупроводниковые

ижидкостные);

─по методам накачки (световые (оптические), тепловые, химические, электроионизационные и др.);

127

─ по режиму генерации (непрерывного или импульсного действия). Рассмотрим на примере трехуровневой системы создание инверсной сре-

ды световой накачкой в рубиновом лазере (длина волны излучения ~0,69 нм), рис. 30.5, а. В данном случае активной средой является цилиндрический монокристалл рубина (окись алюминия Al2O3, в которой часть атомов алюминия А1 (~0,03 %) замещена атомами хрома Сr). В монокристалле рубина хром находится в виде ионов. Энергию накачки создают с помощью газоразорядных ламп, работающих в импульсном режиме (длительность вспышки ~10–3 с).

3

Безызлучательный

Р

Накачка

переход

2

Спонтанный

И

λ = 0,6943 нм

З1

З2

переход

а

1

б

У

Г

Рис. 30.5. Лазерная генерация:

а – создание инверсной среды на примере трехуровневой системы в лазере

Б

(1 – основное состояние, 2 и 3 – возбужденные долгоживущее (метастабильное)

и короткоживущее состояния соответственно);

б – схема простейшего оптического резон тора из двух зеркал З1 и З2

1

а

3

к

Итак, накачка рубина переводит ионы хрома из основного состояния 1 с

энергией E

в возбужденное корот оживущее состояние 3 с энергией E

(пере-

не

ход 1 → 3). Уровень 3 образован сово упностью близко расположенных уров-

т

–7

с. Вероятность спонтанного

ней. Время жизни ионов на уров 3 м ньше 10

перехода 3 → 1 для ионов хрома в сьма мала. Поэтому большинство ионов пе-

рейдут из состояния о3 в долгоживущее (метастабильное) состояние 2 без ис-

пускания фотонов (безызлуча ельный переход). Происходит «накопление» ио-

(~ 10–3 с). В течение эт го времени среда пребывает в активном состоянии. При достатолчной мощности накачки концентрация ионов хрома на уровне

нов на уровне 2. Время жизни ионов в этом состоянии сравнительно большое

2 будет гораздобб ьше, чем на уровне 1. Возникает инверсия населенностей

уровнейи2 1. Каждый фотон, излученный при спонтанном переходе 2 → 1 (соответствует длине волны красного света) и имеющий направление вдоль оси рубБнового ц линдра, может породить в активной среде лавину вторичных фотонов. Это позволяет получить оптический генератор на линии ~0,69 нм.

Для многократного усиления лазерной генерации необходима обратная связь, когда часть усиленного излучения остается в активной среде и подвергается повторному когерентному усилению. Поэтому используется оптический резонатор – система из двух зеркал. В простейшем случае это обращенные друг к другу параллельные (или вогнутые) зеркала на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда (кристалл или кювета с газом), рис. 30.5, б. Те фотоны, которые движутся под углами к оси кристалла, выходят из активной среды через боковую поверхность. Движущиеся вдоль оптической

128

оси фотоны после многократного отражения от зеркал и усиления потока фотонов в активной среде выходят через полупрозрачное зеркало З2 . В результате

создается строго направленный световой пучок когерентных фотонов – лазерный пучок. Отметим, что усиление излучения при одном проходе между зеркалами должно превосходить пороговое значение, т. е. потери энергии из-за излучения, вышедшего через зеркало З2 , за один проход. Чем степень пропуска-

ния зеркала З2 больше, тем больше пороговое усиление активной среды.

Свойства лазерного излучения:
1.	Высокая временная и		пространственная	когерентность. Время коге-
рентности τ ~ 10−3						Р
		с, что соответствует длине когерентности l = cτ					~ 105 м, т. е.
на семь порядков выше, чем для обычных источников света.					И
2.	Высокая степень монохроматичности ( λ < 10−11 м).
3.	Большая	плотность	потока энергии	У				величины
				(характерные

~1010 Вт/м2). Интенсивность лазерного излучения соответствует эффективной

температуре, превышающей температуру Солнца в 10							11	–10		12	раз;
4. Очень малое угловое расхождение пучка (в 104									раз меньше, чем у тра-
					Б
диционных оптических осветительных систем, например у прожектора).
В настоящее время лазеры широко применяютсяГв разнообразных облас-
				ка
тях – медицине, измерительной технике, голографии и т. д.
				к		и Бозе–Эйнштейна
30.5. Распределения Ферми–Дир
Квантовая статистика – это раздел					статистической физики, иссле-
		т
дующей системы, состоящие из огромного числа частиц, подчиняющихся зако-
нам квантовой механики. О ме еим, что в квантовой механике и квантовой ста-
	ой
тистике необходимость с а ис ического описания обусловлена корпускулярно-
волновым дуализмом час иц вещес ва.
и			ждественными называются частицы, имеющие
В квантовой ф з ке
л		ства – массу, электрический заряд, спин и т. д.
одинаковые физ ческ е св

Принцип о неразл чимости тождественных частиц:

ных частицбместами, неразличимы и должны рассматриваться как одно фи- з ическое состояние.

состояния системы, получающиеся друг из друга перестановкой тождествен-

Напр мер, классический закон распределения частиц (закон Максвелла– ольцмана) основан на допущении того, что в системе из одинаковых частиц все частицы отличимы друг от друга и их в принципе можно пронумеровать.

БЭтот принцип квантовой физики не имеет аналога в классической физике.

Состояние системы, состоящей из п тождественных частиц, характеризуется в квантовой механике волновой Ψ -функцией, зависящей как от координат всех частиц системы, так и от ориентации их спинов. Если принцип неразличимости имеет место, то справедливо равенство

Ψ(x1, x2 ) 2 = Ψ(x2 , x1 ) 2 ,

129

где x1 и x2 – соответственно совокупность пространственных и спиновых ко-

ординат соответственно первой и второй частицы. Таким образом, тождественность частиц системы требует, чтобы при перестановке любой пары частиц вероятности нахождения частиц в данной точке пространства были одинаковыми.

Как можно показать из принципа неразличимости, существуют два типа волновых функций, описывающих состояние системы тождественных частиц. Симметричная волновая функция системы при перестановке любой пары частиц не меняет знака, а знак антисимметричной волновой функции изменяется.

Свойство симметрии или антисимметрии – это признак данного типа частиц, не
меняющийся со временем и определяемый спином частиц.	Р
Система тождественных фермионов (частицы с полуцелым спином, на-
	И

пример, электроны, протоны) описывается антисимметричной волновой функцией и подчиняется статистике Ферми–Дирака. Фермионы подчиняются принципу Паули: в каждом квантовом состоянии системы тождественных фер-

мионов может находиться не более одной частицы.
		Г
Система тождественных бозонов (частицы с целым спином, например
		Б
фотоны, фононы) описывается симметричной волновойУфункцией и подчиняет-
ся статистике Бозе–Эйнштейна. В любом квантовом состоянии системы мо-
жет находиться любое число бозонов.	а
Основная задача квантовой статистики з ключается в нахождении функ-
к
ции распределения частиц системы по оординатам, импульсам, энергиям и

т. п., а также отыскании средних значений этих параметров, характеризующих наиболее вероятное макроскопич с ое состояние всей системы частиц.

шестимерное фазовое прос ранствое, называемое также μ -пространством, осями которого служат х, у, z, px, ру, рz. Каждому моменту времени t соответст-

Для описания состояния сист мы тождественных частиц рассматривают

вуют определенные значения всех координат и импульсов, т. е. некоторая точ-

изображающих точек) по ячейкам в соответствии с принципом неразличимости тождественных частиц есть подробное квантовое описание состояния системы.

ка в фазовом пространстве, изображающая состояние системы в данный мо-
		т
мент. Изменение с течением времени состояния системы изображается движе-
		о
нием точки вдо ь н – фазовой траекторией. Согласно соотношениям не-
определенностей иГейзенберга (26.2) данному				состоянию частицы в
μ-пространстве соответствует ячейка фазового пространства объемом
		л dΛ = dx dy dz dpx dpy dpz ≈ h3 .		(30.7)
	б		3	. Размещение частиц (их
Элементарный объем dΛ не может быть меньше h
и
Б

Таким образом, можно определить распределение частиц по энергиям

εi – функцию f (εi ) – функцию заселенности (заполнения) ячеек, которая да-

ет вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального газа частиц при температуре Т состояние с энергией εi занято частицей. Среднее число

частиц в одной фазовой ячейке с энергией εi определяется:

130

	для фермионов	f (εi ) =	1			,	(30.8)
				e(εi −μ) (kT ) +1
	для бозонов	f (εi ) =	1			,	(30.9)
			e(εi −μ) (kT ) −1
	где μ – химический потенциал – является функцией температуры:						μ = μ(T ) .

Химический потенциал – это некоторая характерная энергия, которую можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу N частиц макросистемы.

Если εi – один из разрешенных уровней, то при любой температуре должно иметь место равенство

å f (εi ) = N .

этому в формулах, определяющих εi , индекс i можно опустить.

i
Формула (30.8) называется распределением Ферми–ДиракаР, а выраже-
ние (30.9) – распределением Бозе–Эйнштейна. Рассмотрим особенности дан-
ных распределений:					И
1. Для фермионов функция f (εi ) не может быть больше единицы, а для
бозонов f (εi ) ³ 0.					У
2. Если f << 1, то в знаменателях обоих распределенийГ						можно пренеб-
речь единицей, и получаем	(μ−εi ) (kT )	= Ae		−εi (kTБ)		(30.10)
f (εi ) = e				,
т. е. распределение Больцмана, где А – нормировочный коэффициент.
3. В макросистеме уровни эн ргииастицε ч					квазинепрерывны, т. е. энер-
			i
гетические уровни являются дискр ктными, но расположены очень густо. По-
	е

4. Для бозонов в формуле (30.9) значения μ ≤ 0 , иначе при εi < μ будет

f < 0, что лишено ф зическ го смысла. Для фермионов подобного ограниче-
и	с переменным числом бозонов μ = 0 .
ния не существует. У мак темсис
л
Если некоторыйроэлементарный объем dΛ фазового пространства разбить

на ячейки о ъемом h3 , то отношение dΛh3 = dZ определяет число фазовых ячеек или квантовых состояний, содержащихся в объеме dΛ с энергией, за-

ключенной в интервале энергий от ε до ε + dε . Тогда в расчете на единицу объ-
ема, за маемого системой частиц, имеем
б			4π
ни
		dZ =		p2dp ,	(30.11)
			h3
где р – импульс частицы. Размерность dZ – см –3.
БЧастицы,	число которых d n , находящиеся в объеме dΛ ,				могут различ-

ными способами распределиться между dZ состояниями с энергией в интерва-

ле (ε , ε + dε ) . Зная функцию заполнения	f (ε ) , в расчете на единицу объема
число частиц в данном интервале энергий вычисляется как
dn = γ f dZ ,	(30.12)

где γ – числовой коэффициент порядка единицы.

131

30.6. Квантовая теория свободных электронов в металле.

Плотность энергетических состояний

Идеальным ферми-газом называют систему, состоящую из п невзаимо-

действующих фермионов. Рассмотрим поведение электронов проводимости в

металлах. Свободные электроны в металле – это электроны, не связанные с

отдельными атомами кристаллической решетки металла и способные практиче-

ски свободно перемещаться в ней. Также их называют электронным газом.

В первом приближении свободные электроны в металле можно считать

идеальным ферми-газом в прямоугольной потенциальной яме, ограниченной

поверхностью металла, с постоянным значением потенциала внутри объема ме-

талла. Рассмотрим поведение электронного газа в металле при 0 K. Если μ(0) –

химический потенциал при T = 0 K, то согласно распределению Ферми–Дирака

(30.8) возможны два случая:

Р

ε −μ(0)

И

1) ε < μ(0) , тогда ε − μ(0) < 0. При T → 0: e

→ 0

kT

и f (ε ) → 1;

ε −μ(0)

У

2) ε > μ(0) . При T → 0: e kT

→ ∞ и f (ε ) → 0 .

На рис. 30.6, а представлен график функции

Г

f (ε )

при T = 0 K (пунктир-

ная линия), из которого видно, что все кв нтовые состояния с энергией ε < μ(0)

Б

равномерно заполнены по одному электрону в каждом состоянии вплоть до

максимальной энергии εF = μ(0) ,

отор я н зывается энергией Ферми. При

а

этом состояния с ε > μ(0) оказываются н занятыми, т. е. свободными.

Уровнем Ферми называ

н

который условный уровень энергии систе-

мы фермионов,

в частнос и эл к ронов твердого тела, соответствующий энер-

е

гии Ферми. Для идеального газа фермионов энергия Ферми совпадает с хими-

ческим потенциалом при T = 0 K.

Таким образом,

значение химического потенциала μ(0)

есть максималь-

ют

ная энергия, которую м гут иметь свободные электроны в металле при T = 0 K.

Можно опреде

о

вероят-

ть х м ческий потенциал μ как энергию состояния,

ность заполненияикоторого равна 1 2 .

л

ρ(ε)

dn

kT

б

dε

Т = 0 K

Т = 0 K

0,5

и

Б

ε

б

μ(0)

ε

0

μ(0)

ε

в

а

Рис. 30.6. К определению энергии Ферми:

а– зависимость функции распределения Ферми–Дирака от энергии электронов;

б– зависимость числа квантовых состояний на единицу энергии от энергии электронов;

в– функция распределения свободных электронов по энергиям

132

Связь между энергией и импульсом электрона: ε = p2 (2me ) . Следовательно, p = 2meε и

dp = me (2ε )dε .	(30.12а)
Плотность состояний ρ (ε ) = dZ dε – это число разрешенных состояний
свободных электронов в единичном интервале энергии (ε , ε + dε )	для элек-

тронного газа единичного объема, равное с учетом выражений (30.11) и (30.12а)

			(2m )3 2
ρ(ε ) = 2π			e		ε = α	ε .		(30.13)
			h3					Р
Вид функции ρ(ε ) (30.13) показан на рис. 30.6, б. Плотность квантовых
состояний растет с увеличением энергии ~ ε .
При конечной температуре T ¹ 0 K число частиц dn , обладающих энер-
							У
гиями в бесконечно узком интервале значений (ε , ε + dε ) , будет равно произве-
дению плотности состояний (числу состояний в этом интервалеИэнергий) на ве-
роятность их заполнения:
dn = ρ (ε )				f (ε )dε .				(30.14)
Тогда функция плотности заполнения энергетическогоГ								уровня с энер-
					а
гией ε при температуре Т, рис. 30.6, в, определяется как
	dn	= ρ(ε ) f (ε ) .				Б		(30.14а)
	dε		к

На рис. 30.6, в величина размытости чет ой границы заполнения энергетических уровней при низких темп ратурах (пунктирная кривая при T = 0 K), так

же как и для f (e) , составл	в личину kT . При T ¹ 0 K концентрация элек-
тронов равна заштрихованной площадиена рис. 30.6, в (сплошная кривая).
При T = 0 K площадь под кривой ρ(ε ) в пределах от 0 до εF			дает пол-
ную концентрацию св б дных электронов, рис. 30.6, б:
	ε
яетF		4αεF 3 2 .	(30.15)
оn = ò 2ρ(ε)dε =
	0	3
В подынтегра ьномивыражении есть коэффициент 2 потому, что в каждой фа-

зовой ячейке могут расположиться два электрона с противоположно направ-

л

ленны спинами. Следовательно, энергия Ферми определяется соотношением

б

h2

æ

3n ö2 3

ми

εF =

ç

÷

,

(30.16)

8me

è

π ø

где п и те – соответственно концентрация и масса свободных электронов.

Тогда средняя энергия сводных электронов при T = 0 K равна согласно

Б

уравнениям (30.14) и (30.15)

εF

1

3

ε

=

ò

2αε 3 2dε =

εF .

(30.17)

n

5

0

Поэтому уровень Ферми определяют также как энергию, при которой

распределение Ферми–Дирака (30.8) принимает значение

f (ε ) = 1 2. Как пока-

133

30.7. Энергетические зоны в кристаллах. Металлы, полупроводники, диэлектрики

зывает расчет, энергия Ферми зависит от величины εF (T = 0 K), а также от температуры (εF незначительно уменьшается с ростом температуры).

Квантовое распределение Ферми–Дирака практически нечувствительно к температуре. При подводе энергии извне свободные электроны на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми, за счет взаимодействия с колеблющимися в узлах кристаллической решетки атомами переходят с занятых при T = 0 K уровней на свободные. Поэтому при T ¹ 0 K в области шириной порядка kT (средняя энергия теплового движения атомов имеет тот же порядок)

функция заполнения ячеек f «размывается» вблизи μ, рис. 30.6, а. Основная же

При энергиях (ε − μ) >> kT (в области «хвоста» кривой распределенияР f на рис. 30.6, а) согласно формуле (30.10) функция f переходит в функцию рас-

часть свободных электронов на более низких энергетических уровнях остается в прежнем состоянии и при нагревании поглощать энергию не будет.

пределения Больцмана, когда число доступных состоянийУзначительноИ больше числа частиц, способных занять эти состояния. В предельном случае больших

энергий фермионы ведут себя подобно классическим частицам. «Размытие»

становится несимметричным. Химический потенциал μ понижается с ростом
температуры Т. В этой области температур при T ¹Г0 K распределение характе-
ризуется значением μ, не совпадающим с энергией Ферми.
Физические свойства электронного		за Бсущественно зависят от соотно-
шения между температурой Т системы и зн чением химического потенциала
или температурой Ферми (т	ем	*
	п ратуройгавырождения) T * , равной εF k .
При T > T * ступенчатый харак	р распркделения f меняется на экспоненциаль-
т
ный. Рассмотрим два предельных случая:
о

1. kT << μ (случай емпера ур T << T ). В этом случае газ подчиняется

статистике Ферми–Дирака и называется вырожденным. Функция распределения для такого газаипракт чески совпадает с пунктирной кривой на рис. 30.6, а.

классической стат ст ке Максвелла–Больцмана и называется невырожденным.

2. kT >>ллμ (случай температур T >> T * ). Электронный газ подчиняется

Отметимб, что температура вырождения T* ≈ 104 −105 K. Поэтому многие свойстваимета ов можно понять, считая электроны проводимости идеальным вырожденным газом фермионов. Однако более полное и строгое объяснение свойствБметаллов дает зонная теория твердого тела.

Твердое кристаллическое тело рассматривается в зонной теории твердых тел как строго периодическая структура, в которой атомные ядра, неподвижные в узлах кристаллической решетки, создают периодическое электрическое поле. Валентные электроны в кристалле движутся не свободно, а в периодическом поле решетки. Взаимодействие данного электрона со всеми другими

134

электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер.

В

результате

квазинепрерывный

спектр

возможных значений энергии валентных элек-

тронов распадается на ряд чередующихся раз-

решенных и запрещенных зон, рис. 30.7. В

Запрещенные зоны

Разрешенные зоны

пределах разрешенных зон энергия изменяется

квазинепрерывно. Каждая из разрешенных зон

состоит

изблизко расположенных

подуровней,

Рис. 30.7. Схема зонной

число которых равно количеству атомов в кри-

структуры кристаллов

сталле. Ширина зон (разрешенных и запрещен-

E

Р

И

ных) не зависит от размеров кристалла. Состояния со значениями энергии, со-

У

ответствующими диапазону запрещенных зон, не могут реализоваться.

Возникновение

энергетических

зон

Г

можно объяснить модификацией энергетиче-

Б

ских уровней атомов при их сближении. При

сближении N одинаковых атомов каждый уро-

вень атома

распадается на N очень близких

а

подуровней из-за перекрытия электронных

ек

томов. Расстояние между подуров-

r2 r1 r

оболоч

Рис. 30.8. Схема расщепления

нями

~ 10−22 эВ.

Образуются

разрешенные

энергетических уровней

ге

заштрихован-

эн р

тичес ие зоны (3 − 5 эВ),

в кристалле при сближении атомов

ные на рис. 30.8. Уровни внутренних электро-

ет

нов расщепляются мало. В силу принципа Паули в каждую зону кристалла, со-

стоящую из N подуровней, мож «поместиться» не более 2N электронов.

но

1

2

1

На рис. 30.8 п каза

расщепление уровней как функция расстояния r

ри

2

между атомами. Для к

сталл в с разными свойствами равновесное расстояние

между соседними ат мами м жет быть r

или r . При расстоянии типа r

между

л

разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется за-

прещенная зона. П

асстоянии типа r

соседние зоны перекрываются.

Раз чия в э ектрических свойствах металлов,

полупроводников и ди-

ли

шириной

E

запрещенных энергетических зон;

электр ков о ъясняются: 1)

Б

2) различнымбзаполнением разрешенных энергетических зон. Необходимое ус- лов е электрической проводимости твердого тела – это наличие в разрешенной

зоне свободных энергетических уровней, на которые можно перевести электроны, прикладывая внешнее электрическое поле или повышая температуру.

Энергетическая область разрешенных электронных состояний в твердом теле, заполненная валентными электронами, называется валентной зоной. В основном состоянии (при T = 0 K) в полупроводниках и диэлектриках верхняя из заполненных энергетических зон – валентная зона – занята электронами полностью. Выше валентной зоны имеется полностью свободная от электронов зона – зона проводимости. Между данными зонами расположена запрещенная

135