Тема 22. Интерференция света

22.1.Когерентность и интерференция световых волн

Вволновой оптике рассматриваются такие оптические явления, как ин- терференция, дифракция и поляризация, в которых проявляется волновая при- рода света. Волновая теория света основывается на принципе Гюйгенса (1678):

каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных сфе-

рических волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. Р

Принцип Гюйгенса объясняет распространение световых волн, описы- ваемое законами геометрической оптики. И

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессовУ .

Степень согласованности называют степенью когерентности: чем луч- ше согласованность, тем выше степень когерентностиГ.

Два колебательных или волновых процессаБназывают некогерентными, когда они не согласованы друг с другом.

Монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны од- ной фиксированной частоты и постояннойамплитуды – когерентны.

Интерференция света – это сложениек в пространстве двух или несколь-ние источников

две монохроматические све овые волны с циклической частотой ω и с одина-
			т
ковым направлением к лебаний све овых векторов E1 и E2 . Согласно принци-
			о		2	2
пу суперпозиции образуе ся резуль ирующая гармоническая волна
		л	Eрез	= E1 cos(ωt + ϕ1) + E2 cos(ωt + ϕ2 )					(22.1)
				=	E1	+ E2 + 2E1E2 cosδ ,
	с амп тудой Eрез								(22.2)
где ϕ1	б
	и ϕ2	– начаиьные фазы колебаний, зависящие от координат источников
и точ	на	юдения М; разность фаз δ = ϕ2 −ϕ1 . Будем учитывать, что соглас-
ки
но формуле (21.5) интенсивность I световой волны пропорциональна квадрату
амплитуды светового вектора, т. е. I ~ E							2	.
В случае некогерентных волн разность фаз δ изменяется во времени слу-
чайным образом. Поэтому среднее по времени значение cosδ									= 0 и интенсив-
ностьБрезультирующего колебания в любой точке пространства М равна сумме
интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
				I рез = I1 + I2 ,					(22.3)

интерференция в этом случае отсутствует.

В случае суперпозиции когерентных волн разность фаз δ постоянна во времени и интенсивность результирующего колебания определяется как

14

I рез = I1 + I2 + 2 I1I2 cosδ .

(22.4)

При распространении когерентных волн в средах с различными показате- лями преломления разность оптических длин путей L2 и L1, проходимых волна-

ми, называется оптической разностью хода:

= L2 − L1 = s2n2 − s1n1,

разом, при сложении когерентных волн результирующая интенсивность в од-

где s1 и s2

– геометрические длины путей первой и второй волны, которые со-

ответственно распространяются в средах с показателями преломления n1

и n2 .

Можно показать, что разность фаз δ когерентных волн будет равна

δ = 2π (

s2

−

s1

) =

2π

,

(22.5)

λ

λ

λ

2

1

0

где λ0 – длина световой волны в вакууме;

– оптическая разность хода волн в

точке наблюдения М.

Р

При постоянной разности фаз возможны два крайних случая: если

cosδ = +1,

то результирующая интенсивность

I

рез

= I

1

+ИI + 2 I

1

I

2

;

если

2

cosδ = −1, то результирующая интенсивность I

рез

= I

1

+ I

− 2

I

1

I

2

. Таким об-

У2

Г

Б

них точках пространства будет больше суммы интенсивностей взаимодейст-

вующих волн (интерференционные максимумы), в других – меньше суммы ин- тенсивностей взаимодействующих волн (интерференционные минимумы).

Условие интерференционного м

симума:

если оптическая разность хода волн

авнар

четному числу полуволн в ва-

кууме (целому числу длин волн),колебаниято

, возбуждаемые обеими вол-

нами в точке М, будут происходи ь в фазе

е

= 2m

λ0

= mλ

(m = 0, ±1, ± 2,...),

(22.6)

2

0

где т – целое число (п ряд

к ин ерференции). В точках пространства, в кото-

т

рых наблюдаются нтерференционные максимумы, разность фаз когерентных

о

волн равна четному ч слу π :

и

.

(22.6а)

δ = 2mπ

Условие интерференционного минимума:

л

равна нечетному числу полуволн в ва-

ес оптическая разность хода волн

кууме, то о разуются интерференционные минимумы

б

= (2m +1)

λ0

2

(m = 0, ±1, ±2,...).

(22.7)

ли

При этом разность фаз когерентных волн равна нечетному числу π :

Б

.

(22.7а)

δ = (2m +1)π

Реальные источники не дают строго монохроматического света. В неза-

висимых источниках свет излучается атомами, каждый из которых испускает

свет лишь в течение ~ 10−8 с. Только в течение этого времени волны, испускае- мые атомом, имеют постоянные амплитуду и фазу колебаний. Независимые ко- герентные источники возможно получить, используя лазеры.

15

Немонохроматический свет можно представить в виде совокупности сменяющих друг друга коротких гармонических импульсов излучаемых атома- ми – волновых цугов.

Рассмотрим величины, используемые в качестве количественной меры степени когерентности световых колебаний, не зависящей от способа измере- ния интерференционной картины. Средняя продолжительность одного волно- вого цуга τког называется временем когерентности. Если при наложении вол- новых полей временной сдвиг τ между ними мал по сравнению с τког, то может быть получена четкая интерференционная картина. Иначе при τ >>τког интер-

ференционная картина наблюдаться не будет. Величина τког также ограничивает время измерения интерференционной картины.

Длина когерентности (длина цуга) – это расстояние, на которое пере-
		Р
	И
мещается волна за время когерентности. В вакууме длина когерентности равна
lког = cτког .	У

Длине когерентности соответствует максимально возможный порядок интер-

ференции mmax , начиная с которого полосы исчезают:
	mmax = lког λ = λ λ ,
где λ – длина волны;	λ – ширина спектрального интервалаГ		интерферирующе-
го света. Величина λ	λ характеризует степень монохроматичности света.
Временнáя когерентность – это		Б
		огерентность колебаний, совершаю-
щихся в одной и той же точке простр нс		. Н блюдение интерференции света

возможно лишь при выполнении условиятвавременной когерентности колебаний:

								< l	ког	= λ2	λ .
										к
					Э					Пространственная когерентность свето-
				S1				е
		S					вой волны от протяженного источника – это коге-
		φ		S2		I	рен нос ь колебаний в один и тот же момент вре-
							мени, но в разных точках плоскости, перпендику-
		R					т
							лярной направлению распространения волны. Она
	Рис. 22.1. Метод Юнга (1802):о
	свет от источника (ще ь S)						теряется, если разброс фаз в этих точках достигает
							π. Длина пространственной когерентности (ра-
	падает на узкие ще				S1	S2,
					и		диус когерентности) равна
	играющ			ро ь когерентных
				л							ρког ~ λ ϕ ,
		сточн ков (S1S2 = d)
	где ϕ –		бугловой размер источника относительно точки наблюдения. В опыте
	Юнгаиентерференционная картина наблюдается, если d < ρког . Линейный раз-
	мер источника				S должен удовлетворять условию пространственной когерент-
	ности:		S < λ R d , рис 22.1.
	Б

Общий принцип получения когерентных световых волн таков: волну, из- лучаемую одним источником света, разделяют некоторым способом на две час- ти, которые достигают точки наблюдения по разным путям. В результате меж- ду ними возникает разность хода. Классические методы наблюдения интерфе- ренции: метод Юнга, см. рис. 22.1, бипризма Френеля, зеркало Ллойда и т. д.

16

22.2. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников

A

Рассмотрим схему опыта Юнга, см. рис. 22.1.

.

s1

Две щели S1 и S2 на расстоянии d друг от друга яв-

ляются когерентными источниками света с длиной

S1

s2

x

d 2

волны λ. Экран Э параллелен щелям и находится от

d

ψ d 2

О

них на расстоянии l >> d ,

рис. 22.2. В области, где

S.2

l

Э

волны из этих источников перекрываются, – в зоне

Рис. 22.2. Схема наблюдения

интерференции на рис. 22.1 – возникает система

чередующихся максимумов и минимумов интенсив-

интерференции света

Р

ности, которую можно наблюдать на экране Э.

И

Интенсивность в произвольной точке А однородной среды определяется

оптической разностью хода интерферирующих лучей

= (s2 − s1)n . Поскольку

световые волны распространяются в воздухе,

У

то n ≈ 1 и

есть разность рас-

стояний

s1 и s2 от

источников

до

интересующей

нас

точки А.

Согласно

рис. 22.2

2

2

2

2

2

Б

2

= l

+ (x + d 2)

и

= l

+ (x − d 2)

,

s2

s1

откуда s2 − s2 = 2xd или D = s

- s

=

2xd

.

Г

2

1

2

1

а

s1 + s2

= xd .

Из условия l >> d

к

следует, что s

+ s

2

≈ 2l . Поэтому

1

l

е

Максимумы освещенности наблюд ются в точках с координатами

xd

= mλ

т

= m

l

λ

(m = 0, ±1, ± 2,...).

(22.8)

l

Þ

xmax

d

Положения минимумов осв щенности определяются координатами

xd

= (m +

1

)λ Þ

xmin = (m +

1

)

l

λ

(m = 0, ±1, ± 2,...).

(22.8a)

l

Расстояние

2

2

d

x между двумя соседними максимумами (минимумами) ин-

терференционной картоны называется шириной интерференционной полосы:

б

и Dx =

l

λ или Dx =

λ

,

(22.9)

d

ни

ψ

где ψ – угловоелрасстояние между источниками, т. е. угол, под которым видны

оба сточ

ка из центра экрана. Как видно на рис. 22.2, ψ = d l .

Распределение интенсивности. Рассмотрим идеализированный случай, когда сточники S1 и S2 строго монохроматические. В интересующую нас точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинако-

	вой амплитудой,			A = A = A . Тогда можно доказать согласно (22.4), что
	Б			1	2	0
		π d				I = I0 cos2 η x ,	(22.10)
	где η =		; I0 – интенсивность в максимумах, в минимумах I = 0. Данное идеа-
		λ l

лизированное распределение интенсивности I(х) достаточно хорошо согласует- ся с экспериментальным, показанным на рис. 22.1.

17