geometry24

Замечание. Оптические свойства эллипса,гиперболы и параболы широко используются в инженерном деле.Так,оптическое свойство параболы применяется при построении антенн,прожекторов и телескопов.

Следствие48.1. Эллипс и гипербола с общими фокусами пересекаются под прямым углом.

Доказательство. Пусть le и lh касательные в точке пересечения к эллипсу и гиперболе соответственно.По доказанной теореме,углы будут такими,как обозначено на рисунке(рис. 5).

Следовательно, 2 + 2β = и + β = /2.

§49.Аффинные преобразования

Определение. Преобразованием называется взаимно-однозначное отображение множества на себя.

Определение. Отображение плоскости(пространства)в себя называется аффинным преобразованием,если найдутся две такие аффинные системы координат,что координаты любой точки в одной из них являются координатами ее образа в другой.

Свойства аффинного преобразования:

1.Аффинное преобразование является преобразованием.

2.При аффинном преобразовании каждому вектору ставится в соответствие вектор,имеющий относительно второго репера те же координаты,которые его прообраз имел относительно первого.Это сразу же следует из того,что координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

3.Аффинное преобразование является линейным преобразованием:

f(λ1u1 + λ2u2 + . . . + λnun) = λ1f(u1) + λ2f(u2) + . . . + λnf(un).

Отсюда сразу же следует,что при аффинном преобразовании сохраняется линейная зависимость векторов,а значит,коллинеарные векторы переходят в коллинеарные,а компланарные в компланарные.Линейная независимость векторов также сохраняется(иначе существовало бы два различных вектора,образом которых является нулевой вектор).

4.Аффинное преобразование переводит прямые в прямые,а плоскости в плоскости,причем сохраняется свойство параллельности.

Доказательство. Уравнения прямых и плоскостей в первой системе координат совпадают с уравнениями их образов во второй системе координат.

Если две прямые(или две плоскости,или прямая и плоскость)параллельны,то их уравнения относительно первого репера удовлетворяют условиям параллельности. Их образы во второй системе координат имеют те же уравнения и,следовательно, удовлетворяют тем же условиям параллельности.

5.При аффинном преобразовании образ точки,делящей данный отрезок в определенном отношении,делит в том же отношении образ данного отрезка. Доказательство. Координаты точки,делящей отрезок в данном отношении,связаны с координатами концов отрезка определенными соотношениями,которые выполняются в обеих аффинных системах координат.

Определение. Простым отношением трех различных точек A1, A2, A3 на прямой называется такое число λ,что A1A3 = λA2A3 .Другими словами,это отношение,в котором точка A3 делит отрезок A1A2 .

91

Обозначение. Простое отношение трех точек A1, A2, A3 обозначается λ =

A1A3 .

A2A3

Тем самым,простое отношение является инвариантом аффинного преобразова-

ния.

Теорема49.1. Существует единственное аффинное преобразование,переводящее три точки плоскости A1, A2, A3 ,не лежащие на одной прямой,в другие три точки плоскости A01, A02, A03 ,также не лежащие на одной прямой.

Доказательство. Выберем первую систему координат с началом в точке A1 и единичными векторами e1 = A1A2 , e2 = A1A3 .Выберем вторую систему координат с

началом в точке A01 и единичными векторами e01 = A01A02 , e02 = A01A03 .

Каждой точке плоскости сопоставим точку плоскости,координаты которой во второй системе координат совпадают с координатами исходной точки в первой системе координат.Тем самым определено аффинное преобразование,которое удовлетворяет условию теоремы.

Аффинное преобразование,удовлетворяющее условию теоремы,единственно, поскольку любое аффинное преобразование,переводящее точки A1, A2, A3 в точки A01, A02, A03 ,переводит векторы e1 и e2 в векторы e01 и e02 соответственно.Тем самым, оно совпадает с найденным преобразованием.

Аналогичная теорема справедлива и для пространства.

Теорема49.2. Существует единственное аффинное преобразование,переводящее четыре точки пространства A1, A2, A3, A4 ,не лежащие в одной плоскости,в другие четыре точки пространства A01, A02, A03, A04 ,также не лежащие в одной плоскости.

Доказательство. Доказательство этой теоремы повторяет доказательство аналогичной теоремы для плоскости.

Теорема49.3. Пусть f аффинное преобразование,				Oe1e2e3 и O0e10 e20 e30 си-
стемы координат,фигурирующие в определении.Пусть				C матрица f ,завися-
щая от репера:по столбцам выписаны координаты векторов					ei0 в базисе e1, e2, e3 .
Пусть (x0, y0, z0) координаты точки O0		в первом репере.Рассмотрим произволь-
˜				(x, y, z) и (˜x, y,˜ z˜) в старом
ную точку P и ее образ P = f(P ).Тогда их координаты
репере связаны формулами
x˜	x	x0	A
@ z˜	A @ z	A @ z0
0 y˜	1 = C 0 y	1 + 0 y0	1	.	(49.1)

Обратно,если фиксирована аффинная система координат,то любая формула вида(49.1)с невырожденной матрицей C задает некоторое аффинное преобразование.

Аналогично для плоскости.

Доказательство. Таким образом,матрица C это матрица перехода от базиса e1, e2, e3 к базису e01, e02, e03 :

e01 e02 e03

=c11e1

=c12e1

=c13e1

+c21e2 + c31e3,

+c22e2 + c32e3,

+c23e2 + c33e3.

92

Для произвольной точки	P (x, y, z) и ее образа	˜	(все координаты даны в
		P = f(P )
начальном репере)имеем

˜ ˜ ˜

OP = OO0 + O0P, OO0 = x0e1 + y0e2 + z0e3, O0P = xe01 + ye02 + ze03,

˜

OP = x˜e1 + y˜e2 + z˜e3 = x0e1 + y0e2 + z0e3 + xe01 + ye02 + ze03 =

= x0e1 + y0e2 + z0e3 + x(c11e1 + c21e2 + c31e3)+ +y(c12e1 + c22e2 + c32e3) + z(c13e1 + c23e2 + c33e3)

x˜	1		xc11 + yc12 + zc13 + x0	1		x	1		x0	1 .
0 y˜		=	0 xc21 + yc22 + zc23 + y0		= C	0 y		+	0 y0
@ z˜	A		@ xc31 + yc32 + zc33 + z0	A		@ z	A		@ z0	A

Те же выкладки,проведенные в обратном порядке,показывают,что верно обратное утверждение.При этом условие невырожденности матрицы C гарантирует, что штрихованная система является репером,то есть линейно независима.

Следствие49.1. Действие f на векторах корректно определено в координатах

формулой	0	β˜ 1	= C	0	β	1	,
		˜
	@ γ˜ A			@ γ A
где ( ,β,γ ) координаты вектора u,				˜
			а (˜, β, γ˜) координаты вектора f(u).

Теорема49.4. При аффинном преобразовании плоскости(пространства)ориентированная площадь параллелограмма,построенного на двух векторах(ориентированный объем параллелепипеда,построенного на трех векторах),умножается на определитель преобразования.

Доказательство. Докажем теорему для плоскости.Для пространства доказательство аналогично.

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат и заданы два вектора

a = ( 1, 2) и b = (β1, β2).

Ориентированная площадь параллелограмма,построенного на этих векторах,нахо-

дится по формуле	"			"
		1	2
Sor(a, b) =	"			"
	"	β1	β2	" .
	"			"

При аффинном преобразовании f плоскости с матрицей C векторы a, b пере-

ходят в векторы ˜ ˜ ˜ ˜ ,где a = (˜1, ˜2), b = (β1, β2)

		˜1 = c11 1 + c12 2, ˜2 = c21 1 + c22 2,
		˜		˜	= c21β1 + c22β2,
		β1	= c11β1 + c12β2, β2
Таким образом,				"	"				"	"
"	c11 1 + c12 2		c21 1 + c22 2			c11	c12				1
"				"	"				"	"
Sor(a˜, b˜) = "	c11β1 + c12β2 c21β1 + c22β2			" =	"	c21	c22		"	· "	β1
Для трех"		векторов в пространстве справедлива" "						формула" "

˜ ˜ ˜ ·

(a, b, c) = det C (a, b, c).

"

2 """ = det C · Sor(a, b).

β2

93

Следствие49.2. При аффинном преобразовании плоскости(пространства)отношение ориентированных площадей параллелограммов(объемов параллелепипедов) сохраняется.

Вычисление площадей любых многоугольников посредством триангуляции(разбиения на треугольники)сводится к вычислению площадей треугольников,а следовательно,параллелограммов.Площади и объемы любых фигур и тел предельным переходом сводятся к площадям параллелограммов и объемам параллелепипедов.

Теорема49.5. При аффинном преобразовании площади и объемы любых фигур умножаются на определитель преобразования,а отношения площадей и объемов сохраняются.

94

ЛЕКЦИЯ15.ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЕ

§50.Движения и изометрические преобразования

Определение. Движением называется аффинное преобразование,когда обе рассматриваемые аффинные системы координат прямоугольные,и масштаб в них одинаковый.

Определение. Аффинное преобразование f называется изометрией,если оно сохраняет расстояния между точками:

%(f(P ), f(Q)) = %(P, Q).

Теорема50.1. Всякое изометрическое преобразование плоскости или пространства является движением.Всякое движение является изометрическим преобразованием.

Доказательство. Поскольку изометрия сохраняет расстояния,то она сохраняет и углы между прямыми.Это следует из равенства двух треугольников по трем сторонам.Равные треугольники имеют равные углы.Следовательно,прямоугольный репер переходит в прямоугольный,и масштаб сохраняется.

Докажем,что всякое движение является изометрическим преобразованием.Рассмотрим в системе координат Oijk точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2).Тогда их

образы ˜ ˜ в системе координат 0 0 0 имеют те же координаты.Найдем рас-

M1, M2 Oi j k

стояния между точками и их образами в первой и второй системах координат соответственно:

M M = (x x )2 + (y y )2 + (z z )2,
|M˜	1M˜2|	= p	1 − 2	1 − 2	1 − 2	.
			(x x )2	+ (y y )2	+ (z z )2
|	1 2|	p 1 − 2		1 − 2	1 − 2

Очевидно,что эти расстояния равны.

§51.Движения плоскости

Определение. Преобразование,заданное в некоторой прямоугольной системе координат формулами

x˜ = x + a, y˜ = −y,

называется скользящей симметрией.Это композиция симметрии относительно некоторой прямой и сдвига вдоль нее.

Теорема51.1. (Шаль) Всякая изометрия является либо параллельным переносом,либо поворотом относительно некоторой точки,либо скользящей симметрией относительно некоторой прямой.

Доказательство. Ортогональные матрицы второго порядка имеют один из следующих двух видов:

cos '	sin '		cos '	sin '	.
C = sin '	−cos '		, C = sin '	−cos '

Рассмотрим сначала изометрии с det C = 1 (изометрии первого рода,или собственные движения).Найдем неподвижные точки отображения f ,то есть такие точки

95

P ,что f(P ) = P .Имеем для нахождения координат (x , y ) неподвижной точки уравнения

x˜ = x cos ' − y sin ' + x0 = x , y˜ = x sin ' + y cos ' + y0 = y ,

x (cos ' − 1) − y sin ' = −x0, x sin ' + y (cos ' − 1) = −y0.

Определитель данной системы			−		"
"	cos ' − 1					= (cos '		1)2 + sin2 '
"					"		−
"	sin '	cos '		1	"
равен нулю только в"	том случае,когда одновременно"								cos ' = 1, sin ' = 0,т.е. ' =

2 k, (k 2 Z).

В этом случае имеем следующие формулы,связывающие координаты точки и ее

образа	y˜	=	y	+	y0
	x˜		x		x0

движение является параллельным переносом на вектор (x0, y0).

Во всех остальных случаях определитель системы положителен,следовательно, неподвижная точка P (x , y ) существует и единственна.Рассмотрим новую систему координат (x0, y0),заданную соотношениями

x0 = x − x , y0 = y − y

(то есть перенесем начало координат в точку P ).В новой системе координат формулы преобразования f будут иметь вид

x˜0 = x0 cos ' − y0 sin ', y˜0 = x0 sin ' + y0 cos ',

то есть преобразование является поворотом на угол '.

Таким образом,всякое собственное движение плоскости является либо параллельным переносом,либо поворотом вокруг некоторой точки.

Рассмотрим теперь изометрию второго рода (det C = −1),или несобственное движение.Покажем,что в этом случае существует неподвижный(свободный)вектор.Имеем для его координат ( ,β ) систему уравнений

cos ' + sin 'β = ,

sin ' − cos 'β = β,

cos ' − 1

sin ',

=

0 .

При этом

sin '

−(cos ' + 1)

β

0

"

cos ' − 1

−

"

sin ',

= 1

−

cos2 '

−

sin2 ' = 0

"

"

sin '

(cos ' + 1)

"

"

для любого угла "'.Поэтому существует ненулевое"

решение системы

( ,β ).Реше-

нием также будет и любой вектор,получающийся из вектора ( ,β )

умножением

96

на ненулевую константу.Рассмотрим систему координат с тем же началом,что и исходная,и с базисными векторами

	e10	1			( ,β ), e20			1		(−β, ).
		=				=
			p				p
				2 + β2					2 + β2
Поскольку f(e10 ) = e10 ,то в первом столбце матрицы преобразования											C0 стоят
координаты вектора		e10 = (1, 0).Так как				C0		ортогональна,и det C0			= −1,то
1	0
C0 = 0	−1 .Значит,в штрихованной системе координат f определяется фор-
мулами					x˜0 = x0 + x00 ,
					y˜0 = y0	+ y0		,
					−	0

где x00 и y00 некоторые константы.Перейдем к новой системе координат (x00, y00),

положив

x00 = x0, y00 = y0 − y00 .

2

Тогда для образа (˜x00, y˜00) точки (x00, y00) имеем

x˜00 = x00 + x00, y˜00 = y˜0 − y200 = −y0 + y00 − y200 = −y00 − y200 + y00 − y200 = −y00,

то есть скользящую симметрию относительно оси O00x00 .

Таким образом,любое несобственное движение является скользящей симметри-

ей.

Параллельный перенос,иди сдвиг,характеризуется каждым из следующих свойств:

1)при сдвиге,который не является тождественным преобразованием,ни одна точка не остается неподвижной;

2)при сдвиге каждый свободный вектор переходит сам в себя,т.е.инвариантен. Поворот,не являющийся тождественным преобразованием,характеризуется

каждым из следующих свойств:

1)имеется единственная неподвижная точка;

2)ни один ненулевой вектор не инвариантен.

§52.Движения пространства

Определение. Винтовое вращение композиция поворота относительно некоторой прямой и сдвига вдоль нее;

скользящая симметрия композиция симметрии относительно некоторой плоскости и сдвига параллельно ей;

зеркальное вращение композиция поворота относительно некоторой прямой и симметрии относительно перпендикулярной ей плоскости.

Лемма52.1. Любая ортогональная матрица третьего порядка имеет собственное число,равное ±1,и вещественный собственный вектор,принадлежащий данному собственному числу.

Доказательство. Характеристический полином матрицы третьего порядка имеет третью степень.Поскольку корни любого полинома с вещественными коэффициентами либо вещественные,либо пары комплексно-сопряженных чисел,то у этого полинома есть по крайней мере один вещественный корень.

97

Так как мы рассматриваем изометрию,то длина собственного вектора,соответствующего вещественному собственному числу,измениться не может.Следовательно, модуль вещественного собственного числа равен 1.Таким образом,оно равно 1 или

−1.

Теорема52.1. Всякая изометрия пространства является одним из следующих преобразований:

1)винтовое вращение(в частности,параллельный перенос);

2)скользящая симметрия;

3)зеркальное вращение.

Доказательство. Выберем ортонормированный базис,взяв в качестве i собственный вектор из леммы.Тогда в этом базисе матрица f будет иметь вид

0	±1	0	1
@	0	G	A ,
	0

где G ортогональная матрица второго порядка.

Действительно,поскольку в матрице преобразования f первый столбец это координаты образа вектора i в базисе i, j, k,то этот столбец может только иметь вид

0	1
	±0 1.Матрица	G будет ортогональной,так как матрица										f ортогональна.
@	0		1.Тогда из доказательства										j и k
	Пусть det G =								теоремы51.1следует,что
	A	−
							1	0	,а для матрицы f мы имеем две
можно выбрать таким образом,что G = 0								−1
возможности				1	0	0			1	0	0
			@				A	@				A
				0	0	−1			0 0		−1
		C = 0		0	1	0	1 , C =	0	−0 1		0	1 .

По тем координатам,где −1,произведем сдвиг,как в теореме51.1.В результате получим в новой системе координат два варианта формул f :

x˜0 = x0 + x00 ,		x˜0 = −x0,
y˜0	= y0 + y00 ,	y˜0	= y0 + y00 ,
z˜0	= −z0,	z˜0	= −z0.

В первом случае имеем скользящую симметрию,а во втором винтовое вращение

на угол .			.Если ' = 0 (с точностью
	cos '	sin '
Пусть теперь det G = 1.Тогда	G = sin '	−cos '

до 2 k (k 2 Z ),то получаем либо параллельный перенос(частный случай винтового вращения),либо,если в левом верхнем углу стоит −1,сделав“сдвиг на половину свободного члена”,отображение с формулами

x˜0 = −x0,

y˜0 = y0 + y00 , z˜0 = z0 + z00 ,

то есть скользящую симметрию.Если ' 6= 0,то так же,как в соответствующей части доказательства теоремы51.1,найдем неподвижную точку (x , y ) и произведем соответствующий сдвиг таким образом,что в новой системе координат (x0, y0, z0)

98

формулы f будут

x˜0	=	±	x0 + x0 ,
			0
y˜0	= y0		cos ' − z0 sin ',
z˜0	= y0		sin ' + z0 cos '.

В случае знака“плюс”получим винтовое вращение.В случае знака“минус”,сделав опять“сдвиг на половину свободного члена”,получим отображение,которое задается формулами

x˜0 = −x,

y˜0 = y0 cos ' − z0 sin ', z˜0 = y0 sin ' + z0 cos ',

то есть зеркальное вращение.

Таким образом,собственное движение пространства это винтовое вращение, несобственные движения пространства это скользящая симметрия и зеркальное вращение.

§53.Подобие

Преобразования подобия являются естественным обобщением движений.

Определение. Преобразование f называется преобразованием подобия,если существует такое положительное число k,называемое коэффициентом подобия,что для любых двух точек M1, M2

%(f(M1), f(M2)) = k%(M1, M2).

Определение. Равномерным растяжением,или гомотетией пространства или плоскости с центром O и коэффициентом k называется преобразование f ,остав-

ляющее точку O на месте,а любой другой точке	M ставящее в соответствие точку
˜	˜
M = f(M),лежащую на луче OM и такую,что	OM = kOM.

Замечание. Слово“растяжение”соответствует наглядной картине преобразования только для k > 1,при k < 1 имеем сжатие,а при k = 1 движение.

Докажем некоторые свойства гомотетии:

1. Всякое растяжение является преобразованием подобия.

Доказательство. Пусть при гомотетии с центром O и коэффициентом k точки M1

и M2	˜	˜	соответственно(рис. 1).Тогда		˜	= kOM1		и
	переходят в точки M1	и M2			OM1
˜			˜ ˜			˜ ˜	| =
OM2	= kOM2 .Треугольники OM1M2 и OM1M2			подобны,следовательно, |M1M2

k|M1M2|,что и требовалось доказать.

2. Гомотетия с центром O и коэффициентом k является аффинным преобразованием.

99

Доказательство. Докажем это свойство для плоскости.Доказательство для пространства аналогично.

Выберем произвольную аффинную систему координат Oe1e2 .Пусть		M(x, y)
произвольная точка плоскости,	˜
	M(˜x, y˜) ее образ при данной гомотетии.Тогда
˜
имеем равенство OM = kOM,которое эквивалентно системе равенств
	x˜ = kx, y˜ = ky,	(53.1)

которая и доказывает утверждение.

3. Любое преобразование,которое в некоторой аффинной системе координат Oe1e2 записывается формулами(53.1),является гомотетией с центром O и коэффициентом k.

Доказательство. Это преобразование оставляет точку O на месте,а любой вектор

˜	+ y˜e2	= kOM,откуда сразу же
OM = xe1 + ye2 переводит в вектор OM = x˜e1
следует требуемое.

Замечание. Тем самым,гомотетия с центром O и коэффициентом k может быть определена как преобразование,которое в какой-либо аффинной системе координат с началом в точке O записывается в виде(53.1).

Теорема53.1. Всякое преобразование подобия f с коэффициентом подобия k является гомотетией с произвольным центром O и некоторым движением(собственным или несобственным).

Доказательство. Выберем произвольный центр O и рассмотрим преобразование g гомотетию с центром O и коэффициентом 1/k.Поскольку при преобразовании f длины всех отрезков умножились на k,а при преобразовании g они умножились на 1/k,то если сначала сделать преобразование f ,а потом преобразование g,то длины всех отрезков останутся неизменными.Следовательно,данное преобразование является некоторым движением h.

Тем самым,вместо того,чтобы сделать преобразование f ,можно сначала сделать преобразование h,а затем сделать растяжение с центром O и коэффициентом k,что и доказывает теорему.

100