geometry24

§65.Объекты проективной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . 121
§66.Связка как модель проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 123
§67.Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке . . . . . . . .	. . . . . 124
§68.Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах . . . . . . . . . . .	. . . . . 125
§69.Координаты прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 126
Лекция20.Принцип двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .128
§70.Принцип двойственности для проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 128
§71.Проективная система координат в связке и на проективной плоскости	. . . . . 131
Лекция21.Замены координат и преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .134
§72.Замены координат на проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 134
§73.Проективные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 136
§74.Проективно-аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 137
§75.Проективная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 138
§76.Кривые второго порядка на проективной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 140
Лекция22.Вектор-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .142
§77.Векторная функция.Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 142
§78.Производная и дифференциал вектор-функции скалярного аргумента	. . . . . 143
§79.Интеграл вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 146
§80.Годограф вектор-функции.Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 146
Лекция23.Элементы теории кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .148
§81.Понятие кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 148
§82.Регулярная кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 150
§83.Особые точки регулярных плоских кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 151
Лекция24.Касательная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .155
§84.Касательная к кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 155
§85.Касательная к кривой,заданной неявными уравнениями . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 157
Лекция25.Соприкосновение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .161
§86.Соприкасающаяся плоскость кривой.Нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 161
§87.Соприкосновение кривых.Огибающая семейства кривых,зависящих от па-
раметра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 163
§88.Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 166
Лекция26.Кривизна и кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .169
§89.Вычисление длины дуги и естественная параметризация кривой . . . . . .	. . . . . 169
§90.Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 170
§91.Кручение кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 173
Лекция27.Формулы Френе.Эволюта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .176
§92.Формулы Френе.Натуральные уравнения кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 176
§93.Эволюта плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 179
Лекция28.Эвольвента.Поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .182
§94.Эвольвента плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . 182
§95.Элементарная поверхность.Простая поверхность.Общая поверхность	. . . . . 184
§96.Регулярная поверхность.Аналитическое задание поверхности . . . . . . . . .	. . . . . 186
Лекция29.Особые точки.Касательная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .188

221

§97.Особые точки регулярной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	188
§98.Касательная плоскость к поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	192
Лекция30.Огибающая семейства поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	195
§99.Огибающая семейства поверхностей,зависящего от одного или двух пара-
метров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	195
§100.Огибающая семейства плоскостей,зависящих от одного параметра . . . . . . .	197
§101.Первая квадратичная форма поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	199
§102.Длина кривой на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	199
Лекция31.Углы и площади.Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . .	201
§103.Угол между кривыми на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	201
§104.Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	201
§105.Конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	203
§106.Вторая квадратичная форма поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	205
Лекция32.Кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	207
§107.Кривизна кривой,лежащей на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	207
§108.Асимптотические направления.Асимптотические линии.Сопряженные на-
правления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	208
§109.Главные кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	209
§110.Связь между главными кривизнами и нормальной кривизной . . . . . . . . . . . . .	211
Лекция33.Некоторые типы поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	213
§111.Средняя и гауссова кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	213
§112.Геометрический смысл второй квадратичной формы поверхности . . . . . . . . .	214
§113.Линейчатые поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	214
§114.Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	216
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	218

222