geometry24

Пример37.2. Определить вид и расположение кривой

x2 − 4xy + 4y2 + 4x − 3y − 7 = 0.

Решение. 1. Собственные числа матрицы Q:

det(Q − λE) =	"	−	−	"	= λ2 − 5λ = λ(λ − 5).
	"	1 −2λ	4−2λ	"
	"			"
	"			"

Собственные векторы матрицы Q (достаточно найти собственный вектор,соответствующий λ1 = 0):

Q − λ1E = −2	−4			,												−2					−4						β			=	0 .
1		2																1			2										0
Отсюда ( 1, β1) = (2, 1) и
e0		=			(2, 1)								, e0 =							(−1			,		2)	.
	1					p5										2					p5
2. Матрицы C и L0 имеют вид
	p							p								= p5										1	−2			,
C = 1/p5				−2/p5
2/		5		1/										5							1					2	1
																											p
				1												2					1							5
																														, −p5! .
L0 = LC = (2, −3/2) · p														1					−2 =
																											2
									5
Промежуточное уравнение кривой:
5y	02			p			0									p			0		− 7 = 0.
		+ 5x								− 2 5y

3. Выделяем полный квадрат по y0 (делаем параллельный перенос):

											1		2
						5 y0							+ p5x0 − 8 = 0,
							− p
												5
							1					2					8
					5 y0 − p								+ p5 x0 − p									= 0,
										5										5
								5y002 + p								x00 = 0,
		p				p								5
где x0	= x00				= y00
		+ 8/ 5, y0				+ 1/	5.

В полученном уравнении перенесем p5x00 в правую часть,а затем все поделим

на 5:	1
y002				(−x00)
	= 2	p

25

это каноническое уравнение эллипса(очевидно,что необходимо изменить направление новой оси абсцисс).

4.Теперь найдем координаты начала новой системы координат:

y0	= C	1/p			=	2 .
			5
x0		8/p5				3

71

Тем самым(рис. 2),в системе координат с началом O0 = (3, 2) и базисными векторами −e01, e02 имеем параболу

y002		1		x00.
	= 2	2p
			5

§38.Инварианты многочлена второй степени

Определение. Функция J от коэффициентов многочлена F называется инвариантом,если она не меняется при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой,то есть

J(a11, a12, a22, a1, a2, a0) = J(a011, a012, a022, a01, a02, a00).

Рассмотрим переход от (x, y) к другой прямоугольной системе координат (x0, y0):

		x	c11		c12		x0		x0
		y = c21 c22				y0		+ y0 ,
c11	c12
где C = c21	c22 произвольная ортогональная матрица.Наряду с C рассмот-
рим матрицу
					c11	c12	x0
		D =		0 c21 c22 y0				1 .
Тогда выполняется соотношение				@	0	0	1	A
	x		x0	1		c11 c12 x0			x0	1 .
	0 y	1 = D 0 y0			= 0 c21 c22 y0				1 0 y0
	@ 1	A @	1	A @ 0			0 1		A @ 1	A

Лемма38.1. Матрица A0 ,соответствующая многочлену

F 0(x0, y0) = F (x(x0, y0), y(x0, y0)),

связана с матрицей A формулой

A0 = DT AD.

Доказательство.

			x			x		T	x
		@		A	@		A	@		A
F 0	(x0		1			1			1
		, y0) = (x, y, 1)A 0 y		1	= 0 y		1	A 0 y		1 =

0D

x

11

T

x

1

x

1 .

=

0 y00

AD

0 y00

= (x0, y0, 1)DT AD

0 y00

@

@

1

AA

@

1

A

@

1

A

И поскольку это верно для любого вектора (x, y, 1)T , то A0 = DT AD.

72

Напомним(см.доказательство леммы36.3,что для матрицы		Q справедлива
формула	Q0 = CT QC.
Обозначим через S = Sp Q,δ	= det Q, = det A.Коэффициенты характеристи-
ческого полинома матрицы Q выражаются через S и δ :
χQ(λ) = λ2 − (a11 + a22)λ + (a11a22 − a122 ) = λ2 − Sp Qλ + det Q = λ2 − Sλ + δ.
Теорема38.1. Величины S,δ и	являются инвариантами

Доказательство. Докажем сначала инвариантность S и δ .Рассмотрим,как изменятся коэффициенты характериситческого полинома матрицы Q при переходе к другой прямоугольной системе координат.

χQ0 (λ) = det(Q0 − λE) = det(CT QC − λE) = det(CT QC − λCT C) = det(CT (Q − λE)C) =

= (det C)2 det(Q − λE) = χQ(λ).
Коэффициенты характеристического полинома не изменяются,а значит, S и δ	ин-
вариантны.Кроме того,инвариантами являются и собственные числа матрицы	Q.
Теперь посмотрим,как изменится :
0 = det A0 = det(DT AD) = det A det D det DT = det A det D2 = det A = .
Тем самым,теорема доказана.

§39.Полуинвариант

Введем еще одну функцию коэффициентов уравнения второй степени,которая не изменяется при выполнении определенных условий.Именно в связи с этим она и называется полуинвариантом.

	Определение. Функция K	"			"		"			"
			a11	a1				a22 a2
	K =	"			"	+	"			"
			a1	a0				a2 a0
		"			"		"			"
	называется полуинвариантом,или"		семиинвариантом" "						.	"

Теорема39.1. Функция K является инвариантом относительно поворота системы координат.

Доказательство. Действительно,в этом случае матрица D имеет вид

01

c11 c12 0

D = @ c21 c22 0 A ,

0 0 1

и она ортогональная.Следовательно,при таких заменах координат коэффициенты характеристического полинома матрицы A не изменяются(доказательство этого в точности повторяет рассуждение о коэффициентах характеристического полинома матрицы Q).Найдем характеристический полином матрицы A:

"	a11 − λ	a12	a1	"
"			−	"
"	a12	a22 λ	a2	"	=
"		a−2		"
"	a1		a0	"
"				λ "

73

3

"

a11

2

"

"

a11

a1

"

"

a22

= −λ3 + (a11 + a22 + a0)λ2 −

"

a12

a22

" +

"

a1

a0

"

+

"

a2

−

"

−"

"

"

"

=

λ + ("a0 + S)λ

"

(K"

+ δ)λ +"

, "

"

a2 """ λ + = a0

откуда сразу же следует требуемое,поскольку δ остается неизменным(см.теоре-

му38.1).

Теорема39.2. Если = δ = 0,то K является инвариантом и относительно параллельного переноса.

Доказательство. Поскольку поворотом системы координат можно добиться того, чтобы коэффициент при x0y0 был равен нулю,то можно сразу считать,что a12 = 0.Поскольку в этом случае δ = a11a22 = 0,то без ограничения общности можно считать,что a11 = 0, а a22 6= 0.Из того что

	"	a1	a2	a0	"	−
	"	0	0	a1	"
=	"	0	a22	a2	"	= a12a22	= 0
	"				"
	"				"		вид	F = a22y	2	+ 2a2y + a0 .
получаем a1 = 0.Тогда уравнение"			кривой принимает"

Рассмотрим сдвиг

x = x0 + x0, y = y0 + y0.

Имеем

F 0 = a22(y0 + y0)2 + 2a2(y0 + y0) + a0 = a22(y0)2 + 2(a22y0 + a2)y0 + (a22y02 + 2a2y0 + a0) =

a022 = a22, a02 = a22y0 + a2, a00 = a22y02 + 2a2y0 + a0.

При этом	0				1			0				1 .
		0	0	0		, A0			0	0	0
A =		0	a22	a2			=		0	a220	a20
Тогда K = a22a0 − a22 , а	@	0	a2	a0	A			@	0	a20	a00	A

K0 = a22(a22y02 + 2a2y0 + a0) − (a22y0 + a2)2 = a22a2 − a22 = K.

Замечание. Все указанные инварианты и полуинвариант не сохраняются при домножении уравнения на ненулевой множитель.

74

ЛЕКЦИЯ12.ВИД КРИВОЙ И ИНВАРИАНТЫ

§40.Определение канонического уравнения по инвариантам

Иногда бывает необходимо определить вид кривой,а нахождения канонической системы координат не требуется.В этом случае и используют инварианты.

Лемма40.1. Уравнения

1)F (x, y) = λ1x2 + λ2y2 + , (λ1, λ2 6= 0);

2)F (x, y) = λ2y2 + 2b1x, (λ2, b1 6= 0);

3)F (x, y) = λ2y2 + , (λ2 6= 0)

однозначно определяются по инвариантам.

Доказательство. При приведении уравнения второй степени к виду1), 2)или3) делаются только замены прямоугольных координат,поэтому все инварианты сохраняются.

Вычислим инварианты для каждого из трех видов уравнений.

			0	λ	0	0	1, δ = λ1λ2, S = λ1 + λ2, = λ1λ2 .
1)	A =			01	λ2 0
			@	0	0	b1	A
	A = 0			0	0		1, δ = 0, S = λ2, = −λ2b12 .
2)				0 λ2		0
			@	b	0	00	A
	и			01	0
			@			A
3)	A =		0 0 λ2			0 1, δ = 0, S = λ2, = 0.
				0	0
λ1		λ2	собственные числа матрицы Q.

Уравнение кривой приводится к типу1)тогда и только тогда,когда δ 6= 0, к типу2) тогда и только тогда,когда δ = 0, 6= 0,к типу3) тогда и только тогда, когда δ = = 0.

В случае1)	λ1	и λ2 ненулевые корни χQ(λ), а = /δ .
В случае2)		ненулевой корень χQ(λ), а b1 = q		.
	λ2		−λ2

В случае3) λ2 ненулевой корень χQ(λ),и здесь необходим полуинвариант

K = λ2 ,с помощью которого находим = K .

λ2

Теорема40.1. Следующая таблица дает необходимые и достаточные условия принадлежности кривой второго порядка к одному из девяти видов в терминах инвариантов:

1.Эллипс	δ >0		S	< 0
2.Мнимый эллипс	δ > 0		S	> 0
3.Пара мнимых пересекающихся прямых	δ > 0			6= 0	= 0
4.Гипербола	δ < 0
5.Пара пересекающихся прямых	δ < 0			6= 0	= 0
6.Парабола	δ = 0
7.Пара параллельных прямых	δ =	= 0	K < 0
8.Пара мнимых параллельных прямых	δ =	= 0	K > 0
9.Пара совпадающих прямых	δ =	= 0	K = 0

75

Доказательство. Докажем теорему для гиперболы.Каноническое уравнение гиперболы

x2

y2

@

1/a2

0

0

A

−

−

0

0

−1

F (x, y) = a2

b2 = 1, матрица A =

0

0

1/b2

0

1

,

инварианты

1

1

1

1

1

1

δ =

−

< 0, S =

−

, =

−

(−1) 6= 0.

a2

b2

a2

b2

a2

b2

При переходе к другой прямоугольной системе координат инварианты не изменятся.При умножении уравнения на ненулевую константу знак δ не изменится,а не станет равным нулю.

Обратно,рассмотрим квадрику с δ < 0, 6= 0.Тогда ее уравнение приводится к виду1) ( δ 6= 0):

F (x, y) = λ1x2 + λ2y2 + = 0 (λ1λ2 6= 0),

01

A = @	λ1	0	0	A , S = λ1 + λ2, δ = λ1λ2, = λ1λ2 .
	0	λ	0
	0	02

Так как δ < 0,то λ1 и λ2 разных знаков.Поскольку = λ1λ2 6= 0,то 6= 0. Перенесем в правую часть и поделим уравнение на − ,получим каноническое уравнение гиперболы.

Пример40.1. Определить тип кривой второго порядка и найти ее каноническое уравнение:

3x2 − 2xy + 3y2 − 2x − 10y − 13 = 0.

Решение. Вычислим инварианты:

0

3

−1

−1

1

A =

@

−1

−5

−13

A

, δ = 8 > 0, S = 6,

=

−

6

−1

3

−5

192 = 0.

Итак, δ 0, S < 0,и это эллипс.

Найдем его каноническое уравнение.

"

−

−

"

χQ(λ) = " 3

−1λ

3−1λ

" = (3 − λ)2 − 1 = (2 − λ)(4 − λ).

"

"

"

"

Тем самым, λ1 = 2, λ2 = 4, =

/δ = −192/8 = −24.Тогда каноническое уравнение

имеет вид

x2

y2

x2

y2

= 1, или

+

(2p

+

(p

= 1.

12

6

3)2

6)2

Пример40.2. Определить тип кривой второго порядка и найти ее каноническое уравнение:

x2 + 4xy + 4y2 − 6x − 12y + 8 = 0.

76

Решение. Вычислим инварианты:

@	1	2	3	A	−
	−3	−6	−8
A = 0	2	4	−6	1	, δ = 0, S = 5, = 0, K = 5.

Итак, δ = = 0, K < 0,и это пара параллельных прямых.

Найдем каноническое уравнение.Здесь характеристический полином матрицы Q можно не вычислять,поскольку и так ясно,что один его корень нулевой,а второй

равен 5 (S = λ1 + λ2 = 0 + λ2	= λ2 = 5).Найдем		: = K/λ2 = −5/5 = −1. И
каноническое уравнение имеет вид
5y2	− 1 = 0, или y2 −	1	= 0.
		5

§41.Распадающиеся кривые

Определение. Алгебраическая кривая F (x, y) = 0 называется распадающейся,если F = F1 · F2 ,где F1 и F2 многочлены ненулевой степени.

Очевидно,что если кривая является распадающейся в некоторой аффинной системе координат,то она будет распадающейся и в любой другой аффинной системе координат.Действительно,при переходе к новой системе координат степени многочленов не изменяются,и каждый многочлен-сомножитель преобразуется независимо от других сомножителей.Тем самым,справедлива следующая теорема.

Теорема41.1.	Кривая второго порядка является распадающейся тогда и только
тогда,когда	= 0.

Доказательство. Как было доказано,уравнение кривой второго порядка приводится к одному из видов1), 2), 3).Распадающимися из этих кривых являются кривые, для которых = 0.Обратно,если = 0,то уравнение кривой приводится к виду, из которого следует,что кривая является распадающейся.

§42.Центры кривых второго порядка

Определим наиболее простой вид,к которому приводится уравнение второй степени с помощью параллельного переноса.Для этого в уравнении

F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0

(42.1)

произведем замену координат по формулам

x = x0 + x0, y = y0 + x0 :

a11(x02 + 2x0x0 + x20) + 2a12(x0y0 + x0y0 + y0x0 + x0y0) + a22(y02 + 2y0y0 + y02)+ +21(x0 + x0) + 2a2(y0 + y0) + a0 = a11x02 + 2a12x0y0 + a22y02+

+2(a11x0 + a12y0 + a1)x0 + 2(a12x0 + a22y0 + a2)y0 + F (x0, y0).

Таким образом,коэффициенты квадратичной части не изменяются.Если мы хотим выбрать начало координат так,чтобы уничтожить члены с x0 и y0 ,мы должны его выбрать из решений системы уравнений

a11x + a12y + a1 = 0, a12x + a22y + a2 = 0.

(42.2)

77

тами.Эта производная обозначается

Пример42.1.

Определение. Частной производной функции F (x1, x2, . . . , xn) по xj называется обычная производная F по xj ,когда все остальные переменные считаются констан-

@F . @xj

F (u1, u2, u3) = u1 + eu1u2 + sin(u2u3)

@F		u1u2		@F	u1u2		@F
	= 1 + u2e		,		= u1e	+ u3 cos(u2u3),		= u2 cos(u2u3).
@u1				@u2			@u3

Тем самым,систему уравнений(42.2)можно записать в терминах частных производных:

1 @F			(x0, y0) = 0,	1 @F			(x0, y0) = 0.
2 @x				2 @y

Определение. Точка с координатами (x0, y0),удовлетворяющими системе уравнений(42.2),называется центром кривой(62.1).

Теорема42.1. Любой центр кривой второго порядка является ее центром симметрии.При условии,что кривая содержит хотя бы одну точку,любой центр симметрии этой кривой является ее центром.

Доказательство. Докажем сначала,что любой центр кривой будет ее центром симметрии.

Уравнение кривой в системе координат с началом в центре имеет вид

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + a0 = 0

Это уравнение не изменяется при замене (x, y) на (−x, −y),следовательно,вместе с любой точкой данная кривая содержит и точку,симметричную ей относительно начала координат.Таким образом,начало координат является центром симметрии кривой.

Теперь перейдем к доказательству второго утверждения.Пусть точка (0, 0) является центром симметрии кривой

F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0.

Для доказательства утверждения теоремы достаточно доказать,что a1 = a2 = 0. Если точка с координатами (x, y) лежит на этой кривой,то и точка с координатами (−x, −y) принадлежит данной кривой,т.е.выполняется условие

F (−x, −y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 − 2a1x − 2a2y + a0 = 0.

Складывая полученные два уравнения и деля их сумму пополам,получаем

a1x + a2y = 0,

т.е.все точки кривой второго порядка принадлежат прямой.Это возможно только в одном из двух случаев: 1)кривая является парой совпадающих прямых и2)кривая состоит из одной точки,т.е.это пара мнимых пересекающихся прямых.Теперь рассмотрим каждый из этих случаев.

1)Наиболее общее уравнение пары совпадающих прямых имеет вид (Ax + By + C)2 = 0.Поскольку точка (0, 0) центр симметрии прямой принадлежит этой прямой,то C = 0,и следовательно, a1 = AC = 0 и a2 = BC = 0.

78

2)Так как центром симметрии множества,состоящего из одной точки,является сама эта точка,то точка F (0, 0) = 0, и a0 = 0.

Уравнения F (0, y) = 0 и F (x, 0) = 0 должны иметь только решения x = 0 и y = 0 соответственно.Из первого уравнения получаем,что

a22y2 + 2a2y = y(a22y + 2a2) = 0,

откуда a22 = 0, a2 6= 0 или a22 6= 0, a2 = 0.Из второго уравнения аналогично

a11x2 + 2a1x = x(a11x + 2a1) = 0

и a11 = 0, a1 6= 0 или a11 6= 0, a1 = 0.

Кроме того,выполняются условия на инварианты:						= 0, δ > 0.
Предположим,что a11 = 0, a1		6= 0.Тогда
δ =	"	0 a12	"	2	0.
		a12 a22		= −a12
	"		"
	"		"
	"		"

Тем самым,этот случай невозможен.

Аналогично убеждаемся в том,что не может выполняться условие a22 = 0,

a2 6= 0.

Таким образом, a1 = a2 = 0,что и доказывает теорему.

Следствие42.1. Непустая кривая второго порядка

	F (x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0
1)	имеет единственный центр тогда и только тогда,когда	δ 6= 0;
2)	не имеет центра тогда и только тогда,когда δ = 0,	6= 0,то есть эта
кривая парабола;
3)	имеет прямую центров тогда и только тогда,когда δ =	= 0.
Доказательство. Действительно,уравнения центра
	a11x + a12y + a1 = 0,
	a12x + a22y + a2 = 0,

имеют единственное решение тогда и только тогда,когда

"

a11

a12

"

6= 0.

"

a12

a22

" = δ

Как известно,при

δ = 0 система1)не имеет решений"

тогда и

"только тогда,

"

a11

a1

"

"

a12

a"1

"

"

a12

a2

,

a22

a2

отличен от нуля,и2)

когда хотя бы один из определителей "

"

"

"

имеет бесконечно много решений тогда"

и только"

тогда"

,когда"

оба эти определителя

нулевые.Очевидно,что

= 0,

"

"

"

"

6

"

"

a11

a12

a1

"

"

a12

a22

a2

= "

" ,

"

"

"

a1

a2

a0

"

дает случай1) (раскладываем

по последней"

строке"

).Также при наличии бесконеч-

ного числа решений системы

= 0 (опять-таки разложим

по последней строке).

Докажем обратные утверждения.Итак,пусть

δ =

= 0 и предположим против-

"

a11

a1

"

"

a12

a1

"

"

"

"

"

ное требуемому,то есть что хотя бы один из определителей

"

a12

a2

",

"

a22

a2

"

"

"

"

"

79

отличен от нуля.Значит,третья строка определителя		линейно выражается че-
рез первые две.В частности, a1	= λa11 + µa12 , a2 = λa12 + µa22 при некоторых λ
и µ.Поскольку в определителе	δ столбцы пропорциональны,отсюда следует,что

оба рассматриваемых определителя нулевые.Противоречие.Методом логического исключения получаем вторую обратную импликацию.

Определение. Если кривая второго порядка имеет единственный центр,она назы-

вается центральной.

Центральные кривые:эллипсы,гиперболы,пары пересекающихся прямых(вещественных или мнимых).Нецентральные кривые:параболы(нет центров),пары параллельных(вещественных или мнимых)или совпадающих прямых(целая прямая центров).

§43.Асимптотические направления кривых второго порядка

Определение. Ненулевой вектор ( ,β ) имеет асимптотическое направление по от-

ношению к кривой второго порядка F ,если

	q( ,β ) = ( ,β )Q		= a11	2	+ 2a12 β + a22β2	= 0.
		β

Легко видеть,что это свойство не меняется при умножении уравнения на любой ненулевой множитель,то есть является свойством квадрики,а не кривой.

Утверждение. Определение асимптотического направления корректно,то есть не зависит от выбора системы координат.

Доказательство. Фактически необходимые выкладки уже проводились:если имеется замена координат(так как имеем дело только с квадратичной частью,то можно

считать,что сдвига нет)с матрицей

C , то

0

, Q0

a11

a12

β

= C β0

= CT QC, где

Q = a12

a22 .

Тогда

Q β =

C β00

QC

β =

q( ,β ) = ( ,β )Q β = β

T

β00

T

=

β00

T

( 0, β0).

CT QC β00

Q0 β00 = q0

Таким образом,результат подстановки вектора в квадратичную часть не зависит от выбора системы координат.

Определение. Квадрика F = 0 имеет эллиптический,гиперболический или парабо-

лический тип,если соответственно δ > 0, δ < 0 или δ = 0.

Нахождение асимптотического" " направления сводится к решению квадратного

уравнения.Если δ = """ a11 a12 """ 0,то асимптотическое направление можно найти

a12 a22

по одной из формул:

−a12 ± p

(a

−a12 ± p

(a

=

−δ

= 0)

или

β

=

−δ

= 0),

β

a11

11 6

a22

22 6

80