geometry24

Угол ' можно считать принадлежащим [0, 2 ).

Доказательство. Рассмотрим ортогональную матрицу как матрицу перехода от ор-

тонормированного базиса i, j к ортонормированному базису i0, j0 .

Тогда вектор i0 имеет координаты (cos ', sin ') для некоторого '.

Перпендикулярный ему вектор единичной длины(таких векторов

два,и они противоположно направлены)равен ( sin ', ± cos ').

Замечание. В первом случае определитель матрицы равен1,

а геометрический смысл поворот на угол ',во втором определитель равен −1,а геометрический смысл композиция поворота на угол ' и симметрии относительно вектора i,повернутого на

угол '.

Утверждение. Определитель ортогональной матрицы C любого порядка равен 1 или −1.

Доказательство.

1 = det E = det(CT C) = det C · det CT = (det C)2.

Определение. Ортогональная матрица с определителем,равным1,называется специальной ортогональной.Множество таких матриц размерности n n обозначается SO(n).

	cos '	sin '	6.Описание SO(3)
Замечание. Мы показали,что	SO(2) = sin '	−cos '
будет проведено в дальнейшем.

31

§17.Углы Эйлера

Углы Эйлера описывают поворот абсолютно твердого тела(тела,расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется)вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим переход от репера Oijk к реперу Oi0j0k0 .Будем считать,что оба базиса имеют положительную ориентацию.Если k0 = k,то имеем поворот в плоскости Oij.Если k0 = −k,то все сводится к повороту и симметрии отнгосительно прямой в плоскости Oij.Таким образом,можно считать,что векторы k и k0 неколлинеарны. Эти векторы ортогональны плоскостям = Oij и 0 = Oi0j0 ,которые пересекаются по прямой d (рис. 2).

Определение. Прямая d называется линией узлов.

Выберем на прямой d единичный вектор f так,чтобы векторы kk0f образовывали правую тройку.

Перейдем от репера Oijk к реперу Ofgk,сохраняя ориентацию.Это вращение вокруг k на некоторый угол ',который отсчитывается в положительном направлении(угол от i к f , ' 2 [0, 2 )) (рис. 3).

Таким образом,матрица перехода к базису f, g, k имеет вид:

0	cos '	−sin '	0	1
C = @	sin '	cos '	0	A .
	0	0	1

Теперь проведем вращение вокруг вектора f так,чтобы вектор k совместился с k0 .В силу выбора направления f это вращение на угол 2 [0, ].Получаем переход к некоторому реперу Ofhk0 ,причем плоскость Ofh совпадает с плоскостью Oi0j0

(рис. 4).

32

Матрица перехода имеет вид				1
0	1	0	0
D = @	0	cos	sin	A .
	0	sin	−cos

Теперь осталось осуществить вращение вокруг Ok0 (то есть поворот в плоскости Ofh = Oi0j0 ),чтобы совместить вектор f с вектором i0 .При этом,в силу согласованности ориентаций, h перейдет в j0 .Соответствующая матрица перехода имеет

вид		cos	sin	0
	@				A		2
F =		0	0	1		,		[0, 2 ).
	0 sin		−cos	0	1

В силу теоремы15.2матрицу перехода от базиса				i, j, k к базису i0, j0, k0 получаем
перемножением матриц C, D и F :
cos ' cos	−sin ' cos sin	−cos ' sin		−sin ' cos cos	sin ' sin	1 ,
CDF = 0 sin ' cos	+ cos ' cos sin	−	sin ' sin	+ cos ' cos cos	cos ' sin
@	sin sin		sin cos		− cos	A
где ' 2 [0, 2 ) угол от i к f (угол прецессии),				2 [0, 2 ) угол от f к i0 (угол

собственного вращения), 2 [0, ] угол от k к k0 (угол нутации) углы Эйлера 3. Замечание. Пусть с твердым телом,имеющим закрепленную точку O,жестко связана система координат Oi0j0k0 .Тогда все возможные положения тела взаимно

однозначно соответствуют положениям этой системы координат,а значит,вполне определяются углами Эйлера системы Oi0j0k0 относительно неподвижной системы Oijk.Таким образом,все возможные положения твердого тела с одной закрепленной

3Леонард Эйлер(1707–1783) швейцарский математик,долгое время живший и работавший в Петербурге.

33

точкой O вполне определяются тремя независимыми параметрами углами Эйлера.

Вмеханике говорят,что тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы.

Если допустить свободное перемещение твердого тела(например,плывущего корабля)в пространстве,то к трем независимым параметрам(углам Эйлера)добавляются еще три координаты нового начала O0 ,в которую перемещается точка O.

Вэтом случае говорят,что твердое тело имеет шесть степеней свободы,то есть его положение определяется шестью независимыми параметрами.

Для корабля углы Эйлера называются несколько иначе: ' угол рысканья,угол крена, угол дифферента.

§18.Полярные,сферические и цилиндрические координаты

Определение. Полярная система координат на ориентированной плоскости зада-

ется выбором точки O,называемой началом или полюсом,и луча,выходящего из точки O,называемого полярной осью.

Полярные координаты точки M это упорядоченная пара (r,' ),где r по-

лярный радиус,равный расстоянию от M до полюса: r = |OM|, и ' полярный угол ',равный углу между полярной осью и лучом OM ,причем угол отсчитывается в соответствии с ориентаци-

ей плоскости(таким образом, ' является вещественным числом, определенным с точностью до 2 k, k 2 Z ) (рис. 5).Для точки O

полярный угол не определяется,полярный радиус равен нулю. Возьмем положительный прямоугольный репер,начало координат которого сов-

падает с полюсом,а вектор i направлен по полярной оси.

Тогда имеют имеют место следующие формулы,выражающие прямоугольные

координаты точки через полярные:

x = r cos ', y = r sin '.

Обратно,

, а ' с точностью до угла 2 k опре-

r =

x2 + y2

деляется

формулами

p

x

y

cos ' =

,

sin ' =

,

p

p

или

x2 + y2

x2 + y2

y

8 arctg

y

при

x > 0

x

>

x

>

<

' = > + arctg

при

x < 0

>

при x = 0, y > 0

> /2

>

:

при x = 0, y < 0

> − /2

В пространстве

имеются два естественных обобщения полярной системы коор-

>

динат.

Выберем в пространстве

1)ориентированную плоскость

(экваториальную плоскость),

2)точку O на ней( полюс),

3)луч Ox на плоскости( полярную ось), 4)перпендикулярную к ось Oz (зенитную ось).

34

Для произвольной точки M пространства обозначим через M0 ее проекцию на(основание перпендикуляра,проведенного из M на плоскость ),а через M00 ее проекцию на Oz.

Цилиндрические координаты (%,', z ) точки M определяются следующим образом: %,' полярные координаты M0 на плоскости (то есть % = |OM0|, ' угол от Ox к OM0 , а z координата M00 на оси Oz (рис. 7).Для точек зенитной оси координата ' не определена.

Сферические координаты (r,', ) точки M определяются следующим образом: r = |OM| (радиус), ' угол от Ox к OM0 (долгота), угол от OM0 к OM (со знаком соответствия направлению Oz) (широта), 2 [− /2, /2] (рис. 8).

Для точек зенитной оси = ± /2,а координата ' не определена.Для точки O r = 0, а ' и не определены.

Рассмотрим прямоугольную систему координат Oijk,где i имеет направление

оси Ox, j лежит в плоскости ,причем ориентация					i, j положительна для плоскости
, а k имеет направление оси Oz.
Тогда прямоугольные и цилиндрические координаты связаны формулами:
8		>	z = z,		px2+y2
			p
	x = % cos ',	>	x2 + y2,
<		<				y
	y = % sin ',	> cos ' =				x			,
	z = z,	>
:		>
		>
		>
		:
		> sin ' =			px2+y2				,

(конечно,можно получить более конкретные выражения,как для полярных координат).

Прямоугольные и сферические координаты связаны формулами:

8

< x = r cos cos ',

y = r cos sin ', : z = r sin ,

p

(поскольку r cos = x2 + y2 ).

8
	r = x2 + y2 + z2,
>
			p		x
>							z
	arcsin				px2+y2+z2				,
<	= p
					y
> cos ' =					2 2		,
>
>					x +y
>
>
:
> sin ' =			p		x2+y2		,

35

ЛЕКЦИЯ6.ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ

§19.Алгебраические кривые

Определение. Алгебраической линией(кривой)на плоскости называется геометрическое место точек плоскости,координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению вида F (x, y) = 0,где F многочлен

	X	(19.1)
F (x, y) =	aijxiyj, i, j = 0, 1, 2, . . .

i+j n

Число n называется степенью многочлена F и порядком соответствующей кривой, если хотя бы один коэффициент aij с i + j = n отличен от нуля.

Теорема19.1. Если в некоторой аффинной системе координат кривая определяется алгебраическим уравнением степени n,то и в любой другой аффинной системе координат она определяется уравнением той же степени n.

Доказательство. Предположим,что кривая порядка n в некоторой аффинной системе координат определяется уравнением F (x, y) = 0.

Выберем на той же плоскости новую аффинную систему координат O0e01e02 . То - гда,как доказано в теореме15.1 $ 1лекции5,координаты произвольной точки в старой и новой системах координат связаны по формулам(15.2).Чтобы получить уравнение кривой в системе координат O0e01e02 ,следует подставить в левую часть уравнения F (x, y) = 0 вместо x и y их значения,определяемые по формулам(15.2). При этом получится сумма слагаемых вида

aij(x0 + c11x0 + c12y0)i(y0 + c21x0 + c22y0)j,

причем i + j n.Отсюда ясно,что уравнение кривой в новой системе координат будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не выше,чем n.

Если предположить,что полученное уравнение имеет степень меньше,чем n, то при переходе обратно к исходной системе координат степень уравнения должна повыситься,что невозможно.

Таким образом,в системе координат O0e01e02 кривая определяется также уравнением степени n.

Часто удобно бывает выражать координаты точек кривой при помощи третьей переменной(или параметра) t.

Параметрическими уравнениями кривой называются уравнения вида

x = f(t),
y = g(t),	или ~r = ~r(t),

где t параметр.

Предполагается,что функции f(t) и g(t) непрерывно зависят от t. Параметрическое представление кривой естественным образом возникает,если

рассматривать эту кривую,как путь,пройденный непрерывно движущейся материальной точкой,в зависимости от времени.Тогда координаты точки являются непрерывными функциями времени.

36

Пример19.6. Окружность x2 + y2 = R2 может быть задана в виде

x = R cos t,

(t 2 [0, 2 ]).

y = R sin t,

§20.Различные виды уравнений прямой на плоскости

Параметрическое уравнение прямой на плоскости имеет вид

r = r0 + at, или x = x0 + t, y = y0 + βt

Здесь r0 = (x0, y0) радиус-вектор некоторой точки прямой( начальной точки),вектор a = ( ,β ) некоторый ненулевой вектор,параллельный прямой( направляю-

щий вектор).

Каноническое4 уравнение прямой на плоскости

получается из параметрических уравнений,если выразить параметр t:

x − x0 = y − y0 .

β

Замечание. В каноническом уравнении прямой допускается равенство нулю некоторых(не всех)знаменателей.При этом соответствующий числитель приравнивается к нулю.

Пример20.7.

x − x0 = y − y0 , x = x0.

0 β

Перейти от канонического уравнения к параметрическому можно,положив

x − x0 = t, y − y0 = t

β

и выразив из полученных уравнений x и y.

Общее уравнение прямой на плоскости

Теорема20.1. Прямые на плоскости есть в точности алгебраические линии первого порядка.

Доказательство. Докажем сначала,что прямая определяется уравнением первой степени.Для этого преобразуем каноническое уравнение прямой:

β(x − x0) − (y − y0) = 0, или Ax + By + C = 0,

где

A= β, B = − , C = y0 − βx0,

ихотя бы одно из чисел ,β отлично от нуля,поскольку это координаты направляющего вектора прямой,который не может быть нулевым.

Теперь докажем,что любое уравнение первой степени определяет прямую.

4Название“каноническое” (от греческого ! правило,предписание,образец)понимается здесь как“типовой”, “традиционный”.

37

Рассмотрим уравнение Ax + By + C = 0.Пусть,например, A 6= 0.Возьмем в качестве начальной точки точку (x0, 0),где x0 определим из уравнения

C

Ax0 + C = 0, x0 = −A.

В качестве направляющего вектора выберем вектор (−B, A).Тогда исходное уравнение равносильно каноническому уравнению прямой

	x + C/A	=	y − 0	.
	−B
			A

Определение. Уравнение вида

Ax + By + C = 0, где A2 + B2 6= 0

называется общим уравнением прямой.

Уравнение прямой в отрезках

Определение. Общее уравнение прямой называется полным,если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля.В противном случае уравнение называется непол-

ным.

Рассмотрим все возможные неполные уравнения.

1)Если C = 0,то прямая проходит через начало координат,поскольку точка (0, 0) лежит на прямой.

2)Если B = 0,то уравнение Ax + C = 0 определяет прямую,параллельную вектору e2 ,поскольку координаты направляющего вектора этой прямой (0, A).Аналогично,если A = 0,то уравнение By+C = 0 задает прямую,параллельную вектору

e1 .

3)Если B = C = 0,то уравнение Ax = 0 определяет прямую,проходящую через начало координат параллельно вектору e2 ось Oy.Аналогично для A = C = 0 и уравнения By = 0.

Рассмотрим теперь полное уравнение прямой,запишем его в виде

x

+

y

= 1,

иначе

−C/A

−C/B

y

C

B

x

= 1, a = −

, b = −

+

.

a

b

A

A

Уравнение такого вида называется уравнением прямой в

отрезках.

Коэффициенты a и b в этом уравнении равны величинам отрезков,которые прямая отсекает на осях Ox и Oy соответственно.Действительно,для того чтобы найти,на-

пример,точку пересечения прямой с осью Ox,нужно положить в уравнении прямой y = 0 и найти x.Получим x = a.

Уравнение прямой в отрезках удобно использовать при построении прямой.

Векторное уравнение прямой

Определение. Нормальным вектором прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор,ортогональный данной прямой.

38

Теорема20.2. Прямая с нормальным вектором n,проходящая через точку M с радиус-вектором OM = r0 ,задается векторным уравнением

(r, n) + D = 0,

(20.1)

где D = −(r0, n).

Доказательство. Пусть произвольная точка r лежит на данной прямой.Тогда

(r − r0, n) = 0,

(r, n) − (r0, n) = 0, (r, n) + D = 0,

где D = −(r0, n),т.е.радиус-вектор данной точки удовлетворяет уравнению(20.1). Пусть радиус-вектор некоторой точки r удовлетворяет уравнению(20.1).Оче-

видно,радиус-вектор r0 также является решением уравнения(24.1),т.е.

(r0, n) + D = 0.

Вычтем это тождество из(20.1),получим уравнение (r−r0, n) = 0,которое означает, что для любого вектора r,удовлетворяющего уравнению(20.1),вектор r − r0 ортогонален вектору n,а значит,лежит на рассматриваемой прямой.Следовательно, точка,определяемая радиус-вектором r,также лежит на прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0 B 6= 0 (т.е.прямая не параллельна оси Oy),поделим уравнение на B и выразим y.Получим уравнение

y = kx + b, где k = −A/B, b = −C/B.

Определение. Уравнение вида y = kx+ b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой в полярной системе координат

Положение прямой линии на плоскости однозначно определяется заданием ее расстояния p от полюса O и угла между полярной осью и осью u,проходящей через полюс и перпендикулярной прямой.Положительным направлением оси u считается направление от полюса к дан-

ной прямой.В случае,когда прямая проходит через полюс,

направление u выбирается произвольно.

Все точки данной прямой и только эти точки обладают

следующим свойством:проекция на ось u отрезка OM ,про-

веденного из полюса в произвольную точку M(r,' ) прямой, равна p:

r cos(' − ) = p.

Это и есть уравнение прямой в полярных координатах.

39

§21.Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Теорема21.1. Два уравнения

F1(x, y) = A1x + B1y + C1 = 0 и F2(x, y) = A2x + B2y + C2 = 0

(в одной и той же системе координат)задают одну и ту же прямую тогда и только тогда,когда они пропорциональны,то есть существует такое λ 6= 0,что

F2 = λF1 ,так что A2 = λA1 , B2 = λB1 , C2 = λC1 .

Доказательство. Достаточность сразу следует из того,что умножение уравнения на ненулевое число не изменяет множества его решений.

Докажем необходимость.Пусть уравнения задают одну и ту же прямую.Направляющий вектор этой прямой (−B1, A1) или (−B2, A2).Эти векторы коллинеарны, так что найдется такое λ 6= 0,что

A1 = λA2, B1 = λB2.

Рассмотрим любую точку прямой (x0, y0).Тогда

A1x0 + B1y0 + C1 − λ(A2x0 + B2y0 + C2) = 0,

(A1 − λA2)x0						+ (B1		− λB2)y0 + (C1 − λC2) = 0,
			{z		}	|		{z		}
C|1		=		2
		=0						=0

λC .

Лемма21.1. Векторы ( ,β ) параллельны прямой Ax+By+C = 0 тогда и только тогда,когда их координаты удовлетворяют уравнению A + Bβ = 0.

Доказательство. Отложим вектор,параллельный данной прямой,от точки P ,которая лежит на прямой.Тогда и конец этого вектора,точка Q,также будет лежать на прямой.Пусть точка P имеет координаты (xP , yP ),а точка Q координаты (xQ, yQ).Тогда

AxP + ByP + C = 0, AxQ + ByQ + C = 0,

так что

A(xQ − xP ) + B(yQ − yP ) = 0, A + Bβ = 0.

Обратно,если A + Bβ = 0,то отложим вектор с координатами ( ,β ) от точки

(xP , yP ) на прямой.Тогда другой конец вектора (xQ, yQ) = (xP + , yP + β) удовлетворяет уравнению

AxQ + ByQ + C = A(xP + ) + B(yP + β) + C = AxP + ByP + C + (A + Bβ) = 0 + 0 = 0.

Теорема21.2.

Две прямые линии с уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y +

"

A1

B1

"

C2 = 0 пересекаются тогда и только тогда,когда

"

"A1

B1

"

A2

B2

"

" 6= 0

и параллельны(в

том числе могут совпадать)тогда и только тогда",когда

"A2

B2

"

"

" = 0.

"

"

Доказательство. Прямые параллельны тогда и только тогда"

,когда "их направля-

ющие векторы (−B1, A1)

и (−B2, A2) коллинеарны,что означает равенство нулю

"

B1

A1

"

"

A1

B1

"

определителя

−B2

"

A2

"

= "

A2

B2

".

секаются.

"

"

"

"

тогда и только тогда,когда они не пере-

Две прямые" −на плоскости" "

параллельны"

40