Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

49

	x 5c 48 c 17 c . Найденное множество решений запишем следующим
	1		13				13
						17							17
						13		c					13
					16							16
	образом: X						c			C					(то есть выразим через один базисный век-
					13							13
						c							1
			17
			13
			16
	тор е			).
	1		13
			1

Проверку можно осуществить, подставляя этот базисный вектор в первоначальную исходную систему.

1.4.5.Использование систем линейных уравнений в прикладных задачах

В этом параграфе мы рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

Задача 1. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны табл. 1.4.2.

				Таблица 1.4.2
Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес. ед. /			Запас сырья,
	изд.			вес. ед.
	1	2	3
1	6	4	5	2400
2	4	3	1	1450
3	5	2	3	1550

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2, x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья

Pcos

50

можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

6х1 4х2 5х3 2400,4х1 3х2 х3 1450,5х1 2х2 3х2 1550.

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду, соответственно (в условных единицах), x1 = 150, x2 = 250, x3 = 100.

Задача 2. На потолок выработки давит весом Р объем породы, поперечное сечение которого ограничено параболой. Определить величину сил

s1 , s2 , сжимающих стойки так называемого оклада, при помощи которой

производится крепление выработки, если стойки наклонены под углом к горизонту (рис. 1.4.2).

A		B
s1	P	s2

Рис. 1.4.2

Решение. Исходя из физических условий задачи и учитывая условия равновесия оклада, можно прийти к следующей системе с неизвестными s1,

s2 (это длины векторов сил сжимающих стойки оклада), которую можно решить любым из изученных выше методов решения систем линейных алгеб-

s	cos s	cos 0,	где P – вес породы.
раических уравнений:. 1	2
s1 sin s2 sin P,

Решим ее, используя правило Крамера.. Найдем главный определитель

системы и определители 1, 2:

=

cos

cos

=cos sin +cos sin = 2 cos sin ;

sin

sin

1 =

0

cos

= Pcos ; 2 =

cos

0

= Pcos .

P

sin

sin

P

Находим значения неизвестных s1= s2 = 2cos sin 2sinP .

51

1.4.6. Понятие об итерационных методах решения систем линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для решения систем средней размерности чаще используют прямые методы.

Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов нецелесообразно из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в приложениях, как правило, являются разреженными (то есть основная матрица таких систем разреженная – матрица, в которой число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы). Методы исключения для решения систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойства разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется и естественно остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связана с возможностью существенного использования разреженности матриц.

Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта. Именно поэтому разработано большое число различных итерационных методов, каждый из которых ориентирован на решение сравнительно узкого класса задач. Далее рассмотрим наиболее простые и известные итерационные методы, позволяющие решать достаточно широкий класс систем: метод простой итерации, метод Зейделя.

Метод простой итерации. Для того, чтобы применить метод простой итерации к решению систем линейных алгебраических уравнений вида

	а11		а12	...	а1m		Ах=в,	(1.4.8)
где А =		а	а	...	а		– квадратная невырожденная матрица системы,
		21	22	...	2m
	...		...		...
		аm1	аm2	...	аmm

		х1				b1
		х				b
Х =			2		– матрица – столбец неизвестных, в =			2		– матрица – столбец сво-
		M					M
		х				b
			m					m

52

бодных членов, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду

х = Вх+с.

(1.4.9)

Здесь В – квадратная матрица с элементами bij , (i, j = 1,2,3,….., m), с – вектор-столбец с элементами сi (i = 1,2,3,….., m).

В развернутой форме записи система (1.4.9) имеет следующий вид:

	х1 b11х1 b12 х2 b13х3 ........				b1m хm с1,
	х2 b21х1 b22 х2 b23х3 ........				b2m хm с2		,	.	(1.4.10)
	............................................................
	х b х	b х	b	х ........	b	х с
	m m1 1	m2 2	m3 3		mm m m.

Вообще говоря, операция приведения системы к виду (1.4.9), удобному для итераций не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы. В некоторых случаях в таком преобразовании нет необходимости, так как сама исходная система уже имеет вид (1.4.9).

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем. Из первого уравнения системы (1.4.8) выразим неизвестное х1:

		х а 1(b а х а х					.......	а х ) ,
		1	11	1 12 2		13 3		1m m
Из второго уравнения – неизвестное х2:
	х а 1		(b а х а х .......				а х ) и т. д.
	2	22	2	21 1	23	3		2m m
В результате получим систему
	х	b x b х b х .......................						b х с ,
	1	11 1		12 2	13 3			1m m 1
	х2 b21х1			b23х3 ........................				b2m хm	с2	,		, (1.4.11)
		............................................................
	х	b х b х			b х	.....	b	х	с		,
	m m1 1			m2 2	m3 3		mm 1 m 1		m

в которой на главной диагонали матрицы В находятся нулевые элементы, а остальные элементы выражаются по формулам

			аij				b
	b			,	с		i	(i, j 1,2,...,m, j i).	(1.4.12)
			а				а
	ij				i
			ii				ii

Конечно для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Описание метода. Выберем начальное приближение

53

х(0)

1

х(0)

х(0)

2

.

х(0)

m

Подставляя его в правую часть системы (1.4.9) и вычисляя полученное

выражение, находим первое приближение

х(1) = Вх(0) + с.

Подставляя приближение х(1) в правую часть системы (1.4.9) получим

х(2) = Вх(1) + с.

Продолжая

процесс

далее,

получим

последовательность х(0), х(1),…

х(n),…. приближений, вычисляемых по формуле

х(к+1) = Вх(к) + с, к =0,1,2,

. (1.4.13)

В развернутой форме записи формула (1.4.12) выглядит так:

х(к 1) b

х(к) b

х(к) b

х(к)

........ b

х(к) с ,

1

11 1

12 2

13

3

1m m

1

х(к 1) b

х(к) b

х(к) b

х(к)

........ b

х(к) с ,

2

21 1

22

2

23

3

2m m

2

............................................................

х(к 1)

b

х(к) b

х(к) b

х(к)

........ b

х(к) с .

m

m1

1

m2

2

m3 3

mm m

m

Вслучае, когда для итераций используется система (1.4.11) с коэффициентами, вычисленными по формулам (1.4.12), метод простой итерации принято называть методом Якоби.

Вкачестве критерия окончания итерационного процесса может быть

использовано неравенство

х(n) х(n 1)

, где

1

B

( – это точность с

1

1

B

которой требуется найти решение). В практике вычислений иногда исполь-

зуют более простой критерий окончания процесса		х(n) х(n 1)		.

Пример

Используя метод простой итерации в форме Якоби, найти решение сис-

темы	6.25х1 х2		0.5х3	7.5
	х1 5х2 2.12х3 8.68
0.5х		2.12х	3.6х	0.24
	1	2	3

с точностью =10– 3.

Решение

Вычисляя коэффициенты по формулам (1.4.12), приведём систему к виду (1.4.11)

54

x1 0,16x2 0,08x3 1,2,x2 0,2x`1 0,424x3 1,736,

x3 0,1389x1 0,5889x2 0,0667.

В последнем уравнении коэффициенты даны с точностью до погрешности округления. Здесь

	0	0,16	0,08				1,2
	0,2	0	0,424		,		1,736
B						c		.
	0,1389	0,5889	0				0,0667

Достаточное условие сходимости метода простой итерации выполнено,

так как max 0,24;0,624;0,7278 0,7278 1.

Примем за начальное приближение к решению вектор x(0) (0,0,0)T и

будем вести итерации по формуле (1.4.13) до выполнения критерия окончания итерационного процесса, где в данном случае

1 (1 0,7278) / 0,7278 10 3 0,37 10 3.

Значения приближений в табл. 1.4. 3 и 1.4.4 приводятся с четырьмя цифрами после десятичной запятой.

											Таблица 1.4.3
		N					0	1	2	3		4
		x1(n)					0,0000	1,2000	0,9276	0,9020		0,8449
		x2(n)					0,0000	– 1,7360	– 1,7360	– 1,8850		1,8392
		x3(n)					0,0000	– 0,0667	– 0,7890	0,6688		0,9181
		x(n) x(n 1)					–	1,7360	0,8557	0,4173		0,2493

														Таблица 1.4.4
		N					…		12	13		14		15
		x1(n)					…		0,8006	0,8003		0,8002		0,8001
		x2(n)					…		– 1,9985	– 1,9993		– 1,9995		– 1,9998
		x3(n)					…		0,9987	0,9990		0,9995		0,9997
		x(n) x(n 1)					…		0,0018	0,0008		0,0005		0,0003
		При n =					15 условие	критерия		окончания		итерационного	процесса вы-
полняется и можно положить
		x1 0,800 0,001, x2							2,000 0,001, x3		1,000 0,001.

55

В данном случае точные значения решения x1 0,8, x2 2, x3 1 нам

известны. Заметим, что в действительности решение с точностью до 10 3 было получено уже при n = 1.

Метод Зейделя. Пусть система (1.4.8) приведена к виду (1.4.11) с коэффициентами, вычисленными по формулам (1.4.12).

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что при вычислении очередного (k+1) – го приближения к неизвестному хi при i 1 используют уже найден-

ные (k+1) – е приближение к неизвестным x1,..., xi 1, а не k-е приближения, как методе Якоби.

На (k+1) – й интеграции компоненты приближения х(k 1) вычисляются по формулам

	x(k 1) b				x(k )	b	x(k ) ... b x(k ) c ,
	1		12		2	13		3			1m m					1
	x(k 1)	b		x(k 1)		b		x(k ) ... b				x(k ) c ,
	2		21	1		23		3			2m m					2
	(k 1)			(k 1)				(k 1)					(k )			c3
	x3	b31x1				b32 x2			... b3m xm
.......................................................................
x(k 1) b			x(k 1) b				x(k 1) b				x(k 1) ... c .
	m	m1	1			m2		2		m3	3					m
Введём нижнюю и верхнюю треугольные матрицы
					0	0		0		...	0
				b		0		0		...	0
					21
		B1				b32		0		...	0
				b31								,
				...		... ...				...
				b		b		b		...	0
					m1	m2		m3
					0	b12		b13	...	b1m
					0	0		b	...	b
								23			2m
		B2			0	0		0	...	b3m
												.
				...		... ...			... ...
					0	0		0	...		0
Тогда расчетные формулы (1.4.15) метода примут компактный вид:
		x(k 1) B x(k 1) B x(k ) с.
						1			2
Заметим, что	В B1 B2				и поэтому решение										исходной системы
													x

удовлетворяет равенству

x B1 x B2 x с.

Метод Зейделя иногда называют также методом Гаусса–Зейделя, про-

цессом Либмана, методом последовательных замещений.

56

Пример

Используя метод Зейделя, найти решение системы с точностью 10 3

		6.25х1 х2			0.5х3 7.5,
		х1 5х2 2.12х3 8.68,
	0.5х		2.12х		3.6х 0.24.
Решение		1		2	3
После приведения системы к виду
x 0,16x			2	0,08x 1,2,
	1				3
x2		0,2x`1 0,424x3 1,736,
x		0,1389x 0,5889x 0,0667
	3			1	2

убеждаемся, что метод Зейделя сходится, так как

max 0,24;0,624;0,7278 0,7278 1.

Положим x(0) (0,0,0)T и будем вычислять последовательные приближения по формулам

x	0,16x(k ) 0,08x(k ) 1,2,
1	2		3
	0,2x1(k ) 0,424x3(k ) 1,736,
x2
x	0,1389x(k 1) 0,5889x(k 1) 0,0667.
		1		2
3
Здесь		0	0,16	0,08
		0	0	0,424
	B				.
		0	0	0

Будем вести итерации до выполнения критерия окончания, где

2 10 3 (1 0,7278)/ 0,424 0,64 10 3 .

Значение приближений с четырьмя цифрами после десятичной запятой приведены в табл. 1.4.5 и 1.4.6.

При n = 8 критерий окончания выполняется и можно положить

x1 0,800 0,001,

x2 2,000 0,001,

x3 1,000 0,001.

Заметим, что в действительности решение с точностью 10 3 было получено уже при n = 7.

Замечание. Существует устойчивое заблуждение, связанное с представлением о том, что метод Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Это действительно так, если матрица А симметрична и положительно определена (мы убедились в преимуществе метода Зейделя для системы уравнений с такой матрицей, решая примеры). Однако в общем случае возможны ситуации, когда метод Якоби сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится. Возможны и противоположные ситуации. Дело в

57

том, что эти методы ориентированы на решение разных классов систем: метод Якоби – на системы с матрицами, близкими к диагональным, а метод Зейделя – на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным.

Таблица 1.4.5

		N					0	1			2			3		4
		x1(n)					0,0000	1,2000			0,9088			0,8367		0,8121
		x2(n)					0,0000	– 1,4960			– 1,8288			– 1,9435		– 1,9813
		x3(n)					0,0000	0,6476			0,8841			0,9616		0,9873
		x(n) x(n 1)					–	1,4960			0,3328			0,1147		0,0378
															Таблица 1.4.6
		N					5		6				7		8
		x1(n)					0,8040		0,8013				0,8004		0,8001
		x2(n)					– 1,9938		– 1,9980				– 1,9993			– 1,9998
		x3(n)					0,9958		0,9986				0,9995		0,9998
		x(n) x(n 1)					0,0125		0,0041				0,0014		0,0005

58

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Раздел математики, изучающий векторы и линейные операции над ними, называется векторной алгеброй. В современном виде векторная алгебра была создана достаточно поздно, в середине XIX в. Объективной причиной создания векторной алгебры явились те физические теории (электродинамика, гидродинамика и др.), в развитии которых векторная алгебра сыграла существенную роль. Широкое применение векторов объясняется рядом их свойств. Во-первых, векторные представления адекватно передают суть многих понятий и закономерностей геометрии и физики. Во-вторых, при помощи векторов достигается единство аналитических и геометрических методов исследования, благодаря чему векторные формулы и выводы отличаются сжатостью, ясностью и наглядностью. В-третьих, векторные формулы, выражающие физические закономерности, не зависят от выбора той или иной системы координат, т.е. имеют инвариантный характер и отражают сущность явления в чистом виде.

ЛЕКЦИЯ 1.5. ВЕКТОРЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС В R2 И R3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ БАЗИС

1.5.1. Основные понятия. Линейные операции над векторами

В физике, теоретической механике и других дисциплинах имеем дело двумя основными видами величин:

1)величинами, которые характеризуются только длиной – скалярные величины или скаляры (например, длина, площадь, плотность, масса тела, его температура);

2)величинами, которые характеризуются длиной и направлением – векторные величины или векторы (например, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического или магнитного полей).

Вектором плоскости (пространства) называют направленный отрезок плоскости (пространства).

B

a

A

Рис. 1.5.1

Вектор, заданный упорядоченной парой точек А, В, будем обозначать

АВ (рис. 1.5.1).