Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

59

Точка А называется началом вектора, а точка В – концом вектора.

Векторы часто обозначают одной буквой а, b ,…

Длиной вектора (его модулем) называют расстояние от начала вектора до его конца и обозначается символом

АВ или а .

Векторы, у которых точка приложения не определена, называются сво-

бодными.

Вектор, у которого конец совпадает с началом (вектор-точка) называют

нулевым вектором и обозначают 0 . Его длина равна нулю и приписывают ему любое направление.

Два вектора в R2 , расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Три вектора и более в R3 , расположенные на одной или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

Два вектора называются равными, обозначают

a =b ,

если выполняются условия:

1.длины этих векторов равны;

2.векторы расположены на одной или параллельных прямых (коллине-

арны);

3.векторы сонаправлены.

Из этого определения следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Для каждого вектора а (отличного от нулевого вектора) существует

противоположный вектор, обозначаемый а.

Вектор а имеет модуль, равный модулю вектора а, коллинеарен с ним, но направлен в противоположную сторону.

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным век-

тором или ортом.

К линейным операциям над векторами относят операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число. Данные операции достаточно подробно изучаются в школьном курсе математики, поэтому основные теоретические положения проиллюстрируем табл. 1.5.1.

						Таблица 1.5.1
		Координатная форма записи
№	Геометрический образ	( если заданы два вектора своими коорди-
		натами	а	= (х1; y1 ; z1) и	в	= (х2; y2 ; z2) )

60

Сложение векторов.

а) правило треугольника:

a

b

a

b

1.

+

= (х1+х2; y1 +y2 ; z1+z2)

б) правило параллелограмма:

a

b

a

a

b

b

Вычитание векторов.

2.

a

a

b

–

= (х1– х2; y1 – y2 ; z1– z2)

а

b

b

Умножение вектора на действительное число .

	a
3.			a
		( 0)					b	=	а	= ( х1; y1 ; z1)
					a
		( 0)

Замечание. Из свойств сложения векторов и умножения вектора на скаляр, известных из школьной программы, следует, что векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую, а именно: общий числовой множитель можно выносить за скобки, можно раскрывать скобки и приводить подобные члены, можно переносить члены из одной части равенства в другую с противоположным знаком и т.д

Примеры

1. По данным векторам a и b построить:

61

1) 2a b ; 2) b a2 .

Решение. Пусть даны векторы a и b .

1) Найдем сумму векторов по правилу параллелограмма, взяв произвольную точку 0 за общее начало, построим векторы 2a и b (рис. 1.5.2, а).

Вектор 2a строится согласно определению умножения вектора на чис-

ло, т.е. вектор 2a коллинеарен вектору a , в 2 раза длиннее его и имеет с a одинаковое направление.

Достроим до параллелограмма. Вектор–диагональ параллелограмма, идущий из общего начала векторов – точки 0 и будет искомой суммой.

По правилу треугольника: суммой векторов 2a и b является вектор,

идущий из начала 2a в конец b , если b приложен к концу вектора 2a (рис. 1.5.2, б).

2) Строим векторы b и a2 , совместив их начало в произвольной точке 0 (рис. 1.5.2, в). Вектор a2 отличается от вектора a только длиной (в 2 раза короче).

Вектор, идущий из конца вектора a2 в конец вектора b – искомый вектор b a2 .

b

2a b

2a

a

b

Рис.1.5.2, а

b

2

a

2

a

b

Рис.1.5.2, б

1

1

a

b

a

2

2

b

Рис.1.5.2, в

62

2. В треугольнике 0АВ даны векторы a =OA и b =OB . Найти векторы MA и

MB , где М – середина стороны АВ (рис. 1.5.3).

Решение

1) AB OB OA b a ; 2) MB 12 AB b 2 a ;

3) MA MB b a a b . 2 2

B

M

A

O

Рис. 1.5.3

3. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a i j , b k 3 j .

Решение. Векторы даны разложением по единичным векторам. Можно записать в такой же форме и диагонали параллелограмма. Одна из них –

сумма векторов a и b , а другая – разность a и b (рис. 1.5.4).

AC a b i j (k 3 j) i 2 j k ; BD b a k 3 j (i j) i 4 j k ;

AC 1 4 1 6 ; BD 1 16 1 18 3 2 .

B C

a

A D b

Рис. 1.5.4

Прежде, чем ввести понятие проекции вектора на ось, дадим определение оси, проекции точки на ось.

Осью называется всякая прямая, на которой указано направление. Проекцией точки М на ось называется основание М1 перпендикуляра,

опущенного из точки М на данную ось (рис. 1.5.5).

Пусть l – некоторая ось, а AB вектор, произвольно расположенные в пространстве. Проектируя начало и конец вектора на ось, получим на ней

вектор A1B1 (рис. 1.5.5).

63

B

M

A

O A1

B1

M1

l

Рис. 1.5.5

Предположим, что А1 имеет координату х1, а В1 – координату х2. Разность x2 x1 между координатами проекций конца и начала вектора AB на

ось l называется проекцией вектора AB на эту ось.

Если вектор AB образует с осью l острый угол, то x2 x1 , и проекция x2 x1 положительна; если угол тупой, то x2 x1 , и проекция x2 x1 отрица-

тельна. Наконец, если вектор AB перпендикулярен оси, то x2 x1 и проекция x2 x1 0 .

1.5.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис векторного пространства и разложение вектора по базису

Упорядоченную систему чисел (k1; k2; k3;...; kn ) назовем n – мерным

вектором, а сами числа его координатами.

Совокупность векторов, над которыми можно выполнять линейные операции называется векторным пространством.

Замечание. Нас при дальнейшем изложении материала будет интересовать два случая:

а) n = 2, где а ( 1, 2 ) в двухмерном пространстве R2;

б) n = 3, где а ( 1, 2, 3) в трехмерном пространстве R3.

Прежде чем вводить понятие базиса векторного пространства обсудим, какая система векторов является линейно зависимой, а какая линейно независимой.

Система векторов a1, a2, ..., an называется линейно зависимой, если

существуют числа 1, 2, ..., n, не все равные нулю, для которых имеет место равенство

1

a1

2

a2

... n

an

0

.

(1.5.1)

Система векторов a1, a2, ..., an называется линейно независимой, если

равенство (1.5.1) имеет место только при 1 = 2 = ... = n = 0.

Из равенства (1.5.1), предполагая, например, что 1 0, получим

											64
						2							3			...		n				.
	a								a						a					a
1									2						3					n
Обозначая,							1						1					1
													k , ..., n
2					k		,				3								k				n	.
	1					2						1			3			1
имеем
				k2							k3						... kn				.
		a1						a2						a3					an
Выражение

k2 a2 k3 a3 ... kn an

называется линейной комбинацией векторов a2, a3, ..., an с коэффициентами k2 , k3, ..., kn .

Таким образом, если система векторов a1, a2 , ..., an линейно зависима,

то хотя бы один из этих векторов всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Верно и обратное утверждение: если хотя бы один из векторов системы представлен в виде линейной комбинации других векторов, то эта система векторов линейно зависима.

Пример.

Является ли система векторов линейно зависимой а=(1; 3; 5),

b =(2;6;10), c =(0; 1; 1)?

Решение. Система линейно зависима, если существуют числа k1, k2, k3 не все равные нулю, для которых имеет место равенство

k1a k2 b k3c 0 .

Подставляем координаты данных векторов

k1 (1; 3; 5) + k2 (2; 6; 10) + k3 (0; 1; 1) = (0; 0; 0),

Приравняем соответствующие координаты векторов, получили систему линейных уравнений

	k	2k		0,
	1		2
	3k1 6k2 k3 0,
		10k2 k3 0.
5k1

Вычислим определитель основной матрицы системы: 1 2 0

= 3 6 1 = 0. 5 10 1

Так как определитель имеет пропорциональные столбцы. Значит, система имеет бесконечное множество решений, среди которых есть ненулевые. Следовательно, система векторов линейно зависима.

65

Если вектор х является линейной комбинацией векторов a1, a2, ..., an ,

то говорят, что вектор х разложен по векторам a1, a2, ..., an . Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть е1 и е2 – два неколлинеарных вектора в R2. Тогда

всякий вектор х в R2 есть их линейная комбинация, причем коэффициенты разложения х по е1 , е2 определяются единственным образом.

Теорема 2. Пусть е1 , е2 и е3 – три любых некомпланарных вектора в

R3. Тогда любой вектор х в R3 единственным образом раскладывается в их линейную комбинацию.

Линейно-независимые векторы образуют базис для какого-либо множества векторов, если любой вектор из этого множества может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации этих векторов.

Поскольку любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам, а любой вектор в пространстве – по трем некомпланарным векторам, то любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Заметим, что упорядоченные пары векторов е1 , е2 и е2 , е1 , где е1 и е2

– неколлинеарные векторы на некоторой плоскости, образуют два различных базиса.

Аналогично: тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, называется базисом в пространстве.

Если на плоскости или в пространстве выбран некоторый базис е1 , е2 е1, e2 , e3 , то каждый вектор х плоскости (пространства) может быть за-

писан однозначно в виде:

х1

х2

х1

х2

х3

, то есть

x

e1

e2

x

e1

e2

e3

разложен по базису.

Тем самым между всеми векторами плоскости (пространства) и упорядоченными парами (тройками) действительных чисел будет установлено вза-

имно однозначное соответствие: x х1; х2 , x х1; х2; х3 .

Числа

х1; х2 , х1; х2; х3

называются координатами вектора

в ба-

х

зисе

,

,

,

. Запись

х1

х2

х3

и

х1; х2; х3

озна-

е1

е2

e1

е2

e3

x

e1

e2

e3

x

чает, что вектор х имеет координаты х1, х2, х3 .

66

Пример. Даны векторы a =(2; 1; 0), b = (1; – 1; 2), c = (2; 2; – 1) и d = (3; 7; – 7). Показать, что a, b и c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение. Для того чтобы показать, что векторы a, b и c образуют ба-

зис, достаточно убедиться в том, что они некомпланарны. Последнее утверждение равносильно линейной независимости данных векторов. Составим

линейную комбинацию k1 a k2 b k3 c . Если равенств k1 a k2 b k3 c 0 возможно только в случае, когда k1 = k2 = k3 = 0, то векторы a, b и c линейно независимы. Поскольку умножение вектора на число и сложение производятся по координатно, то

k1

a

k2

b

k3

c

= k1 (2; 1; 0) + k2 (1; –1; 2) + k3 (2; 2; –1) =

= (2 k1 + k2 + 2 k3 ; k1 – k2 + 2 k3 ; 2 k2 – k3).

Чтобы вектор

k1

a

k2

b

k3

c

оказался нулевым вектором, необхо-

димо, чтобы все его координаты были равны 0, т.е.

2k1 k2 0

k2 2k3 0 .

k1

2k

2k

2

k

3

0

1

Эта система имеет единственное решение k1 = k2 = k3 = 0, т.к. определи-

тель системы

2

1

0

1

1

2 = (2 (– 1) (– 1) + 1 2 0 + 1 2 2) – (2 (– 1) 0 + 2 2 2 + 1 1 (– 1)) =

2 2 1

= (2 + 0 + 4) – (0 + 8 – 1) = 6 – 7 = – 1 0

Таким образом, линейная комбинация этих векторов равна нулю только при k1 = k2 = k3 = 0.

Следовательно, векторы а, b и с линейно независимы, и их можно взять за базис в пространстве.

А тогда вектор d разложится по этому базису d k1 a k2 b k3 c , где k1, k2 , k3 – координаты вектора d в базисе a, b и c .

Распишем полученное разложение вектора d по координатно и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными k1, k2 и k3. Ее решением

будет тройка чисел, которая и является координатами вектора d в базисе a, b и c :

		67
2k		k			2	2k 3,
	1						3
k1 k2 2k3 7,
	2k		2	k			7.
							3
Решаем систему с помощью формул Крамера. Составляем и вычисляем
главный определитель системы	2			1			2
=
	1		1				2	= – 1;
	0			2			1

1 =		3	1	2
		7	1	2	= (3(– 1)(– 1) + 2 7 2 + 1 2(– 7)) – ((– 7)(– 1) 2 +
		7	2	1

+ 2 2 3 + 7 1 (– 1)) = (3 + 28 – 14) – (14 + 12 – 7) = 17 – 19 = – 2;

2 =			2		3	2		= (2 7 (– 1) + 2 3 0 + (– 7) 1 2) – (0 7 2 + (– 7) 2 2 +
			1 7			2
			0		7	1
+ 1 3 (– 1)) = (– 14 + 0 – 14) – (0 – 28 – 3) = – 28 + 31 = 3;
3 =				2	1	3
				1	1	7		= (2 (– 1) (– 7) + 1 2 3 + 1 7 0) – (0 (– 1) 3 + 2 7 2 +
				0	2	7

+ 1 1 (– 7)) =					(14 + 6 +			0) – (0 + 28 – 7) = 20 – 21 = – 1.
k		1		2	2 ; k			2		3		3	; k	3		1	1.
				1						1						1
1						2							3

Получили следующие координаты вектора d 2; 3;1 в базисе а, b и с. Определение коллинеарных векторов в координатной форме сформу-

лируем в форме признака

коллинеарности

векторов:

два вектора

a1; a2; a3 и

b1; b2; b3

коллинеарны тогда и только тогда, когда про-

a

b

порциональны их соответствующие координаты:

a1 a2

a3 .

(1.5.2)

b

b

b

1

2

3

Пример. Коллинеарны ли векторы

=

2

+

и

=

–2

, если

с1

а

b

c2

а

b

=(2;–2;4) и

=(–3;3;–6).

а

b

Решение. Найдем координаты векторов

и

:

с1

с2

= 2(2;–2;4) + (–3;3;–6) = (1;–1;2),

= (2;–2;4) – 2(–3;3;–6) = (8;–8;16).

с1

с2

68

Из условия (1.5.2) пропорциональности соответствующих координат

векторов 1 1 2 заключаем, что векторы с1 и с2 коллинеарны, причем

8 8 16

с1 18 с2 .

Ортонормированный базис – это базис, состоящий из единичных (нормированных) и взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов. В этом случае базисные вектора имеют особые обозначения:

е1 =i , е2 = j , е3 = k .

Общей декартовой системой координат называется совокупность точки О и базиса. Если базис – ортонормированный, то декартова система называется прямоугольной. Точка, в этом случае называется началом координат и обозначается буквой О. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В случае прямоугольной системы координат координатные оси называются, соот-

ветственно, абсциссой, ординатой и аппликатой.

Радиус-вектором точки M в заданной системе координат называется

вектор ОМ . Координатами точки М называются координаты ее радиусвектора и обозначают М(x; y; z).

Координаты вектора в декартовой прямоугольной системе координат обычно обозначаются буквами x,y,z:

а = (x; y; z) xi + y j + z k (в R3) и а = (x; y) xi + y j (в R2).

Так как каждый вектор ОМ может быть единственным образом разложен по базису. Следовательно, каждой точке пространства однозначно соответствует тройка координат, т.е. тройка чисел. В этом и заключается сущность метода координат. В результате, геометрические объекты можно изучать алгебраическими методами. Раздел геометрии, в котором изучаются простейшие геометрические объекты, исследуются средствами алгебры, называется аналитической геометрией, будет изложен позже.

Пример Построить векторы: а) а=(2; 3)=2i + 3 j (в R2);

б) b =(1; -2; 3)=1i – 2 j + 3 k (в R3).

y

a

j

x

0 i

Рис. 1.5.6