- •Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции
- •2.1.1. Определение производной функции
- •2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •2.1.3. Непосредственное нахождение производной
- •2.1.4. Геометрический смысл производной
- •2.1.5. Механический смысл производной
- •2.1.6. Правила дифференцирования функций
- •2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций
- •2.1.8. Сводка формул Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •2.1.10. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.1.12. Экономический смысл эластичности
- •2.1.13. Свойства эластичности функции
- •2.2. Дифференциал функции одной переменной
- •2.2.1. Определение дифференциала функции
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •2.2.5. Дифференциалы высших порядков
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
- •2.4. Формулы Тейлора и Маклорена
- •2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •2.4.2. Формула Маклорена
- •2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •2.5.2. Определение экстремума функции
- •2.5.3. Необходимый признак экстремума функции
- •2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)
- •2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
- •2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
- •2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба
- •2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба
- •2.5.10. Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций
Получим формулы для нахождения производных основных элементарных функций.
1. . При нахождении производной функции используем определение производной, формулы преобразования тригонометрических выражений и первый замечательный предел.
.
2. . Используем формулы приведения и производную сложной функции, получим
.
3. . Используем формулу дифференцирования частного, получим
.
4. . .
При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.
5. . Для обратной функцией является .
.
6. .
.
7. .
.
8..
.
9. .При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.
.
В частном случае, когда a = e, .
10. При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция.
.
В частном случае, когда a = e , .
11. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.
.
В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.
. .
12. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.
=
= .
Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.
Например: 1) ;
2)
.
13. Производная функции, заданной неявно.
Функция называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо каждое слагаемое уравнения продифференцировать по x, учитывая, что y зависит от x, и из получившегося уравнения найти .
Пример 2.1. Найти производные функций , заданных неявно.
1) . Находим .
2) . Получаем
.
14. Производная функции, заданной параметрически.
Функция называется заданной параметрически, если функция y и аргумент x заданы в виде функций, зависящих от некоторого параметра t, т. е.
Найдем производную данной функции в общем случае
.
Здесь предполагается, что функция имеет обратную функцию .
Например, пусть функция в параметрической записи имеет вид
Исключим в этой системе параметр t. Получим
,
,
т. е. данная функция представляет окружность в параметрической записи.
Найдем производную данной функции.
.
2.1.8. Сводка формул Правила дифференцирования
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Таблица производных
1. .
2. . 2а. . 2б. . 2в. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. .
16. .