- •Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции
- •2.1.1. Определение производной функции
- •2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •2.1.3. Непосредственное нахождение производной
- •2.1.4. Геометрический смысл производной
- •2.1.5. Механический смысл производной
- •2.1.6. Правила дифференцирования функций
- •2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций
- •2.1.8. Сводка формул Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •2.1.10. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.1.12. Экономический смысл эластичности
- •2.1.13. Свойства эластичности функции
- •2.2. Дифференциал функции одной переменной
- •2.2.1. Определение дифференциала функции
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •2.2.5. Дифференциалы высших порядков
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
- •2.4. Формулы Тейлора и Маклорена
- •2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •2.4.2. Формула Маклорена
- •2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •2.5.2. Определение экстремума функции
- •2.5.3. Необходимый признак экстремума функции
- •2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)
- •2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
- •2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
- •2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба
- •2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба
- •2.5.10. Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.
.
Здесь уравнение хорды, стягивающей граничные точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)) графика функции (рис. 27); k – угловой коэффициент этой хорды. На рисунке для любого значения х ордината равняется разности ординаты и ординаты касательной ( ).
Рис. 27
Очевидно, что функция y = F(x) является непрерывной на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, так как образована с помощью функций и y = x – a, удовлетворяющих этим условиям.
Покажем, что функция y = F(x) принимает равные значения в граничных точках отрезка . Действительно,
;
.
Следовательно, функция y = F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и поэтому найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой производная этой функции равна нулю. Найдем производную функции
.
Значение производной функции в точке х = с равно
.
Отсюда получаем
.
Часто рассматривают функцию y = f(x) на отрезке . В этом случае последняя формула имеет вид
.
2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
На основании формулы можно утверждать следующее.
Рис. 28 |
Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке и гладкий на интервале , то на этом интервале найдется такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).
|
2.3.6. Теорема Коши
Теорема Коши. Если функции y = f(x) и y = g(x) непрерывные на отрезке , дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка и при этом производная y = g(x) ни в одной из этих точек не обращается в нуль (), то найдется такая внутренняя точка , что
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , иначе по теореме Ролля существовала бы такая точка , в которой , что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.
.
Значения функции y = F(x) в точках х = а и х = b равны нулю. Действительно,
,
.
Функция y = F(x) является дифференцируемой, так как является линейной комбинацией дифференцируемых функций y = f(x) и y = g(x). Находим
.
По теореме Ролля существует точка , в которой производная функции y = F(x) равняется нулю
.
Отсюда получаем
.
2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
Теорема 2.1. Если в некоторой окрестности точки функции y = f(x) и y = g(x) определены и дифференцируемые, причем , пределы функций при равны нулю, т. е. , то предел отношения этих функций равняется пределу отношения их производных
,
если этот предел существует (конечный или бесконечный).
Д о к а з т е л ь с т в о. Доопределим функции y = f(x) и y = g(x) так, что . Тогда на отрезке выполняются условия теоремы Коши, т. е. существует такая точка, что
.
Учитывая, что , имеем .
Так как при также и , то
.
Если в результате применения правила Лопиталя получается снова неопределенность типа и производные и также удовлетворяют требованиям теоремы, как функции и , то можно повторно применить правило Лопиталя, т. е. .
Правило Лопиталя справедливо также в случае когда . Покажем это. Пусть . Сделаем замену переменной x = 1/t. Тогда при и , . Применим к функциям и правило Лопиталя, получим
.
Здесь производные от функций и находились по правилу нахождения производных сложных функций.
Правило Лопиталя справедливо так же, если , т. е имеет место неопределенность типа , .
Покажем это. Преобразуем данный предел к пределу с неопределенностью типа и применим правило Лопиталя для этого случая, получим
Имеем равенство Отсюда получаем
, т. е. .
Пример 2.10. .
Пример 2.11. .
Пример 2.12. .
Если при нахождении пределов неопределенность имеет вид произведения , то прежде, чем применять правило Лопиталя, ее нужно привести к неопределенностям типа частного или .
Пример 2.13.
.
Пример 2.14.
.
Если при применении правила Лопиталя под пределом имеются некоторые функции, которые не приводят к неопределенности, то эти функции нужно выделить в отдельный предел, т. е. разбить предел на два предела.
Пример 2.15.
.