- •Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции
- •2.1.1. Определение производной функции
- •2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •2.1.3. Непосредственное нахождение производной
- •2.1.4. Геометрический смысл производной
- •2.1.5. Механический смысл производной
- •2.1.6. Правила дифференцирования функций
- •2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций
- •2.1.8. Сводка формул Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •2.1.10. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.1.12. Экономический смысл эластичности
- •2.1.13. Свойства эластичности функции
- •2.2. Дифференциал функции одной переменной
- •2.2.1. Определение дифференциала функции
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •2.2.5. Дифференциалы высших порядков
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
- •2.4. Формулы Тейлора и Маклорена
- •2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •2.4.2. Формула Маклорена
- •2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •2.5.2. Определение экстремума функции
- •2.5.3. Необходимый признак экстремума функции
- •2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)
- •2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
- •2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
- •2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба
- •2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба
- •2.5.10. Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
2.2. Дифференциал функции одной переменной
2.2.1. Определение дифференциала функции
Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, т. е. она имеет конечную производную. Тогда на основании теоремы 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции можно записать
,
где бесконечно малая функция по сравнению с x, т. е. .
Обозначим через произведение бесконечно малых функций и x. Следовательно, является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с x, . Запишем
.
Обозначают первое слагаемое в этой сумме через dy, т. е. , и называют дифференциалом функции y = f(x).
Если функция y = x, то . Это значит, что дифференциал dx и приращение x независимой переменной совпадают dx = x.
Тогда дифференциал функции имеет вид
или ,
а приращение функции равняется
.
Из равенства следует, что производная функции равняется
.
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке при бесконечно малом приращении независимой переменной x называется бесконечно малая функция dy прямо пропорциональная x и отличающаяся от приращения функции y на бесконечно малую функцию (x) более высокого порядка малости по сравнению с x.
Так как , где , то дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.
2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
Как показано выше, для приращения функции y и ее дифференциала справедливо приближенное равенство , где угол наклона касательной к оси Ох. Дифференциал функции dy и ее приращение y изображены на рис. 21, рис. 22.
Рис. 21 |
Рис. 22 |
Дифференциал функции y = f(x) в точке при приращении независимой переменной x равен приращению ординаты касательной () к графику функции в этой точке.
В зависимости от характера изменения функции дифференциал может быть больше (рис.21) или меньше (рис.22) приращения функции y.
2.2.3. Свойства дифференциала
Пусть u = u (x), v = v(x) дифференцируемые функции.
1. .
2. .
3. .
4. Вид дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или в свою очередь является дифференцируемой функцией другой переменной.
Действительно, если , то .
Если , , то .
2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений
-
Вычисление приближенного значения функции или ее приращения.
Пусть дифференцируемая функция в окрестности точки. Тогда при бесконечно малом приращении х с точностью до бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с х можно считать, что приращение функцииравняется ее дифференциалу , т. е. . Данное приближенное равенство используют для вычисления приращений функций и ее значений по формулам
,
.
При вычислениях по данным формулам точность не гарантируется. Все зависит от вида функции, величины независимой переменной и ее приращения, так как в данном случае любая функция заменяется линейной функцией (касательной к графику этой функции).
Пример 2.7. Вычислить значение , используя дифференциал.
Данный корень является значением функции при х = 10. Находим точку = 8, которая является наиболее близкой к х = 10 и в которой значение данной функции известно. Вычисляем величину приращения независимой переменной х = х = 10 8 = 2. Находим производную функции и ее значение в точке
= 8, . Вычисляем .
2. Дифференциал может быть применен для оценки погрешности вычисления функции.
Из приближенного равенства можем записать . Обозначив абсолютную предельную погрешность функции, абсолютную предельную погрешность независимой переменной, получим
.
Приближенное равенство поделим на значение функции , получим . Обозначив относительную предельную погрешность функции, получим формулу для ее вычисления
.
Пример 2.8. Пусть приближенное значение длины ребра некоторого куба равно 10 м. Определить допустимую абсолютную предельную погрешность измерения длины ребра куба , при которой вычисление объема куба по формуле относительная предельная погрешность не превзойдет 1% (=0,01).
Находим: , = 10, , , . По формуле получаем . Отсюда м., т.е. 3,3 см.