- •Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •2.1. Производная функции
- •2.1.1. Определение производной функции
- •2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •2.1.3. Непосредственное нахождение производной
- •2.1.4. Геометрический смысл производной
- •2.1.5. Механический смысл производной
- •2.1.6. Правила дифференцирования функций
- •2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций
- •2.1.8. Сводка формул Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •2.1.10. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.1.12. Экономический смысл эластичности
- •2.1.13. Свойства эластичности функции
- •2.2. Дифференциал функции одной переменной
- •2.2.1. Определение дифференциала функции
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •2.2.5. Дифференциалы высших порядков
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
- •2.4. Формулы Тейлора и Маклорена
- •2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •2.4.2. Формула Маклорена
- •2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •2.5.2. Определение экстремума функции
- •2.5.3. Необходимый признак экстремума функции
- •2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)
- •2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
- •2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
- •2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба
- •2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба
- •2.5.10. Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
2.2.5. Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n 1)-го порядка, полученный в предположении, что дифференциал независимой переменной постоянный, т. е.
.
Находим , . Очевидно, .
Из последнего равенства можно записать .
Пример 2.9. Найти дифференциал второго порядка функции .
Находим: , .
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
2.3.1. Теорема Ролля
Теорема Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая в каждой его внутренней точке и принимает равные значения в граничных точках отрезка, то найдётся такая внутренняя точка отрезка х= с, в которой производная функции равна нулю .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция y = f(x) по условию теоремы непрерывная, то она достигает на отрезке [a, b] наибольшего М и наименьшего m значений, т. е.
; .
Рассмотрим два возможных случая.
1. M = m. Если наибольшее М и наименьшее m значения функции совпадают, то она является постоянной y = f(x) = const и её производная равна нулю в любой внутренней точке этого отрезка, т. е. .
2. M m. Тогда y = f(x) не является постоянной и не может одновременно достигать наибольшего и наименьшего своих значений в граничных точках отрезка [a, b] . Пусть она достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке х = с, т. е. f(c)= M. В этом случае и приращение функции в этой точке . Найдем односторонние пределы функции в этой точке
, так как , .
, так как , .
Функция y = f(x) дифференцируемая в каждой внутренней точке, в том числе и при х = с. Следовательно, производная функции в этой точке равна нулю .
2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
Рис. 23
|
Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке [a, b] и гладкий (не имеет точек излома) на интервале (a, b) и ординаты графика функции в граничных точках отрезка равные f(а)= f(b), то найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 23).
|
2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
Рассмотрим три функции.
1. Функция является непрерывной на отрезке [1; 1] и принимает равные значения в граничных точках . Однако функция не имеет производной в точке х = 0, так как при х > 0 , а при х < 0 . Нарушение условия дифференцируемости функции только в одной внутренней точке отрезка приводит в данном случае к отсутствию точки, в которой производная функции равна нулю, а касательная к графику горизонтальна (рис. 24).
2. Функция принимает равные значения в граничных точках рассматриваемого отрезка , является дифференцируемой в каждой внутренней точке отрезка [0; 1], но имеет одну точку разрыва при х = 1. В результате этого в данном случае отсутствует точка, в которой производная функции равна нулю, а касательная к графику горизонтальна (рис. 25).
Рис. 24 |
Рис. 25 |
Рис. 26 |
3. Функция на отрезке [1; 1] удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Функция является непрерывной на отрезке [1; 1], принимает равные значения в граничных точках отрезка и ее производная существует в каждой внутренней точке отрезка. В граничных точках отрезка производная не существует (бесконечная). В теореме Ролля не требуется дифференцируемости функции в граничных точках отрезка. Всего этого достаточно, чтобы существовала внутренняя точка отрезка х = 0, в которой производная равна нулю, а касательная параллельна оси Ох (рис. 26).