2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
Теорема
2.6. Если в
окрестности критической точки
функция
является непрерывной, а так же
дифференцируемой в этой окрестности,
за исключением быть может самой точки,
и при переходе х
через
производная
изменяет знак, то
является точкой локального экстремума;
причем, если знак
изменяется с «+» на «»,
то
точка максимума, если знак изменяется
с «»
на «+», то
точка минимума.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть в -окрестности
критической точки
знак
изменяется с «+» на «».
Тогда по достаточному признаку
монотонности функции на интервале
функция возрастает, а на интервале
функция убывает, т. е.
является точкой локального максимума.
Аналогично для случая изменения знака
производной функции с «»
на «+», функция на интервале
убывает, а на интервале
возрастает и точка
является точкой минимума.
2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)
Теорема
2.7. Если
функция
является непрерывной и дважды
дифференцируемой в окрестности точки
,
производная функции в этой точке равна
нулю
,
а производная второго порядка отлична
от нуля
,
то
является точкой локального экстремума
функции; причем, если
,
то имеет место минимум, а если
максимум.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть в точке
,
(рис.34).
Так как
является производной от производной
,
то она определяет характер изменения
функции
.
По предположению
.
Так как
непрерывная функция, то она больше
нуля не только в точке
,
но и в некоторой окрестности этой точки
.
|
Рис. 34 |
Так как
|
,
то по признаку монотонности функции
является возрастающей функцией.
Функция
возрастающая, а в точке
,
поэтому на интервале
она является отрицательной, а на
интервале
положительной.
По первому
достаточному признаку экстремума в
этом случае в точке
имеет место минимум.
Аналогично можно
показать, что если
,
то
является точкой максимума.
Пример
2.21. Исследовать
на экстремум функцию
.
|
Рис.35 |
Найдем
|
,
.
при х =
0.
.
Следовательно, х
= 0 является
точкой минимума (рис. 35).
2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба
|
Рис. 36 |
График функции называется выпуклым (вогнутым) вверх на некотором интервале, если он находится ниже (выше) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 36). |
2.5.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
Теорема
2.8. Если
функция
является непрерывной и дважды
дифференцируемой на интервале
и производная второго порядка в любой
точке этого интервала положительная
(отрицательная
),
то график функции является вогнутым
(выпуклым)
на этом интервале.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Пусть
касательная к графику функции
,
проведенная в произвольно выбранной
на интервале
точке
(рис. 37).
Рис. 37
О
характере выпуклости (вогнутости)
графика функции будем судить по разности
MN
ординат графиков функции
и касательной
в точке х.
Используем разложение функции
в окрестности точки
по формуле Тейлора (достаточно учесть
два слагаемых и остаточный член)
,
где
.
Запишем
.
Отсюда следует,
что если
,
то MN
> 0 и на
интервале
график вогнутый. Если же
,
то MN
< 0 и график
функции выпуклый.
Запоминают
следующим образом. Если
(«+»), то график функции вогнутый (вода
производная второго порядка держится
на кривой) (рис. 37а). Если
(«»),
то график функции выпуклый (вода
производная второго порядка скатывается
с кривой) (рис. 37а).
|
Рис. 37а |
Рис. 37б |
