- •Кафедра физики
- •Элементы статистической физики
- •Введение
- •Микро- и макропараметры
- •Флуктуации
- •Броуновское движение
- •3. Плотность потока физических величин
- •Величина потока
- •Физический смысл плотности потока импульса
- •4 Понятие вероятности
- •Многокомпонентные случайные величины
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •1.Теорема сложения вероятностей
- •2. Теорема умножения вероятностей
- •Условие нормировки
- •5. Формальные задачи статистики
- •6. Термодинамическое равновесие. Распределение Гиббса
- •7. Распределения Максвелла
- •Среднее значение компоненты скорости
- •Среднее значение квадрата компоненты скорости
- •Распределение Максвелла для модуля скорости.
- •9. Основное уравнение кинетической теории газов
- •10. Уравнение состояния идеального газа. Закон равнораспределения Больцмана
- •Количество вещества
- •11. Чёрное излучение.
- •12. Функции распределения в квантовой механике
- •Контрольные тестовые вопросы и упражнения для самоподготовки
- •Библиографический список
- •Оглавление
Среднее значение компоненты скорости
(7.11) |
Этот результат очевиден просто в силу нечетности подынтегральной функции и симметричных пределов интегрирования.
Среднее значение квадрата компоненты скорости
(7.12) |
Обратим внимание, что в определенном интеграле переменную интегрирования можно выбирать любую, значение интеграла от этого не зависит.
Квадратный корень из среднеквадратичной скорости имеет размерность самой скорости и часто используется для сравнений:
(7.13) |
. Распределение Максвелла для вектора скорости
Задание вектора скорости эквивалентно заданию его комронент. В максвелловском газе эти компоненты статистически независимы. Поэтому можно сразу записать для функции распределения f:
\ (7.14) |
Распределение Максвелла для модуля скорости.
Как уже рассматривалось в п. 5\. , направление вектора задаётся углами Эйлера. Элементарная площадка на сфере радиуса записывается в виде:
(7.15) |
Если интересоваться только модулем и не интересоваться направлением скорости, \то согласно теореме сложения вероятностей, следует просуммировать все состояния в бесконечно узком сферическом слое толщенной :
.
(7.16) |
Поэтому, функция распределения, входящая в элементарную вероятность
записывается в следующем виде:
(7.17) |
Среднее значение модуля скорости.
(7.18) |
Здесь используется табличный интеграл:
(7.19) |
.Среднее значение квадрата скорости.
(7.20) |
Здесь используется табличный интеграл:
(7.21) |
Наиболее вероятная (наивероятнейшая) скорость
Имеется в виду скорость, отвечающая максимуму функции распределения. Она отвечает условию :
(7.22) |
Распределение Максвелла для энергии.
Элементарная вероятность для величины энергии записывается в виде:
(7.23) |
Далее нужно просто в F выразить скорость через энергию:
(7.24) |
В итоге получаем:
(7.25) |
8. Среднее число ударов молекул о стенку для максвелловского газа
Микроскопическое значение числа ударов молекул о стенку дается формулой (3.14). Конечно, здесь имеется в виду плотность потока числа частиц, то есть число частиц, ударяющихся в единицу времени об единицу площади поверхности. Пусть площадка перпендикулярна оси Х. Тогда нужно взять только одну компоненту:
(8.1) |
Среднее значение от плотности потока называют интенсивностью числа ударов. Обозначим ее греческой буквой , по определению:
(8.2) |
Поскольку газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то n = const, иначе возникла бы диффузия молекул. Низний предел интеграла полагается нулем, поскольку учитываются только те молекулы, которые летят к стенке (а не от нее!). Значение табличного интеграла имеет вид:
(8.3) |
При решении конкретных задач часто возникает необходимость в различных выражениях через требуемые заданные параметры.
Выводы. Обратим внимание, что во многие формулы входит характерный параметр В связи с этим выражение для числа ударов может быть представлено через характерные статистические скорости (параграф 7).