- •Кафедра физики
- •Элементы статистической физики
- •Введение
- •Микро- и макропараметры
- •Флуктуации
- •Броуновское движение
- •3. Плотность потока физических величин
- •Величина потока
- •Физический смысл плотности потока импульса
- •4 Понятие вероятности
- •Многокомпонентные случайные величины
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •1.Теорема сложения вероятностей
- •2. Теорема умножения вероятностей
- •Условие нормировки
- •5. Формальные задачи статистики
- •6. Термодинамическое равновесие. Распределение Гиббса
- •7. Распределения Максвелла
- •Среднее значение компоненты скорости
- •Среднее значение квадрата компоненты скорости
- •Распределение Максвелла для модуля скорости.
- •9. Основное уравнение кинетической теории газов
- •10. Уравнение состояния идеального газа. Закон равнораспределения Больцмана
- •Количество вещества
- •11. Чёрное излучение.
- •12. Функции распределения в квантовой механике
- •Контрольные тестовые вопросы и упражнения для самоподготовки
- •Библиографический список
- •Оглавление
5. Формальные задачи статистики
С формальной точки зрения основными расчётными формулами в статистике являются формулы, определяющие средние значения м условия нормировки. Нахождение функций распределения составляет отдельную задачу. Существует методика их нахождения, как чисто экспериментальная, так и теоретическая (в физических задачах это сводится к решению уравнения Лиувилля, довольно сложного, нелинейного, для которого разработаны различные способы приближённого решения). При этом оказывается. что сами функции распределения могут быть весьма разнообразными в различных областях применения статистики. Поэтому главная задача для студентов на первом этапе - овладеть формальными методами расчёта. Существует большое количество тестовых задач на формальное применение теории при заданных функциях распределения и области существования случайных величин. Рассмотрим некоторые примеры.
1. Равномерные распределения. Одномерный случай (1Д). случайная величина х определена на интервале (а,в) с одинаковой вероятностью (рис. 2).
Обычно требуется найти среднее от некоторой заданной функции случайных величин, и довольно часто следует сравнить с каким либо другим средним.
Условие нормировки даёт:
(5.1)
|
Среднее от х даётся простым интегралом:
(5.2)
|
Средний квадрат также определяется через простой табличный интеграл:
(5.3)
|
Пусть a = 0, b = 1, тогда <x> = 1/2, <x2> = 1/3. Отношение среднего к среднеквадратичноу равно 3/2.
Обычно подобного рода оценки и предлагаются на тестовых испытаниях, при решении используются простейшие табличные интегралы. В данном примере среднее оказывается больше среднеквадратичного.
-
Двумерное (2Д) равномерное распределение:
f(x,y) = A = const, x |
(5.4) |
Нормировка:
(5.5 |
Откуда имеем:
Среднее значение:
Ясно, что средние <x> и <y> по виду такие же, как и в (1Д). Фактически можно считать, что в данном случае f = f(x) f(y) Но новое то, что возникает и смешанное среднее:
(5.6) |
Стандартный тестовый вопрос: каково отношение cреднего квадрата к смешанному среднему, при a = b = 1? Ответ 4/3.
3. Двумерный изотропный газ.
Какова функция распределения газа по направлениям скоростей? Направления на плоскости определяются единственным углом , отсчитанным от некоторого направления Х. Так, что задача сводится к случаю 1, только здесь область определения есть 2п, поэтому элементарная вероятность имеет вид:
(5.7)
|
4. Трёхмерный (3Д) изотропный газ. Теперь направление в пространстве определяется уже двумя углами, и их называют углами Эйлера (рис.3).
Если все направления в пространстве равновероятны, то элементарную вероятность, , можно определить как отношение элементарной площадки на поверхности сферы произвольного радиуса к площади всей поверхности сферы:
(5.8)
|
откуда функция распределения по углам равна:
(5.9) |
Видно, что и статистически независимы, поскольку f представима как произведение, причём, обе функции нормированы на единицу.
Замечание.
Для задания направления в 3Д пространстве иногда вместо используется другой угол, отсчитываемый от плоскости (X,Y). Например. в астрономии это плоскость горизонта, Поэтому этот угол называют полярным, а угол - азимутальным.
5. В практике статистических расчётов довольно часто для функций распределения вероятности используются экспоненциальные функции типа exp(an) и exp(an2 ) , где а > 0. Довольно часто коэффициентами при экспонентах выступают степенные функции или даже целые полиномы. Причём случайная величина может принимать не только непрерывные значения, но и дискретные (квантовые). Рассмотрим функцию распределения типа:
|
(5.10)
|
где n принимает целочисленные значения, пусть всего два - 0 и 1. Тогда нормировочная константа А определяется условием:
(5.11) |
Среднее значение:
(5.12) |
При функция изменяется от 1/2 до нуля. При <n> стремится к единице. получается такая "ступенчатая" функция.
Дополнение. Если принять , где - энергия микрочастицы, - химический потенциал, а Т - температура, то в таком виде эта функция называется распределением Ферми-Дирака. Химический потенциал - это энергия удаления или присоединения одной частицы к остальному газу частиц. В силу различных причин она может быть как положительно, так и отрицательной, или даже равняться нулю.