12. Функции распределения в квантовой механике

Микрочастицы имеют характеристики, которые у классических объектов практически не проявляются. Одной из таких характеристик является волновая функция. Этот параметр определяет многие наблюдаемые эффекты. Волновая функция определяет вероятность рассматриваемой физической величине иметь определённые значения. Эта вероятность определяется квадратом модуля волновой функции. В этой связи её часто называют амплитудой вероятности. Амплитуда вероятности может быть вещественной или комплексной функцией, но сама вероятность, конечно, вещественна.

Волновые функции обозначают разными символами (буквами), Обычно для координаты r (или x, y, z) используется греческая буква . Поэтому эту волновую функцию часто так и называют пси-функцией. Пси-функция как функция координат определяет вероятность нахождения частицы в точке с этими координатами:

dW(x,y,z) = ||^2 dx dy dz.

(12.1)

Напомним, что для непрерывных распределений это означает вероятность в элементе объёма dV = dx dy dz. Волновая функция считается нормированной, если нормирована функция распределения вероятности f = | |².

Уравнение Шредингера

Для нахождения пси-функции существует уравнение, открытое в 1926 году Э. Шредингером. Существуют стандартные математические методы его решения, но, как правило, за редким исключением, они выходят за рамки курса. Вот эти редкие исключения и служат источником студенческих тестов. Во-первых, следует узнавать сам вид уравнения, и не путать его с другими, может быть даже где-то похожими уравнениями. Уравнение Шредингера имеет вид:

(12.2)

где i - мнимая единица, символ Н называется гамильтонианом, или оператором Гамильтона (английский математик).

Здесь следует усвоить немного новую терминологию. Слово "оператор" в современном языке довольно распространено. Просто оператор выполняет определённую операцию, здесь чаще всего математическую. Например, если U - есть потенциальная энергия частицы, то U есть простое умножение. Но существуют и более сложные операции, включающие, например, дифференцирование и интегрирование. Самая простая дифференциальная операция - это просто взятие производной по х, то есть df/dx, и здесь символ d/dx выступает как дифференциальный оператор, он действует на функцию f и преобразует её в другую функцию, например. G.

В совасем развёрнутом виде (поэтому, конечно, достаточно громоздком) уравнение Шредингера имеет следующий вид:

(12.3)

И это записано ещё в декартовой системе координат (X, Y, Z). Хпрактерная сумма вторых производных естественено для краткости обычно обозначается одним символом:

12.4)

Этот значок должен быть уже знаком студентам по теме "дифференциальное уравнение волны". Это оператор Лапласа . Итак, студенты должеы быть знакомы и с записью уравнения Шредингера через оператор Лапласп. И в этом есть есть определённая опасность путаницы, когда возникает тестовый вопрос выделить среди ряда предлагаемых уравнений именно уравнение Шредингера. Классическое уравнение волны имеет вид:

(12.5)

Видно, что в это уравнение входить вторая произволная повремени, тогда как в уравнение Шредингера входит первая производная.

Оператор в виде перевёрнутого треугольника также знаком студентам по разделу "элетростатика", его называют градиентом. Это векторный оператор, компоненты которого пропорциональны производным по координатам.

Чтобы представить гамильтониан Н как полную энергию частивы, то есть как сумму кинетичесокй и потенциальной энергий

(12.6)

в квантовой механике приходится считпть импульс частицы векторнымоператором:

(12.7)

Ещё один простой тестовый вопрос требует умение различать уравнения Шредингера по размерности. Например, в 1Д-случае уравнение содержит всего одну координату, суажем Х:

(12.8)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Термин "стационарный" - значит постоянный, не меняющийся во времени. И вот один из тестовых вопросов гласит: какой же вид приобретает уравнение Шредингера для стационарного состояния? Подход к этому вопросу по классическому образцу будет не верным. В уравнениях механики достаточно просто убрать слагаемые с производными по времени, и то, что осталось - есть уравнения равновесия (сумма всех внешних сил равна нулю и сумма всех внешних моментов сил тоже равна нулю).

Если энергия U не зависит от времени, то можно просто разделить переменные r и t записав:

(12.9)

И тогда получится уравнение только для :

(12.10)

Это и есть стационарное уравнение, а параметр Е является значением полной энергии. Когда возникает уранение ткого типа, то говорят, что Е есть собственная функция оператора Н.

Бесконечно глубокая потенциальная яма

Это самая простая для расчёта модельная задача. Рассмотрим вначале 1Д-случай. По оси Х на отрезке от 0 до а потенциальная энергия U = 0. А вне этого отрезка частица быть не может, бесконечно высокий потенциальный барьер делает стеки непроницаемыми. Предполагается также, что волновая функция везде непрерывна. Если везде вне ямы = 0. то и на границах

(0) = (а) = 0, иначе непрерывность нарушается.

Внутри ямы уравнение Шредингера имеет типичный канонический вид колебательного уравнения:

(12.11)

где Здесь штрихами обозначена производная по координате, так что это уравнение колебаний, но не во времени, в в пространстве ("замороженная волна). Величина к в таком случае играет роль циклической частоты по пространству, иначе говоря это воновое число.

Стандартное решение есть гармоническая функция Начальная фаза равна нулю, чтобы удовлетворить граничное условие при х = 0. А второе граничное условие при х = а приводит к квантовантю к:

(12.12)

Итак, волновая функция в рассматриваемой модели равна:

(1213)

где , а нормировочная постоянная . Последнее следует из условияч нормировки:

(12.14)

Спектр значений энергии также оказывается дискретным:

(12.15)

В рамках рассмотренной модели величина дискретных энергетисеских уровней растёт квадратично с номером квантового числа n. Этот факт не является универсальным. Зависимость от n определяетсвя видом потенциальной энернии, которой обладает частица. Так, в кулоновском поле, U ~ 1/r, энергетический спектр оказывается обратно пропорционален квадрату n, а для гармонического осциллятора уровни энергии эквидистантны.

Полезно знать виды стандартных потенциальных энергий, это поможет сразу ответить на тестовый вопрос: какое из предложенных уравнений записано для 1Д-гармонического осциллятора? Нужно просто посмотреть, какая потенциальная энергия входит в гамильтониан Н.

Типичный тестовый вопрос для модели 1Д-потенциальной ямы обычно предлагает определить вероятность нахождения частицы в определённой части ямы. Обратим внимание, что здесь число полуволн волновой функции на кождом уровне равно как раз числу n. Например, на шестом уровне их тоже шесть. И здесь не важно, положительная полуволна или отрицательная, в вероятность входи квадрат волны. Тогда, вероятность нахождения частицы на любом отрезке в целую длину волны равне2/6 = 1/3. Конечно, если задаётся отрезок произволь\ной длины, необходимо проинтегрировать квадрат пси-функции по этому отрезку.

3Д =потенципльная яма

На основании полученных результатов можно сразу записать формулу для уровней энергии в прямоугольном потенциальном ящике со сторонами а. в. и с и объёмом V = abc. Движение по осям X, Y, Z независимо, поэтому полная волновая функция представима как произведение:

(12.16)

Уросни энергии также нумеруются тройкой челых чисел.

(12.17)

В квантовом случае даже одна частица производит давление на ограничивающне её стенки.Например, средняя сила, действующая на стенку, перпендикулярную оси Х. есть:

(12.18)

Тогда давление, действующее на эту стенку, равно:

(12.19(

Обратим внимание, что для "квантового заза" одной частицы не выполняется закон Паскаля, здесь давление на разные стенки - разное.

В связи с операторным смыслом представления физических величин в квантовой механиен требует уточнения формула для вычисления средних значений. В классической статистике усредняемая величина под знаком интеграла может стоять на любом месте, это не влияет на результат. В квантовой механике это уже не так. Как уже отмечалось. оператор, действуя на функци. може перевести её в совершенно другую функцию. поэтому очень важно местоположение оператора в интеграле. Так вот, следует запомнить простое правило: оператор должен стоять в середине между функциями. Например. для некоторого произвольного оператора B следует писать:

(12.20)

Таким образом, диагональная (с одмнаковыми индексами) величина (называемая матричным элементом) даёт выражение для среднего значения оператора.

Но и недиагональные матричные элементы оказываются очень важными, они определяют вероятность перехода частицы из одного состояния в другоеж