3. Плотность потока физических величин

Вещество, рассматриваемое как сплошная среда, своими микрочастицами переносит в пространстве и во времени практически важные физические характеристики. При усреднении микропараметры переходят в макропараметры.

Так, например, индивидуальная характеристика микрочастицы - импульс - после усреднения, уже становится характеристикой системы многих частиц в целом, то есть макропараметром.

Существует целый ряд различных комбинаций микропараметров, которые после усреднения, дают важные и практически полезные характеристики вещества. К таким параметрам относятся так называемые потоки физических величин. Первичной характеристикой здесь является плотность потока физической величины.

Плотность потока

Это векторная величина, численно равная количеству рассматриваемой физической величины, переносимой в единицу времени, через единичную площадку, нормальную к направлению потока:

(3.1)

Пусть плотность потока обозначена буквой j. Практически j конструируется достаточно просто. Это есть объёмная плотность физической величины w, умноженная на скорость перемещения этой плотности V:

(3.2)

где

(3.3)

Действительно, размерность j оказывается имеет вид:

(3.4)

Таким образом, это действительно оказывается количество любой физической величины, переносимой в единицу времени через единицу нормальной поверхности.

Величина потока

Поток физической величины Ф – это уже скаляр. Он определяет количество физической величины, проходящей сквозь произвольную поверхность в единицу времени:

:

(3.5)

Здесь поток обозначен буквой Ф, поток может быть как положительным, так и отрицательным. Всё зависит от выбора положительной нормали к поверхности. Иначе говоря, знак зависит от того, в какую часть пространства происходит переливание через поверхность (рис. 1). Отметим, что поток имеет размерность мощности, и поэтому может обозначаться как производная по времени Например, поток массы М часто обозначают как dM/dt.

На рисунке j_n - это проекция плотности потока на перпендикулярное направление к площадке n, dS _ есть величина этой площадки.

Очевидно, что только нормальная компонента j_n определяет перенос через площадку, тогда как тангенциальная j_t производит перенос только вдоль площадки.

В частном случае, если величина j постоянна, то:

Ф = j S Cos

(3.6)

Ещё раз обратим внимание, что размерность потока есть:

так, что он характеризует скорость изменения физической величины. Рассмотри ряд типичных примеров.

При течении жидкостей и газов по трубе поперечного сечения S, поток массы есть:

Фм = dM/dt = v S

(3.7)

Это масса жидкости или газа, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Здесь объёмная плотность жидкости обозначена как. Тогда плотность потока массы есть просто:

jM = v

(3.8)

Если количество жидкости измерять не её массой, а объёмом, то формально:

w = dV/dV = 1

(3.9)

И это значит, что плотность потока объёма есть просто скорость:

jv = v

(3.10)

А поток объёма (объём жидкости, протекающей в единицу времени через сечение трубы):

(3.11)

Плотность потока частиц

В данном случае объёмная плотность числа частиц N есть просто концентрация n:

(3.12)

И тогда вектор плотности потока частиц запишется в виде:

j_N =v

Плотность потока частиц - это число частиц, проходящих через поперечное сечение в единицу времени.

Плотность потока импульса

Этот пример отличается от предыдущих тем, что сама физическая величина уже является вектором:

P = m V

(3.13)

Вектор задаётся своими компонентами (проекциями). А поскольку скорость сама является вектором, то плотность потока вектора содержит уже два индекса, нумерующие две группы

компонент (как двумерная табличка, матрица). Одна компонента служит для импульса (например, Рх), а другая для компоненты скорости переноса (например, Vy).

Рассмотрим вначале произвольную компоненту импульса, например компоненту Х. Величина импульса в единице объёма есть произведение импульса отдельной частицы на концентрацию частиц:

(3.14)

Теперь, соответствующая компонента плотности потока импульса имеет вид:

(3.15)

Замечание: Математическая величина с двумя индексами является матрицей (или тензором второго ранка).

В дальнейшем часто используется и диагональная компонента:

(3.16)