Многокомпонентные случайные величины
Существует большое разнообразие случайных величин, они могут быть скалярными, векторными, тензорными и т.д.. Например, вектор скорости уже имеет три компоненты, и в общем случае они все – случайные величины. Поэтому функции распределения вероятностей могут зависеть сразу от нескольких переменных. Тогда формула (4.1) естественным образом обобщается на этот случай:
|
dW(u1, u2, …) = f(u1, u2, …) du1 du2. |
(4.2) |
Дополнение 1. Существует и строгое, математическое определение вероятности. Если обозначить через N – полное число измерений значений случайной величины, а N0 – есть число случаев реализации заданного, определенного её значения, то вероятностью называют:
|
|
Физически, в макроскопическом случае, мы имеем дело с очень большим числом частиц, и каждая частица является источником случайности, поэтому практически нам нет надобности ставить знак предела (lim), и, собственно вероятностью является доля реализации заданного значения, то есть просто отношение N0 / N. Для непрерывного спектра элементарной вероятностью является отношение (например, доля частиц, обладающих определенным свойством):
|
|
(4.3) |
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Очень важным понятием для случайных величин является понятие статистической независимости. Под этим понимается то, что вероятности одних значений совершенно не зависят от вероятности других. Если эти условия выполняются, то могут быть сформулированы следующие утверждения (теоремы).
1.Теорема сложения вероятностей
Случайная величина может принимать несколько значений, и каждое имеет свою вероятность. Часто возникает необходимость вычислить вероятности несколько более сложных, комбинированных процессов. Например, если случайная величина принимает какие-то значения Z и Z с вероятностями W и W, то какова вероятность того, что реализуется или Z , или Z (то есть и то, и другое подходит). Обратим внимание, что это не очень сильное требование, поскольку любая из величин годится, а не жёстко какая-то конкретная. Но тогда вероятность такого процесса должна увеличиваться. Для такой ситуации и оказывается справедливой теорема сложения вероятностей, которая утверждает в данном случае, что:
|
|
(4.4) |
.
Так, если вероятность выпадения любой цифры на гранях кубика равна 1/6, то вероятность выпадения или цифры 2, или цифры 5 (то есть цифры 2 и 5 подходят) равна 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Теорема справедлива для любого количества значений переменных, как дискретных, так и непрерывных. Она используется тогда, когда требуется найти вероятность реализации нужных значений из целого набора, целого множества значений случайной величины. Итак, для дискретного спектра теорема сложения вероятностей гласит:
|
|
(4.5) |
Для сплошного спектра:
|
|
(4.6) |
Последняя формула даёт вероятность того, что случайная величина попадает в интервал значений или x1x2, или x3x4.
В принципе случайная величина может иметь значения как в непрерывном спектре, так и одновременно в дискретном, тогда придётся использовать обе указанные выше формулы.