2. Теорема умножения вероятностей

Другая ситуация возникает, если налагается более жёсткое условие. Пусть теперь требуется определить вероятность ситуации, когда Z₁ и Z₂ чётко фиксированы, , то есть какова вероятность того, что первая случайная величина принимает значение Z₁, а вторая = обязательно значение Z₂. Это, конечно, более ограничительное требование. В примере с гранями кубика оно оз0начает, что одно выпадение должно быть обязательно 2, а другое = обязательно 3 (и никакое другое). Очевидно, что чем более жёсткое требование, тем менее вероятным должно оказаться такое событие. Именно в таком случае и оказывается справедливой теорема умножения вероятностей. Если случайные величины статистически независимы, то вероятность реализации процесса с чётко требуемыми значениями (то есть должно реализоваться обязательно и конкретное Z₁, и конкретное Z₂) равно произведению вероятностей этих случайных величин:

(4.7)

В примере с игральным кубиком вероятность события: выпадение цифры 2, а затем обязательно выпадение цифры 3, есть (1/6)(1/6) = 1/36. Как видно это значительно меньше, чем 1/3. Теорема умножения вероятностей распространяется и на большее количество случайных величин:

(4.8)

Эта теорема оказывается полезной для нахождения вероятностей много компонентных случайных величин. Так, полная функция распределения вероятностей f() , в случае статистической независимости, может быть записана через функции распределения отдельных величин в виде:

f(u1,…uN)=f1(u1),,,fN(uN)

(4.9)

Условие нормировки

Теорема сложения вероятностей даёт математическое простого, но очень важного свойства вероятности. А именно, сумма всех вероятностей даёт вероятность того, что хотя бы какое то событие обязательно произойдёт, так что вероятность этой суммы равна 1. Итак, сумма всех вероятностей случайной величины должна равняться единице. В общем случае это свойство записывается следующим образом:

(4.10)

Это и есть обязательное условие нормировки вероятности (нормировка на единицу). В написанном выражении подразумевается, что случайная величина имеет как сплошной, так и дискретный спектр значений. Интеграл и сумма распространяются на все возможные значения случайной величины.

Средние значения

Пусть некоторая случайная величина Ф является комбинацией (функцией) других случайных величин, ф(U1,...Un). По определению, среднее значение Ф вычсляется по формуле:

(4.11)

Обратим внимание, что может быть использовано два типа обозначения средних - угловые скобки и чёрточка сверху символа. Эта формула записана для непрерывного спектра. Аналогично, можно записать и для дискретного спектра:

(4.12)

Как и в случае непрерывного (сплошного) спектра, для дискретной (квантовой) ситуации полная вероятность может зависеть от нескольких случайных переменных, принимающих дискретные значения. возможна также и смешанная ситуация, когда одни случайные величины непрерывны, а другие = дискретны. И, наконец, ещё раз напомним, что важность процесса усреднения заключается в том, что при этом микропараметры системы становятся макроскопическими.