1.5 Линейный гармонический осциллятор.

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах как классической, так и квантовой теории. Пружинный, физический и мате­матический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов.

Квантовый гармонический осциллятор - это колеблющаяся по гармоническому закону микрочастица, находящаяся в связанном состоянии внутри атома или ядра. При этом потенциальная энергия остается классической, характеризуя аналогичную упругую возвращающую силу kx. Учитывая, что циклическая частота получим для потенциальной энергии . Соответствующее стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая (19.3) приобретает вид:

. (1.12)

В математическом отношении задача эта еще более сложная, чем предыдущие. Поэтому ограничимся констатацией того, что получится в результате. Как и в случае с одномерной ямой, мы получим дискретный спектр собственных функций и собственных энергий, и одному собственному значению энергии будет соответствовать одна волновая функция: E_n Û y_n (нет вырождения состояний, как в случае с трехмерной ямой). Плотность вероятности |y_n|² также представляет собой осциллирующую функцию, однако высота "горбов" различна. Это уже не sin², а полиномы Эрмита H_n(x)¹. Волновая функция имеет вид

, где С_n - зависящая от n константа. Спектр собственных значений энергий:

, (1.13)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3 ... . Таким образом, существует и "нулевая энергия" , выше которой спектр энергий образует "этажерку", где полочки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 1.4). На том же рисунке для каждого уровня энергии показана соответствующая плотность вероятности |y_n|², а также потенциальная энергия внешнего поля (пунктирная парабола).

Существование отличной от нуля минимально возможной энергии осциллятора имеет глубокий смысл. Это означает, что колебания микрочастиц не прекращаются никогда, что в свою очередь означает недостижимость абсолютного нуля температуры.

1.6 Электрон в атоме водорода

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода равна

(1.14)

где r — расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении будем считать точечным. Графически функция U(r) изображена жирной кривой

на рис. 1.5 а. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает. Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид

(1.15)

Решение уравнения (1.15) проводят методом разделения переменных с учетом естественных требований, налагаемых на ψ-функцию: она должна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решения уравнения являются непрерывными, однозначными и конечными в следующих случаях:

1. при любых положительных непрерывных значениях энергии;

2. при дискретных отрицательных значениях энергии.

Первый случай соответствует свободному электрону (заштрихованная область на рис. 1.5 б), второй — получаемым из уравнения Шредингера собственным значениям энергии

n = 1, 2, 3, …

(1.16)

Случай (Е < 0) соответствует связанным состояниям электрона в атоме.

Решение уравнения Шредингера приводит в случае Е < 0 к формуле (1.16) для энергетических уровней без использования каких-либо дополнительных постулатов (в отличие от первоначальной теории Бора). Кроме того, совпадение с формулой Бора означает, что мы пришли к той же самой системе энергетических уровней, как в теории Бора. Это же относится и к частотам излучения при переходах между уровнями.

Таким образом, решение уравнения Шредингера приводит для атома водорода к появлению дискретных энергетических уровней Е₁, Е₂, ..., Е_п, показанных на рис. 1.5 б в виде горизонтальных прямых.

а) б)

Рис. 1.5 . а - потенциальная энергия U(r) и б - собственные значения энергии Е электрона в атоме водорода.

Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (Е_п > Е₁ , п = 2, 3, ...) — возбужденные. При Е < 0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п → ∞ Е_∞ → 0.

При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 1.5 б) соответствует ионизированному атому.

Различие в интерпретации с теорией Бора относится только к состояниям электрона: в теории Бора это движение по стационарным орбитам, здесь же орбиты теряют физический смысл, их место занимают ψ-функции.

Диаграмма энергетических уровней (рис.1.5) позволяет дать несколько важных определений.

Энергия возбуждения Е_воз – это энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы он из основного состояния (n = 1) перешел в возбужденное. Например, Е_воз = 10,2 эВ – энергия, необходимая для перехода электрона в состояние, соответствующее n = 2 (первое возбужденное состояние).

Энергия ионизации Е_ион – энергия, необходимая для отрыва электрона, находящегося в основном состоянии (n = 1), от ядра, т.е. для перевода электрона на уровень с n = ¥ . Для атома водорода энергия ионизации равна 13,6 эВ.

Из анализа следует три вывода.

• Электрон в атоме может иметь только дискретные значения энергии. В любом атоме энергии электронов дискретны.

• Существует состояние электрона с энергией, меньше которой электрон иметь не может. Это состояние называется основным. Все остальные состояния называют возбужденными. При этом , двигаясь с ускорением, любая заряженная частица излучает электромагнитные волны. На этом принципе устроены все антенны, любые источники электромагнитного излучения - радиоволн, видимого света, рентгеновских и гамма-лучей. А электрон в атоме, в каком бы состоянии он ни находился, не излучает, хотя движется с ускорением. Электрон в возбужденном состоянии может излучить электромагнитную энергию, перейдя в одно из состояний с меньшей энергией. Энергия излучается квантами, и в процессе излучения, как во всех процессах, происходящих в природе, выполняется закон сохранения энергии. Энергия излученного кванта в соответствии с законом сохранения энергии равна hn = = E_n - E_m, где n и m - целые числа и n > m. Сколько времени электрон проведет в возбужден ном состоянии, зависит от целого ряда причин, исследованных квантовой механикой. Эти времена различны, но все они конечны.

• Как исключение , основное состояние электрона в атоме устойчиво, поскольку закон сохранения энергии запрещает электрону, находящемуся в основном состоянии, излучать электромагнитную энергию.