6.2. Примеры решения задач

Пример 1. При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Решение: сначала рассчитаем предельную ошибку выборки. Так, при р = 0,997 t = 3. При случайном повторном отборе предельная ошибка выборки определяется по формуле:

Определим пределы генеральной средней:

.

30 – 0,84 30 +0,84,

или

29,16 30,84.

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 до 30,84 г.

Пример 2. В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2 %-я случайная бесповторная выборка семей. По её результатам было получено следующее распределение семей по числу детей (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Распределение семей по числу детей в городе в 2000 г.

Число детей в семье, чел.	Количество детей, чел.
0	1 000
1	2 000
2	1 200
3	400
4	200
5	200

С вероятностью 0,954 найдите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение: вначале на основе имеющегося распределения семей определим выборочную среднюю и дисперсию. Для удобства расчет оформим в виде таблицы 6.2.

Таблица 6.2

Вспомогательные расчеты для определения дисперсии и выборочной средней

Число детей в семье	Количество семей
0 1 2 3 4 5	1000 2000 1200 400 200 200	0 2000 2400 1200 800 1000	-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	2250 500 300 900 1250 2450
Итого	5000	7400	-	-	7650

чел.;

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что p = 0,954 и t = 2). Для случайной бесповторной выборки предельная ошибка вычисляется по формуле:

Следовательно, пределы генеральной средней:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что в среднем на каждые две семьи приходятся три ребенка.

Пример 3. С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. человек, в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований было известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 (t = 3) и ошибке 5 %.

Решение: рассчитаем общую численность типической бесповторной выборки:

человек.

Вычислим объем отдельных типических групп:

человек;

человек.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 321 мужчина и 231 женщина.