Глава 4. Средние величины в статистике

4.1. Основные понятия

Средний показатель – это показатель в форме средней величины, представляющий собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средняя величина – это обобщающая мера варьирующего признака, которая характеризует ее уровень в расчете на единицу совокупности. Условиями применения средних величин являются наличие качественно однородной совокупности и достаточно большой объем выборки.

Средняя величина считается наиболее ценной и универсальной формой выражения статистических показателей. Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

.

В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения требуется одна из форм средней величины. В статистической практике используют несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т.д. Каждая из указанных средних может приобретать две формы: простую и взвешенную. Если среднюю вычисляют по первичным (несгруппированным) данным, применяют простую форму, если по вторичным (сгруппированным) – взвешенную.

Средняя арифметическая является наиболее распространенной средней. Средняя арифметическая простая применяется, когда значение вариантов встречается один раз:

,

где - i-й вариант осредняемого признака;

- объем совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда отдельное значение признака повторяется неодинаковое количество раз, т.е. она используется в расчетах средней по сгруппированным данным или вариационным рядам:

,

где - вес i-го варианта.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений переходят от интервалов к их серединам.

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, которые более полно раскрывают ее сущность и в ряде случаев используются при ее расчетах:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

3. Если все осредняемые варианты уменьшить (увеличить) на постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же величину:

4. Если все варианты значений признака уменьшить (увеличить) в А раз, то средняя также уменьшится (увеличится) в А раз:

5. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

.

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной:

,

где

Когда объемы явлений, т.е. произведения (), по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая простая:

.

Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии. Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста и для определения равноудаленной величины от минимального и максимального признака.

Средняя геометрическая простая вычисляется по формуле:

Средняя геометрическая взвешенная равна:

.