2. Работа упругой силы

— радиус- вектор частицы М относительно точки О. Элементарная работа в этом случае;Здесь -проекция вектора на вектор . Она равна приращению модуля вектора на перемещении . Работа на всем пути .

3. Работа силы тяжести Элементарная работа силы тяжести: ; Скалярное произведение — приращение координаты . Тогда ; А работа на пути 1-2 равна .

Работа всех рассмотренных сил не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Эта особенность присуща не всем силам. Силы трения, например, не обладают таким свойством.

4.2 Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение на вектор скорости , с которой движется точка приложения данной силы: .

— как и работа, величина алгебраическая.

Зная можно найти работу, которую совершает сила за конечное время : , поскольку , то , тогда:

Единица мощности в системе СИ .

4.3. Консервативные силы

Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета, может быть нестационарным в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.

Работа, которую совершают силы поля по перемещению частицы из т.1 в т.2 зависит, в общем случае, от формы пути между этими точками, например, при перемещении с участием сил трения. Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа сил поля над частицей не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы, обладающие таким свойством называются консевативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если их работа в стационарном поле на любом замкнутом пути равна нулю.

Разобъем произвольный замкнутый контур на две части: 1а2 и 2в1, рис. Тогда работа на всем пути:

, поскольку , то . А так как работа не зависит от пути, то и, значит, .

К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна нулю на замкнутом пути.

4.4. Центральные силы.

Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами.

Если силы зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей, то они называются центральными. Их примером являются гравитационные, кулоновские и упругие силы. Центральные силы можно записать как

, здесь является функцией только расстояния , - орт, задающий направление радиуса - вектора частицы относительно частицы О.

Докажем, что центральные силы являются консервативными. Найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле создано одной неподвижной частицей О. Элементарная работа над частицей М равна:

; поскольку - проекция вектора перемещения на вектор или на радиус-вектор . Другими словами, - приращение радиуса-вектора . Тогда вся работа . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от пределов интегрирования и т.е. от расстояний.

Если на частицу в силовом поле действует несколько центральных сил, то работа при перемещении из т.1 в т. 2 равна алгебраической сумме работ отдельных сил , а, т.к., работа каждой из них не зависит от пути, то и работа результирующей силы также от пути не зависит.

Таким образом, центральные силы являются консервативными.